ইন্টারেক্টিভ প্রুফ পোস্ট পোস্টের মাধ্যমে?

Question

নির্ধারণ গণনীয় মডেল MPostBQP অভিন্ন হতে PostBQP ছাড়া আমরা পোস্টের-নির্বাচন এবং চূড়ান্ত পরিমাপ সামনে polynomially অনেক qubit পরিমাপ অনুমতি দেয়।

আমরা কি এমন কোনও প্রমাণ দিতে পারি যে ইঙ্গিত দেয় যে এমপোস্টবিকিপি পোস্টবিকিপির চেয়ে বেশি শক্তিশালী?

আমরা চূড়ান্ত পরিমাপ করার আগে একাধিক রাউন্ড পরিমাপ এবং পোস্ট নির্বাচনকে মঞ্জুরি দিতে MPostBQP [কে] সংজ্ঞায়িত করুন। এমপিস্টবিকিপি ইনডেক্সিং চয়ন করুন [1] = পোস্টবিকিপি এবং এমপিস্টবিকিপি [2] = এমপিস্টবিকিপি এবং আরও অনেক কিছু। (আপডেট: একটি আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা নীচে দেওয়া হয়েছে।)

আর্থার-মের্লিন গেমগুলি বিবেচনা করুন। সম্ভবত আমরা গণনার এই মডেলগুলিতে তাদের অনুকরণ করতে পারি: পোস্টস্লেশনটি দৃinc়প্রত্যয়ী বার্তা তৈরির ক্ষেত্রে মার্লিনের ভূমিকা নিতে পারে এবং মধ্যবর্তী পরিমাপ আর্থারের পাবলিক কয়েন টসসের ভূমিকা নিতে পারে take এই সম্ভাবনা আমাকে জিজ্ঞাসা করতে বাধ্য করে:

আমাদের কি এএম [কে] আছে $\subset$ MPostBQP [ট]?

এটি প্রকৃতপক্ষে জন্য পরিচিত $k=1$যা এম.এ. $\subset$পিপি। এটির জন্য দেখাতে$k=2$ এমপিস্টবিকিপি = পিপি বলতে কেবল এএম হলেই বোঝায় $\subset$পিপি। যেহেতু এখানে কোনও ওরাকল রয়েছে যার সাথে পিএম তে এএম থাকে না , এটি আমার প্রথম প্রশ্নের একটি ইতিবাচক উত্তর দিতে পারে।

অবশেষে, বহুবিধভাবে বহু রাউন্ডের ক্ষেত্রে,

আমাদের কি পিএসপিএসি আছে? $\subset$MPostBQP [বহু]? যদি তাই হয়, এটা কি সমতা?

এটি দার্শনিকভাবে আকর্ষণীয় হবে (কমপক্ষে আমার কাছে) কারণ এটি আমাদের বলবে যে "পোস্টসलेक्टিং যাদুকর" এর জন্য সমস্যার "ট্র্যাকটেবল" শ্রেণিতে সমস্ত পিএসপিএসিই অন্তর্ভুক্ত (বা হয় )।

সম্পাদনা: আমাকে MPostBQP এর একটি আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা জিজ্ঞাসা করা হয়েছে। (এরপরে আমি আপডেট করেছি))

এমপিস্টবিকিপি [কে] ভাষাগুলির শ্রেণি $L \subset \{0,1\}^*$ যার জন্য বহু-আকারের কোয়ান্টাম সার্কিটগুলির একটি অভিন্ন পরিবার রয়েছে $\{C_n\}_{n \geq 1}$ যেমন সমস্ত ইনপুট জন্য $x$, নীচের পদ্ধতিটি কমপক্ষে সম্ভাব্যতার সাথে সত্য ফলন করে $2/3$ যদি $x \in L$, এবং সর্বাধিক সম্ভাবনা সহ $1/3$ যদি $x \notin L$। পদ্ধতি, যা নির্ভর করতে পারে এমন কিছু পছন্দগুলির জন্য অনুমতি দেয়$L$ (কিন্তু না $x$), নিম্নলিখিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

পদ্ধতি: পদক্ষেপ 1. ইউনিটরি অপারেটরের সাথে সম্পর্কিত করুন$C_n$ ইনপুট স্থিতিতে $\left\vert 0\cdots 0\right> \otimes \left\vert x \right>$। প্রথমটির দৈর্ঘ্য নোট করুন$\left\vert0\cdots 0\right>$ দৈর্ঘ্যের মধ্যে নিবন্ধ সর্বাধিক বহুবচন হয় $x$। পদক্ষেপ 2. জন্য$i = 1 \cdots k$: যদি $i$এমনকি সমান হয়, তারপরে প্রথম রেজিস্টার থেকে যে কোনও পছন্দসই সংখ্যার কুইবিটস পরিমাপ করুন (সর্বাধিক বহুভিত্তিক অনেকগুলি, নিবন্ধের আকার দেওয়া হয়)। যদি$i$ বিজোড়, তারপরে পোস্ট-সিলেক্ট করুন যাতে প্রথম নিবন্ধকের হিসাবে একটি নির্বাচিত একক কুইবিট হিসাবে ব্যবস্থা নেওয়া হয় $\left\vert 0 \right>$(এবং একটি গ্যারান্টি আছে যে সম্ভাবনাটি শূন্য নয় সুতরাং অবশ্যই পোস্টস্লেশন বৈধ হয়)। পদক্ষেপ 3. পরিশেষে, প্রথম নিবন্ধে একটি শেষ কুইবিট পরিমাপ করুন, এবং যদি আমরা পরিমাপ করি তবে সত্য ফিরে আসুন$\left \vert 1 \right>$ এবং অন্যথায় মিথ্যা।

