ইউপিবির জন্য বহুপদী আলগোরিদিম (অব্যক্ত পণ্য ভিত্তি)

Question

একটি হিলবার্ট স্পেস । একটি অব্যক্তযোগ্য পণ্য ভিত্তি (ইউপিবি) হ'ল পণ্য ভেক্টরগুলির একটি সেট যেমন:$H = H_1 \otimes \dots \otimes H_n$$\vert v_i \rangle = \vert v_i^1 \rangle \otimes \dots \otimes \vert v_i^n \rangle$

ক) সমস্ত পারস্পরিক অরথোগোনাল$\vert v_i \rangle$

খ) সমস্ত কোনও পণ্য ভেক্টর অরথোগোনাল নেই$\vert v_i \rangle$

গ) ভিত্তিটি অনানুষ্ঠানিক, অর্থাত্ বিস্তৃত হয় না$H$

(এই ধরনের ঘাঁটিগুলি কোয়ান্টাম তথ্যে আগ্রহী)

প্রশ্নাবলী:

1. ইউপিবিস সন্ধানের জন্য কি বহুপদী অ্যালগরিদম আছে ( )? (দ্রষ্টব্য যে সাধারণভাবে ইউপিবি আকারের উপরের উপরের কোন আবদ্ধ নেই, সুতরাং এটি একটি অগ্রাধিকার মধ্যে সূচকীয় হতে পারে )$n$$n$

2. প্রদত্ত পণ্যের ভিত্তি কোনও ইউপিবি কিনা তা যাচাই করার জন্য কি বহুপদী অ্যালগরিদম রয়েছে? (অর্থাত্ অব্যক্ত নয়)

নাকি সমস্যা এনপি-সম্পূর্ণ?

Comments

আমি বিভ্রান্ত ... এইচ এর মানক ভিত্তি কি সব ক্ষেত্রেই ইউপিবি শর্ত পূরণ করবে না? বা অন্য কিছু শর্ত আছে যা আমি মিস করছি।

— Artem Kaznatcheev

@ আর্টেম: যে শর্তটি অনুপস্থিত তা হ'ল এই যে, ভেক্টরগুলির সংখ্যা এর মাত্রার চেয়ে কম । $H_1 \otimes \ldots \otimes H_n$

— পিটার শর

Answer 1

আমি প্রশ্নে একটু বিস্মিত হয়েছি (1)। একটি অব্যক্ত পণ্য ভিত্তিতে বিদ্যমান$H_1 \otimes H_2 \otimes \ldots \otimes H_n$ যদি $n\geq 3$ অথবা যদি $n=2$ এবং $\dim H_1, \dim H_2 \geq 3$। এই সমস্ত ক্ষেত্রে এটি সন্ধান করা সোজা।

প্রশ্নের জন্য (2), প্রশ্নটি উপস্থানে কোনও টেনসর পণ্যের অবস্থা রয়েছে কিনা তা যাচাইয়ের সমতুল্য যা ভিত্তিতে বিস্তৃত স্থানের পরিপূরক। লিওনিড গুরভিটস দেখিয়েছেন যে কোনও সাধারণ উপস্থানে একটি টেনসারের পণ্য রাজ্য রয়েছে কিনা তা যাচাই করা এনপি-হার্ড, সুতরাং আমার সন্দেহ হয় যে এটি এই ক্ষেত্রেও শক্ত।

Comments

হ্যাঁ, তবে আমি যথাসম্ভব যতটা অসম্পূর্ণ (স্থানীয় একক হিসাবে শ্রদ্ধার সাথে) ইউপিবি সন্ধান করতে আগ্রহী। সম্পূর্ণ শ্রেণিবদ্ধকরণ কেবল 2x2x2 এর মতো সাধারণ ক্ষেত্রে পরিচিত।

— মার্সিন কোটভস্কি

Answer 2

পূর্ণ শ্রেণিবিন্যাস 3x3 এর অন্য একটি সহজ কেসের জন্যও পরিচিত, এটি প্রথম কাগজে http://arxiv.org/abs/quant-ph/9808030 এ সম্বোধন করা হয়েছে ।

ফলাফলটি চারদিকে র‌্যাঙ্কের নির্বিচারে 3x3 পিপিটি জড়িয়ে পড়া রাজ্যগুলির সাথেও সম্পর্কিত। কাগজ দেখুন

http://arxiv.org/abs/1105.3142 ।