একটি আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিক্সের গণনা র‌্যাঙ্কের দ্রুততম অ্যালগরিদম কী?

15

একটি ম্যাট্রিক্স দেওয়া হয়েছে (ধরে ), কলামগুলির অবস্থান এবং ভিত্তি গণনা করার জন্য দ্রুততম অ্যালগরিদম কী? $m \times n$ $m \ge n$

আমি সচেতন যে এটি লিনিয়ার ম্যাট্রয়েড ছেদ দিয়ে সমাধান করা যেতে পারে, যা একটি সময় অ্যালগরিদম এবং একটি সময় এলোমেলাইজড অ্যালগরিদমকে বোঝায় । এমন কোনও সময় নির্ণয়কারী অ্যালগরিদম রয়েছে যা ম্যাট্রিক্সের গুণকে আরও সরাসরি সমস্যা (বা গাউসিয়ান নির্মূলকরণ) হ্রাস করে? $O(mn^{1.62})$ $O(mn^{\omega-1})$ $O(mn^{\omega-1})$

— হো ইয়ে চেউং
সূত্র

9

আপনি একটি আনতে পারেন -matrix সময় পর্যায় ফর্ম মধ্যে কোন । বার্গিজার, ক্লাউজেন, শোক্রোলাহী, বিভাগ 16.5-র "বীজগণিত জটিল জটিলতা" বইটি দেখুন। $2n \times n$ $O(n^{\omega + \epsilon})$ $\epsilon > 0$

এখন আপনি এই পদ্ধতিটি বার আপনার -matrix এ প্রয়োগ করুন। এটি পাটিগণিত ক্রিয়াকলাপগুলির সাথে একটি অ্যালগরিদম দেয় । $m/n$ $m \times n$ $O(mn^{\omega-1})$

আপনি একটি আনতে পারেন পর্যায় ফর্ম মধ্যে -matrix, তাহলে এটি আকারের একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স রয়েছে পরে। আপনি অবশিষ্ট নেওয়া -matrix, একটি নতুন যোগ আপনার ইনপুট ম্যাট্রিক্স -block এবং এই আনতে পর্যায় ফর্মে ইত্যাদি। $2n \times n$ $n \times n$ $n \times n$ $n \times n$

— 5501
সূত্র

1

আপনি কি এটি বলতে বিভাজন কি

মধ্যে সারি

গ্রুপ? র‌্যাঙ্ক দেওয়ার জন্য আপনি

ফলাফলগুলি কীভাবে একত্রিত করবেন ? উভয়ের প্রথম কলামে 1 টি পৃথক গোষ্ঠী থেকে একেলোন আকারে দুটি সারি বিবেচনা করুন, তাদের র‌্যাঙ্ক 2 ডান হতে পারে?

m

$m$

m / n

$m/n$

m / n

$m/n$

— হো ইয়ে চেং

এটির জন্য কি কোনও নিম্ন আবদ্ধ আছে? র‌্যাঙ্কের মতো কোনও গণনার শক্তি আছে?

— টমাস আহলে

3

আমরা একটি পদে গনা করতে $m \times n$ ম্যাট্রিক্স 'এ $\tilde{O}(\textrm{nnz}(A) + r^{\omega})$ সময়, যেখানে $\textrm{nnz}(A)$ অ শূন্য এন্ট্রিগুলির সংখ্যা হল $A$ এবং $r$ পদে হয় $A$ । এটি চেউং এটে থিওরেম ১.১ থেকে অনুসরণ করে। অল। [সিকেএল'১৩] এবং $r$ উপর বাইনারি অনুসন্ধান করা । এটি উপরে বর্ণিত $O(mn^{\omega-1})$ অ্যালগরিদমের চেয়ে দ্রুত is

— আয়েনশ বকশি
সূত্র

2

O (m n^{ω - 1})

$O(mn^{\omega-1})$

1

যে ইশারা জন্য ধন্যবাদ। উপরের উদ্ধৃতিটি ওপি-র একটি কাগজ তাই আমার উত্তর বেশিরভাগ সম্পূর্ণতার জন্য।

— আইনেশ বকশি