আমাদের কাছে MPostBQP [0] = BQP, MPostBQP [1] = PostBQP, এবং MPostBQP: = MPostBQP [2] রয়েছে। আমি আর্থার-মের্লিন ক্লাসগুলিকে আয়না করার চেষ্টা করছি যেখানে এএম [0] = বিপিপি, এএম [1] = এমএ, এবং এএম [2] = এএম।

সম্পাদনা (3/27/11 5 অপরাহ্ন): এই প্রসঙ্গে পোস্ট নির্বাচন কীভাবে সংজ্ঞায়িত করা উচিত তা নিয়ে বিতর্ক আছে বলে মনে হয়। স্পষ্টতই, আমি এমন একটি সংজ্ঞার জন্য যা আমার প্রশ্নকে তুচ্ছ করে না! :) আমি যে সংজ্ঞাটি ধরে নিয়েছি তা হ'ল: কেথ বিটের উপরে পোস্ট নির্বাচন করা মানে আমরা রাজ্যটিকে উপ-স্থানের মধ্যে প্রজেক্টে প্রবর্তন করি যেখানে কেথ বিট রয়েছে$0$, এবং স্বাভাবিক করুন। দেখা যাচ্ছে যে কোনও স্কিম যেখানে আমরা পরিমাপ করার আগে পোস্ট নির্বাচন করি, তারপরে আমরা এমন একটি স্কিমের শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনাগুলি দেখে চূড়ান্ত পরিসংখ্যানগুলি অর্জন করতে পারি যেখানে পোস্টসেকশনগুলি পরিমাপের দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। তবে আমি দাবি করি যে পরিমাপ এবং পোস্ট নির্বাচনগুলি ছেদ করা হলে এই বৈশিষ্ট্যটি ভেঙে যায়। আমি মনে করি যে এই "শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতা সংজ্ঞা" (যা আমি বিশেষত জেনে রেখেছি বিশেষ ক্ষেত্রে কাজ করে) পোস্টস্লেচিংয়ের সংজ্ঞা হিসাবে আমি সবেমাত্র যে "বাধ্যতামূলক পরিমাপ" সংজ্ঞা দিয়েছি তার চেয়ে লোকেরা বিভ্রান্তি সৃষ্টি করেছিল, যা স্পষ্টভাবে নির্ভর করে চলাচলের অভাবের কারণে অর্ডার করুন। আশা করি এটা কাজে লাগবে!

সম্পাদনা (3/27/11 9 অপরাহ্ন): আমি ইতিমধ্যে খাঁটি-রাষ্ট্রীয় আনুষ্ঠানিকতায় পোস্ট-নির্বাচনকে সংজ্ঞায়িত করেছি। নীল ঘনত্বের ম্যাট্রিক্স আনুষ্ঠানিকতায় এমন একটি বিশ্লেষণ দিয়েছে যা 3 কোবিটের উদাহরণের জন্য আমার সাথে একমত নয়। অপরাধী আবার পোস্টিসিলেশনের সংজ্ঞা। নীচে ঘনত্ব ম্যাট্রিক্স সেটিংয়ে পোস্ট নির্বাচন সংজ্ঞায়িত করুন। একটি ঘনত্ব ম্যাট্রিক্স দেওয়া হয়েছে$M$, এটি পৃথকযোগ্য রাজ্যের মিশ্রণ হিসাবে পুনর্লিখন করুন $M = \sum p_i \left\vert a_i \right> \left< a_i \right\vert$। দিন$\left\vert A_i \right>$আমি উপরে সংজ্ঞায়িত খাঁটি-রাষ্ট্রীয় আনুষ্ঠানিকতা ব্যবহার করে পোস্টস্লেশনের ফলাফল (কিছু কিউবিটে) হয়ে উঠুন। পোস্ট-সিলেকশনের ফলাফলটি চালু করুন$M$ হতে $\sum p_i \left\vert A_i \right> \left< A_i \right\vert$।

এটি আরও বোধগম্য সংজ্ঞা, কারণ এটি আমাদের এমন ফলাফল দেয় না যা বলে যে আমরা পোস্ট-নির্বাচন করার পরে আমরা ঘটনার পরিমাপ (পরিমাপ) পরিবর্তন করেছি যা আমরা ইতিমধ্যে দেখেছি। যে,$p_i$এর "আমরা ইতিমধ্যে উল্টানো" মুদ্রার সম্ভাবনা। আমাদের সময়মতো ফিরে যাব এবং ইতিমধ্যে ঘটে যাওয়া একটি কয়েন ফ্লিপের পক্ষপাতিত্ব করব তা আমার কাছে বোধগম্য নয় কারণ এটি বর্তমান পোস্ট নির্বাচন আরও বেশি সম্ভাবনাযুক্ত করে তুলবে।

সম্পাদনা (3/28/11 1 অপরাহ্ন): নীল স্বীকার করেছেন যে আমার সংজ্ঞা দিয়ে সমস্যাটি বোঝা যায় এবং তুচ্ছ করে না - তবে এই শর্ত দিয়ে যে আমি এটিকে পোস্ট- সিলেকশন না বলি । বিভ্রান্তির পরিমাণ দেখে আমাকে তার সাথে একমত হতে হবে। সুতরাং যাকে আমি নির্বাচন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করেছি তা কল করি , যা "জোর করে পরিমাপ" সম্পাদন করে। আমার জটিল জটিল ক্লাসগুলির নাম সম্ভবত পরিবর্তন করা উচিত (সেইগুলিতে "পোস্ট" না থাকায়) সুতরাং তাদের কিউএমএস [কে] (কোয়ান্টাম-পরিমাপ-নির্বাচন) বলি।

Comments

আপনি আরও আনুষ্ঠানিকভাবে MPostBQP সংজ্ঞায়িত করতে পারেন? যদি আপনি কেবল বোঝাতে চান যে এই শ্রেণীর বেশ কয়েকটি বিটের ফলাফলের ভিত্তিতে পোস্ট-নির্বাচন করার ক্ষমতা রয়েছে, তবে এই শ্রেণিটি পোস্টবিকিপিতে অন্তর্ভুক্ত থাকতে হবে।

— রবিন কোঠারি

মূল ধারণাটি একবারে অনেকগুলি বিট-তে পোস্ট-নির্বাচন করা নয়, কারণ রবিন উল্লেখ করেছেন যে এটি কোনও লাভ করে না। এটা তোলে হয় ছড়ান পরিমাপ এবং postselections। আমরা এগুলি যাতায়াত করতে পারি না; অর্ডারটি গুরুত্বপূর্ণ। উদাহরণস্বরূপ এটি পোস্টবিকিপিতে উত্তর পরিমাপ করতে কাজ করবে না, এবং তারপরে পোস্টসलेक्ट করুন।

— শন হারকার

নীলের উত্তর সম্পর্কে মন্তব্য দেখুন; আমরা কোয়ান্টাম বিবর্তনের পরে পর্যন্ত পরিমাপ এবং পোস্ট-নির্বাচন উভয়ই পিছিয়ে রাখতে পারি। আমি ইতিমধ্যে এটি করছি ! একই যুক্তি পরিমাপের পরে পোস্ট নির্বাচনগুলি পুনঃক্রম করতে পারে বলে মনে হয় না, যদিও পরিমাপ একক নয়। বিশেষত, আমি বলছি পরিমাপ এবং পোস্টসলেশনগুলি কোয়ান্টাম রাজ্যে অ-এককীয় ক্রিয়াকলাপ যা কমবে না, তাই আমি যতদূর বলতে পারি যে কোনও ক্ষতি ছাড়াই আমরা সমস্ত পদক্ষেপগুলি স্থির না করে স্থির করতে পারি না।

— শন হার্কার

@ শন হার্কার: পরিমাপ এবং পোস্টসলেকশনগুলি অ-aryক্যবদ্ধ হওয়ায় বাস্তবে তারা যাত্রা করবে কিনা সে সম্পর্কে আমাদের আর কোনও তথ্য দেয় না। সম্ভবত আপনি চিহ্নিত করতে পারেন কেন তারা ভাবেন না কেন ?

— নিল দে বৌদ্রাপ

জড়িয়ে যাওয়ার কারণে। এখানে একটি উদাহরণ। রাষ্ট্র প্রস্তুত করুন$\alpha\left\vert 000 \right> + \sqrt{1/2 - \alpha^2} \left\vert 011 \right> + \sqrt{1/2 - \beta^2} \left\vert 101 \right> + \beta\left\vert 110 \right>$। পছন্দ করা$0 < \alpha < \beta < 1$। যদি আমরা প্রথমে প্রথম কুইটটি পরিমাপ করি এবং তারপরে তৃতীয় কুইটটিতে পোস্টসलेक्ट করি এবং তারপরে আমাদের ফলাফলের জন্য দ্বিতীয় কোবিটটি পরিমাপ করি তবে আমরা পাই$0$ অথবা $1$সমান সম্ভাবনা সহ। আমরা যদি প্রথম তৃতীয় কুইটটিতে পোস্ট নির্বাচন করি, তবে প্রথম কুইটটি পরিমাপ করি এবং শেষ পর্যন্ত আমাদের ফলাফলের জন্য দ্বিতীয় কোবিটটি পরিমাপ করি, আমরা প্রাপ্ত$0$ আমরা যতবার পাই কম $1$।

— শন হার্কার ২ '

Answer 1

শাওনের মন্তব্যগুলি থেকে মনে হয় যে পোস্ট-সিলেকশন দ্বারা সাধারণত বোঝা যায় তার থেকে শন মনে মনে কিছু আলাদা। আমি এখন এটি বোঝার অর্থ এটি বোঝাতে চাইছি যে কোনও নির্দিষ্ট পোস্টের নির্বাচনের পূর্বে যে কোনও পরিমাপের পরিসংখ্যানগুলি পরবর্তী পোস্ট নির্বাচন দ্বারা পরিবর্তন করা উচিত নয়। এটি একটি প্রোজেকশন অপারেটরের সমতুল্য যেখানে পুরোপুরি তরঙ্গসংশ্লিষ্ট নয় বরং একটি নির্দিষ্ট পরিমাপের পুনর্নির্মাণের সাথে সামঞ্জস্য রেখে তরঙ্গসংশ্লিষ্ট প্রতিটি শাখার উপরে স্বাভাবিককরণ করা হয়।

এই ক্ষেত্রে, আমার এবং নীল অন্যান্য উত্তরে প্রদত্ত যুক্তিগুলি আর ধরে রাখে না। আসলে এটি সহজেই দেখা যায়$P^{PP[k]}\subseteq$ এমপিস্টবিকিপি [কে], এমপিস্টবিকিপি থেকে$[k]$ একটি বিকিউপি মেশিন হিসাবে দেখা যেতে পারে যা তৈরি করতে পারে $k$ একটি পিপি ওরাকল অনুসন্ধান, এবং তাই $P^{\# P}\subseteq$ MPostBQP ।

সুতরাং এখন আমরা একটি অপ্রচলিত নিম্ন আবদ্ধ আছে, একটি উপরের বাউন্ড সম্পর্কে কি? ঠিক আছে, স্পষ্টতই সমস্যাটি PSPACE এ রয়েছে তবে আমরা কি আরও ভাল করতে পারি? আসলে, আমি মনে করি আমরা পারি।

আমরা ফর্মের স্তরগুলির ক্রম হিসাবে MPostBQP এ যে কোনও গণনা লিখতে পারি : কোয়ান্টাম গণনা একটি পোস্টস্লেশন পরে একটি একক কুইট পরিমাপের পরে। প্রকৃতপক্ষে, এটি এমপিস্টবিকিপি [কে] প্রণয়ন করার বিকল্প উপায় হতে পারে, এটি একটি সমন্বিত সংকলন হিসাবে$k$এ জাতীয় স্তরগুলি (এটি শন এর সংজ্ঞা থেকে কিছুটা আলাদা যা আমি বিশ্বাস করি যে কেবলমাত্র পোস্ট-নির্বাচনের সংখ্যা গণনা করা is), এর পরে ক্লাসিকাল পোস্ট-প্রসেসিংয়ের একটি চূড়ান্ত স্তর। আমি নিম্নলিখিতটিতে এমপিস্টবিকিউপি [কে] এর সংজ্ঞাটি ব্যবহার করব , কারণ এটি আরও নান্দনিকভাবে আনন্দদায়ক ফলাফলের দিকে নিয়ে যায়।

প্রমাণের ছিদ্রটি ঠিক করতে নীচেরটি মূল সংস্করণ থেকে আপডেট করা হয়েছে।

প্রথমে আমরা পরিমাপ করা প্রথম কুইট পরিমাপের ফলাফল গণনা করতে চাই (পোস্ট-নির্বাচিত নয়!)। এটি করার জন্য আমরা প্রথমে লক্ষ করি যে যে কোনও কোয়ান্টাম গণনা কেবলমাত্র হাদামারদ গেট এবং টফোলি গেট এবং প্রশস্ততা ব্যবহার করে প্রকাশ করা যেতে পারে$\alpha_w$ একটি বিশেষ গণনা ভিত্তিক রাষ্ট্র $|w\rangle$ আউটপুট সর্বাধিক যোগফল হিসাবে লেখা যেতে পারে $2^{H}$ পদ $a_{j,w}$, কোথায় $H$হাদামারদ গেটের মোট সংখ্যা, যার প্রত্যেকটিই একটি অনন্য গণনার পথের সাথে সম্পর্কিত। পরিষ্কারভাবে,$a_{j,w} = \pm 2^{-H/2}$। চূড়ান্ত রাষ্ট্র প্রাপ্তির সম্ভাবনা$|w\rangle$ তারপরে দেওয়া হয় $\alpha_w^2 = (\sum_j a_{j,w})^2 = \sum_{i,j} a_{j,w}a_{i,w}$। আমরা একটি 1 পরিমাপের মোট সম্ভাব্যতা গণনা করতে চাই Let$S_0$ গণনাভিত্তিক রাষ্ট্রগুলির সেট হোন যা নির্বাচনের পরবর্তী মানদণ্ডগুলি পূরণ করে (উদাহরণস্বরূপ নির্বাচন-পরবর্তী কোয়েট 1 হবে) এবং পরিমাপকৃত কোয়েটের জন্য 0 ফলাফল এবং আসুন $S_1$গণনাভিত্তিক রাষ্ট্রগুলির সেট হোন যা নির্বাচনের পরবর্তী মানদণ্ডগুলি পূরণ করে এবং পরিমাপকৃত কুইবিটের জন্য 1 এ ফলাফল। আমরা সংজ্ঞা দিতে পারি

$$\pi_0^\pm = \sum{w \in S_0} \pm \sum_{sign(a_{j,w}a_{i,w}) = \pm} a_{j,w}a_{i,w}$$ এবং $$\pi_1^\pm = \pm \sum_{w \in S_1} \sum_{sign(a_{j,w}a_{i,w}) = \pm} a_{j,w}a_{i,w}.$$

এক্ষেত্রে পোস্ট-নির্বাচিত কোয়েটটির জন্য 1 টিতে 1 টি শর্তযুক্ত 1 পরিমাপের সম্ভাবনা দেওয়া হয় $\frac{\pi_1^+ - \pi_1^-}{\pi_1^+ - \pi_1^- - \pi_0^- + \pi_0^+}$। যেহেতু আমরা এটি একটি # পি ওরাকলকে 4 টি কল দিয়ে নির্ধারণ করতে পারি। আমরা এলোমেলো বিট উত্পাদন করতে এটি ব্যবহার করি$b_1$ যা সম্ভাবনার সাথে 1 $X_1$, কোয়ান্টাম পরিমাপ হিসাবে একই। এভাবে MPostBQP [1] রয়েছে$BPP^{\# P[4]}$।

পরবর্তী আমরা দ্বিতীয় কুইট এর পরিমাপ ফলাফল গণনা। এটি করার জন্য, আমরা প্রথম স্তরের মতো একই # পি ক্যোরিগুলি চালাই , তবে প্রথম দুটি স্তরটি রচনা করে প্রাপ্ত সার্কিটে এবং যেখানে আমরা নির্বাচিত পরবর্তী প্রতিটি কোয়েটের জন্য 1-তে পোস্ট-নির্বাচন করি, সেখানেও$b_1$ পরিমাপের আউটপুট জন্য 1. দ্রষ্টব্য যে যদিও এটি 1 এর পরিবর্তে 3 কোয়েটের রাজ্যে পোস্টসलेक्ट করছে তবে এটি একটি তুচ্ছ পরিবর্তন $\# P$অনুসন্ধানগুলি, কেবলমাত্র একটি আনসিলাকে যুক্ত করে সেট করা হয় যা কেবলমাত্র 3 টি কুইবিট প্রয়োজনীয় শর্তাদি পূরণ করে এবং এই অ্যানসিলার পরিবর্তে পোস্ট-সিলেক্ট করা হয়। এটি তখন দ্বিতীয় পরিমাপকৃত ক্যুইট-এর ফলাফলের জন্য সঠিক শর্তযুক্ত আউটপুট সম্ভাবনা তৈরি করে, যা আমরা লেবেল করি$b_2$। নোট করুন যে আমরা এখন # পি ওরাকলে 8 টি কল ব্যবহার করেছি ।

আমরা এই প্রক্রিয়াটি পুনরাবৃত্তি করি, যাতে একটি স্তরে থাকে a $j$ আমরা 1 এর জন্য সকলের জন্য পোস্ট নির্বাচন করি $j$ পূর্বে নির্বাচিত পোস্ট বাছাই এবং চালু $b_{i<j}$ পূর্ববর্তী সমস্ত পরিমাপের জন্য, এবং সম্পর্কিত ফলাফল লেবেল করুন $P^{\# P}$ মেশিন $b_j$। মোট এই প্রয়োজন হয়েছে$4j$ ওরাকল ক্যোয়ারী

এইভাবে আমাদের MPostBQP [কে] আছে$\subseteq P^{\# P[4k]}$, যা আগের ফলাফলের সাথে মিলিত হয়েছিল $P^{PP[k]}\subseteq$ MPostBQP$[k]$বোঝায় যে $P^{PP[k]} \subseteq$ MPostBQP [কে]$\subseteq BPP^{\# P[4k]}$, এবং তাই MPostBQP $= P^{\# P}$।

Answer 2

[সংশোধিত।] আমি আপনার প্রশ্নের আপনার সংশোধনীগুলির উপর ভিত্তি করে আমার প্রতিক্রিয়াটিকে সংশোধন করেছি, আমি আমার মূল প্রতিক্রিয়ার বিষয়বস্তু ধরে রেখেছি, তবে এটি আরও সংক্ষিপ্ত করে তুলেছি। "সিমুলেশন" প্রক্রিয়াটির আরও বিস্তৃত বিবরণ প্রতিস্থাপন করা হয়েছে তবে আমি মনে করি যে এটি পোস্টের সম্পাদনার ইতিহাস দেখে এটি দেখা যায়।

বেশিরভাগ লোক শর্তাধীন সম্ভাবনা অর্থে "পোস্টস্লেশন" বুঝতে পারবে। প্রকৃতপক্ষে, পোস্টবিকিপিতে উইকিপিডিয়া নিবন্ধের বর্তমান সংস্করণটি সেভাবে বর্ণনা করে; এবং ঘনত্ব অপারেটরগুলির একটি অপারেশন হিসাবে দেখা হয়েছে (যার মধ্যে একটি সম্পূর্ণরূপে ইতিবাচক ট্রেস-অ-বর্ধমান মানচিত্র প্রয়োগ করে such যেমন Φ ²  = Φ, এবং তারপরে ট্রেসটিকে নতুন করে তৈরি করে) একজন এই সংজ্ঞাটি পুনরুদ্ধার করে।

পোস্ট-নির্বাচনের এই সংজ্ঞাটি দেওয়া, আপনার একটি এমপিস্টবিকিপি [ কে ] অ্যালগরিদমকে সুনির্দিষ্ট করে পোস্ট- কিউপিপি অ্যালগরিদম দ্বারা সিমুলেট করা যেতে পারে , পোস্ট-সিলেকশন পিছিয়ে রেখে এবং যথাযথ উপায়ে তাদের একসাথে সম্পাদন করে। এই Aaronson এর কাগজ 3 পৃষ্ঠার আরো-বা-কম স্পষ্টভাবে উল্লেখ করা হয়েছে কোয়ান্টাম কম্পিউটিং, Postselection, এবং সম্ভাব্য বহুপদী-টাইম যা বর্গ প্রবর্তন PostBQP ।

এই স্পষ্টভাবে লক্ষ, বিট একটা ক্রম দ্বারা দেখানো যেতে পারে পি ₁  ,   পি ₂  , ... postselected করা ( যেমন মধ্যে 1রাষ্ট্র, যা স্বাভাবিক হয়), তাদের হচ্ছে কন্ডিশনার মধ্যে কোন পার্থক্য নেই 1মাঝখানে তাদের উপর গণনা এবং কন্ডিশনার গণনার 1শেষে রয়েছে, যতক্ষণ না এই বিটের মান অন্তর্বতীতে পরিবর্তন হয় না। তারপরে, পৃথকভাবে তাদের প্রত্যেককে পোস্ট-সিলেক্ট করার পরিবর্তে 1, আমরা তাদের নির্বাচনের পূর্বে তাদের যৌক্তিক এবং গণনা করতে পারি এবং তারপরে সেই সংমিশ্রণে পোস্ট-নির্বাচন করতে পারি1। তদ্ব্যতীত, বিএডের শেষ রূপান্তর এবং এটির পরবর্তী নির্বাচনের মধ্যবর্তী যেকোন পর্যায়ে অ্যান্ড অ্যান্ড কম্পিউটিং করা যায়। এটি কোনওভাবেই রাষ্ট্রের কোনও সম্পত্তির যৌথ পরিসংখ্যানকে প্রভাবিত করবে না।

সুতরাং, শর্তাধীন সম্ভাব্যতা পরিপ্রেক্ষিতে postselection সাধারণ সংজ্ঞা ব্যবহার করে, তোমার উচিৎ ছিল MPostBQP [ ট ] =  PostBQP সবার জন্য ট  > 0.

আমি উপরের মন্তব্যে উল্লেখ করেছেন যে, আমি মনে করি না যে অপারেশন যা আপনি রাষ্ট্র উপর বর্ণনা ভেক্টর - বিশেষত, পরিমাপের ফলাফলগুলির উপর সম্ভাব্যতা বিতরণের প্রতিটি শাখায় স্বাধীনভাবে রাষ্ট্র-ভেক্টরগুলির পুনর্নবীকরণের সাথে জড়িত- পোস্ট-নির্বাচনের সাথে সমান, ক্ষেত্রের অনেক লোক (কালকের পরীক্ষামূলকভাবে) ধারণাটি বর্ণনা করবে। এমনকি ঘনত্ব অপারেটরদের ম্যাপিংয়ে প্রসারিত করা হলেও এটি কিছু 'আনফিজিক্যাল' বৈশিষ্ট্যগুলিকে উত্থাপন করতে পারে। যাইহোক, সিদ্ধান্ত গাছের মতো এমন কিছু তৈরির সম্ভাব্য উপায় যাগুলির নোডগুলি রাষ্ট্র-ভেক্টর দ্বারা লেবেলযুক্ত, এবং তাই এটি নীতিগতভাবে তার নিজের পড়াশোনার একটি যুক্তিসঙ্গত প্রক্রিয়া। আমি কেবল এই প্রক্রিয়াটিকে 'পোস্টস্লেশন' বলব না।

[সম্পাদনা করুন] পরিপাটি করার জন্য, আমি গণিত উদাহরণটি সরিয়েছি। আমি মনে করি এটি এই পোস্টের সম্পাদনার ইতিহাস দেখে দেখা যায়।

Comments

তর্কটি অসম্পূর্ণ বলে মনে হচ্ছে। অ্যারনসনের গবেষণাপত্রে করা মন্তব্যটি উল্লেখ করেছে যে আমরা একক বিবর্তনগুলির সাথে পোস্টসেকশনগুলি ছেদ করে কোনও শক্তি অর্জন করতে পারি না, যেমন এটি একক বিবর্তনগুলির সাথে পরিমাপকে ছেদ করতে সহায়তা করে না। তবে আমিও করছি না; আমি পোস্ট সিলেকশন এবং পরিমাপ ছেদ করছি। এই ফ্যাশনটিতে নেতিবাচক ক্ষেত্রে আমার প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য প্রমাণ হওয়া দরকার যে আমরা সর্বদা ক্ষয়ক্ষতির ক্ষতি ছাড়াই পরিমাপের পরে পোস্ট-নির্বাচনগুলি অর্ডার করতে পারি। (আমার কাছে একেবারেই সুস্পষ্ট নয়) বাকি উত্তরগুলি কেবলমাত্র ব্যাখ্যা করে যে কেন আমি ক্লাসটিকে প্রতিটি রাউন্ডে কেবলমাত্র একটি বিটের পোস্ট-নির্বাচন করতে সংজ্ঞায়িত করেছি।

— শন হার্কার

@ শন হারকার: অ্যারনসনের কাগজটি আপনার প্রশ্নের জবাব দেয় কিনা তা বিবেচনা না করেই, উপরে আমার প্রতিক্রিয়া উচিত। পোস্ট-সিলেকশনের প্রভাবটি মূলত "শর্তসাপেক্ষ" সম্ভাবনার চেয়ে শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনাগুলি অনুধাবন করার মঞ্জুরি দেয়। বিট উপর পোস্ট-নির্বাচন$C_j$শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনার জন্য শর্তগুলির সংযোগের জন্য নির্বাচন করা মূলত একই। বিটগুলিতে শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা$C_j$ শর্তটি ধরে রাখে কি না তা মূল্যায়ন স্থগিত করে পরিবর্তিত হয় না, এতক্ষণ বিট থাকে $C_j$নিরবচ্ছিন্ন রেখে দেওয়া হয়।

— নিল দে বৌদ্রাপ

মনে হচ্ছে আপনি বিতর্ক করছেন আমরা যদি পোস্টসেকশন এবং পরিমাপকে পুনরায় অর্ডার করি তবে আমরা একই পরিসংখ্যান পেয়েছি। তবে যদি আমরা কোনও পোস্ট-সিলেকশনের আগে কিছু বিট পরিমাপ করি, তবে আমরা ভিন্ন বিতরণ থেকে পরিমাপ করি তবে আমরা যদি পোস্টস্লেশনের পরে সেই একই বিটগুলি পরিমাপ করি। সুতরাং পরিসংখ্যান এক নয়।

— শন হার্কার

পরিসংখ্যান সংগ্রহের উদ্দেশ্যে, পছন্দসই পোস্টকন্ডিশন হ'ল না এমন পরীক্ষাগুলি কেবল প্রত্যাখ্যান করে একটি পদ-নির্বাচন শারীরিকভাবে প্রয়োগ করা যেতে পারে (অদক্ষভাবেই)। কোনও পোস্টকন্ডিশন ধরে রাখার স্থিতি ( যেমন "এই একক বিটটি রাজ্যে রয়েছে | 1⟩" বা "এই পাঁচটি বিট সমস্ত রাজ্যে রয়েছে | 1⟩") পরিমাপের আদেশ দ্বারা প্রভাবিত হয় না, যতক্ষণ না অপারেশনগুলি হয় না ফলাফলগুলি সংরক্ষণ করে বিট পরিবর্তন করতে প্রয়োগ করা হয়েছে। কোনও পরীক্ষার বিষয়টি প্রত্যাখ্যান করা হবে কি হবে না এই বিষয়টি পোস্টবিকিপিতে পরিমাপের আদেশের থেকে পৃথক নয় , তাই আমরা পোস্ট-সিলেকশনটি শেষ পর্যন্ত পিছিয়ে রাখতে পারি।

— নিল দে বৌদ্রাপ ২৮

পোস্ট-সিলেকশনের এই বৈশিষ্ট্যটি তখনই প্রযোজ্য যখন আমরা পরিমাপের আগে পোস্ট-নির্বাচন করি। আমি যে তিনটি কুইট উদাহরণ দিয়েছি তা ইতিমধ্যে এটি প্রদর্শিত হয়েছে। যদি আমি এই সম্পর্কে ভুল হয়ে থাকি তবে দয়া করে এই উদাহরণটিকে খণ্ডন করে সরাসরি প্রতিক্রিয়া জানান যা পরিমাপ এবং পোস্টসেকশনের ক্রম অনুসারে বিভিন্ন পরিসংখ্যান দেয়।

— শন হারকার

Answer 3

এটা আপনি সংজ্ঞা থেকে মনে হবে MPostBQP , যে এই সহজভাবে হয় PostBQP অভিনব পোষাক হবে। আপনাকে বোঝানোর চেষ্টা করার চেয়ে যে পরিমাপগুলি পুনরায় সাজানো যেতে পারে, সম্ভবত আপনি MPostBQP = পিপি প্রমাণ করতে আরও দৃinc় বিশ্বাসী হবেন , যেহেতু এটি পরিচিত যে PostBQP = পিপি ( কোয়ান্ট-পিএইচ / 0412187 দেখুন )। এটি প্রমাণ করার জন্য, আমরা এটিকে দুটি কার্যে পৃথক করি:

1. প্রমাণিত যে পিপি$\subseteq$MPostBQP এবং
2. এমপিস্টবিকিপি প্রমাণ করছে$\subseteq$ পিপি

প্রথম কাজটি তুচ্ছ, যেহেতু পিপি = পোস্টবিকিপি = এমপিস্টবিকিপি [1]$\subseteq$MPostBQP । দ্বিতীয় কাজটি এখানে সত্যই প্রধান প্রশ্ন, তবে কোয়ান্ট-পিএইচ / 0412187 এ দেওয়া পোস্টবিকিপি = পিপি যে প্রমাণের একটি সহজ অভিযোজন করে ( তার প্রমাণের একটি রূপরেখার জন্য পোস্টবিকিপিতে উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠা দেখুন ) তার উত্তর দিয়ে উত্তর দেওয়া যায়।

নিম্নলিখিত পোস্টবিকিপি = পিপি জন্য উইকিপিডিয়া প্রুফ স্কেচ থেকে অভিযোজিত হয় ।

আমরা ইউনিটরি গেটস এবং পোস্ট- সিলেকশনগুলির সিরিজ হিসাবে কোনও এমপিস্টবিকিপি গণনার সাথে সম্পর্কিত সার্কিটটি লিখতে পারি । সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই আমরা ধরে নিতে পারি যে একবার কোয়েট পোস্ট-নির্বাচিত হয়ে গেলে, এটি আর কখনও কার্যকর হয় না। সুতরাং, গণনার শেষে প্রাপ্ত কোয়ান্টাম রাষ্ট্র দ্বারা প্রদত্ত $|\psi\rangle = \prod_i (P_i^1 \prod_j A^{ij}) |x\rangle$, কোথায় $P_i^1$ প্রজেক্টরকে কুইটের জন্য চিহ্নিত করে $i$ সম্মুখের দিকে $|1\rangle$ সাবস্পেস এবং $A^{ij}$প্রাথমিক গেটের সাথে সম্পর্কিত ম্যাট্রিক্স। নোট করুন যে সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই আমরা ধরে নিতে পারি যে সমস্ত এন্ট্রি এতে রয়েছে$A^{ij}$ অতিরিক্ত কবিট ব্যয়ে আসল।

এখন, চলুন $\{p_i\}$ পোস্টের পরে নির্বাচিত কুইটসের সেট হোন এবং আসুন $q$আউটপুট কোয়েট হতে। আমরা সংজ্ঞায়িত করি$\pi_0 = \sum_{w \in S_0} \psi_w^2$ এবং $\pi_1 = \sum_{w \in S_1} \psi_w^2$, কোথায় $S_0$ ($S_1$) গণনা ভিত্তিক রাজ্যগুলির সেট যা এর জন্য $p_i = 1 \forall i$ এবং $q=0$ ($q=1$)। MPostBQP এর সংজ্ঞা তখন তা নিশ্চিত করে$\pi(1) \geq 2\pi(0)$ অথবা $\pi_0 \geq 2\pi_1$। ধারণাটি তখন তুলনা করার জন্য একটি পিপি মেশিন তৈরি করা$\pi_0$ এবং $\pi_1$। প্রকাশ$\psi_w$, চূড়ান্ত তরঙ্গসংশ্লিষ্ট অংশ $\psi$ একটি নির্দিষ্ট গণনা ভিত্তিক রাষ্ট্রের সাথে সম্পর্কিত $w$, যোগফলগুলি এবং সূচকগুলি প্রতিস্থাপনের জন্য যোগফল $i$ এবং $j$ চালু $A^{ij}$ একটি একক সূচক সহ $k$ 1 থেকে চলমান $G$, আমরা প্রাপ্ত $\psi_w = \sum_{\alpha_1 ... \alpha_G} A^{G}_{w,\alpha_G} A^{G-1}_{\alpha_G,\alpha_{G-1}} ... A^{1}_{\alpha_2,\alpha_1} x_{\alpha_1}$।

তারপরে, ধারণাটি হ'ল একটি পিপি মেশিন তৈরি করা যা সম্ভাব্যতার সাথে গ্রহণ করে$\frac{1}{2}(1+C(\pi_1-\pi_0))$ কিছুর জন্য $C>0$, তখন থেকে $x \in L$ যে বোঝাতে হবে $\frac{1}{2}(1+\pi_1-\pi_0)> \frac{1}{2}$ এবং $\frac{1}{2}(1+\pi_1-\pi_0) < \frac{1}{2}$ যদি $x \notin L$।

এখন যাক $\alpha = \{\alpha_i\}$ এবং $F(A,w,\alpha,X) = A^{G}_{w,\alpha_G} A^{G-1}_{\alpha_G,\alpha_{G-1}} ... A^{1}_{\alpha_2,\alpha_1} x_{\alpha_1}$। তারপর$\pi_1 - \pi_0 = \sum_{w \in S_1} \sum{\alpha,\alpha'} F(A,w,\alpha,X)F(A,w,\alpha',X) - \sum_{w \in S_0} \sum{\alpha,\alpha'} F(A,w,\alpha,X)F(A,w,\alpha',X)$।

এর পরে পিপি মেশিনটি নিম্নলিখিত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়:

1. একটি গণনা ভিত্তিক রাষ্ট্র চয়ন করুন $w$ এলোমেলোভাবে এলোমেলোভাবে
2. যদি $w \notin S_0 \cup S_1$, তারপরে থামুন এবং সম্ভাবনার সাথে গ্রহণ করুন $1/2$, এবং অন্যথায় প্রত্যাখ্যান।
3. দুটি ক্রম চয়ন করুন $\alpha$ এবং $\alpha'$ এর $G$ গণনা ভিত্তিক এলোমেলোভাবে রাজ্য।
4. গনা $X = F(A,w,\alpha,x)F(A,w,\alpha',x)$।
5. যদি $w\in S_1$ তারপরে সম্ভাব্যতার সাথে গ্রহণ করুন $\frac{1+X}{2}$, এবং অন্যথায় প্রত্যাখ্যান। বিকল্পভাবে, যদি$w\in S_0$ তারপরে সম্ভাব্যতার সাথে গ্রহণ করুন $\frac{1-X}{2}$, এবং অন্যথায় প্রত্যাখ্যান।

এরপরে এমপোস্টবিকিপি রাখে [কে]$\subseteq$পিপি , সবার জন্য$k$, তাই MPostBQP বেশী শক্তিশালী PostBQP ।

Comments

এই যুক্তি দেখায় যে একক বিবর্তনগুলির সাথে একাধিক পোস্ট নির্বাচনকে ছেদ করা আমাদের পিপি ছাড়া আর কিছু দেয় না। আমি সম্পূর্ণভাবে রাজী. আমরা ক্ষমতাহীন ক্ষতি ছাড়াই এগুলিকে শেষ পর্যন্ত পিছিয়ে দিতে পারি এবং আমাদের কেবল একটির প্রয়োজন। আমি দেখছি না যে এই যুক্তি আমাকে এর চেয়ে বেশি কিছু বলে। তবে আমার প্রশ্নটি আলাদা কিছু জিজ্ঞাসা করে; এটি একক বিবর্তনকে অনুসরণ করে তারপরে পরিমাপ এবং নির্বাচনের বৃত্তাকার সাথে চূড়ান্ত সম্ভাবনার সাথে এই সিদ্ধান্ত গাছ পদ্ধতির মাধ্যমে গণনা করা হয়। সুতরাং আমি দেখতে পাচ্ছি না যে এটি আমার প্রশ্নের সমাধান করে।

— শন হারকার

আপনি যে প্রতিক্রিয়া দেখিয়েছেন তাতে আমি (চরম) প্রশংসা করি না তা বলাই নয়। আমি কেবল দেখতে পাচ্ছি না যে এটিতে আমি যা চেষ্টা করার চেষ্টা করছিলাম সেটিকে সম্বোধন করে, যা আমি স্বীকার করে বোঝানোর মতো কোনও কাজ খুব বেশি করি নি।

— শন হারকার

@ শান: আমি পার্থক্যটি দেখতে পাচ্ছি না। আপনি কি পরামর্শ দিচ্ছেন যে পরিমাপ যুক্ত করার ফলে শক্তি পরিবর্তন হয়? এটি অবশ্যই ক্ষেত্রে নয়, কারণ পরিমাপগুলি সর্বদা বৃহত্তর হিলবার্ট স্থানের একক বিবর্তনের সমতুল্য।

— জো ফিটজসিমন্স 17

@ শাঁন: আমার বক্তব্য হ'ল গাণিতিকভাবে পরিমাপের পরিস্থিতি এবং ছাড়াই পরিস্থিতি (তবে যথাযথভাবে বর্ধিত হিলবার্ট স্পেস সহ) অভিন্ন। আমি কোনও ধরণের দার্শনিক বিন্দু তৈরি করার চেষ্টা করছি না, বা কোয়ান্টাম মেকানিক্সের একটি ব্যাখ্যাকে সমর্থন করছি, আমি কেবল উল্লেখ করছি যে একটি সুপ্রতিষ্ঠিত (গাণিতিক) ফলাফলের ফলে পরিমাপ যোগ করা গণনা শক্তিতে কোনও পার্থক্য রাখে না।

— জো ফিটজসিমনস

@ শান: আমার কাছে মনে হচ্ছে আপনি পোস্ট-নির্বাচন ভুলভাবে প্রয়োগ করছেন। যদি আপনি এটিকে সাধারণ উপায়ে বাস্তবায়ন করেন (যেমন কোনও নির্দিষ্ট মানদণ্ডের সাথে খাপ খায় এমন ফলাফলগুলি বিবেচনা করে আপনি কী পরিসংখ্যানগুলি পেয়েছেন তা বিবেচনা করে), তবে নীল এবং আমি উভয়ই দেখিয়েছিলে আপনি PostBQP = MPostBQP পান। আপনি মন্তব্যে যে রাজ্য দিয়েছেন তার পরিমাপের অর্ডারের চেয়ে স্বতন্ত্র পরিসংখ্যানও পাবেন। গুরুত্বপূর্ণভাবে প্রথম কুইবিট সমান সম্ভাব্যতার সাথে 0 এবং 1 দেয় না । (চালিয়ে যেতে হবে)

— জো ফিটজসিমন্স