(সম্ভবত সুসংহত) নুরিকাবে জটিলতা কী?

Question

নূরিকাবে একটি সীমাবদ্ধ-ভিত্তিক গ্রিড-ফিলিং ধাঁধা, মাইনসুইপার / ননোগ্রামের সাথে আলতোভাবে অনুরূপ; নম্বরগুলি একটি গ্রিডে স্থাপন করা হয় যা প্রতিটি কক্ষের জন্য অন / অফ মানগুলিতে পূরণ করতে হয়, প্রতিটি সংখ্যা সেই আকারের কোষগুলির সাথে সংযুক্ত 'অন' অঞ্চল এবং 'অফ' কোষের অঞ্চলে কিছু ছোটখাটো বাধা বোঝায় (এটি) অবশ্যই সংযুক্ত থাকতে হবে এবং কোনও ধরণের 2x2 অঞ্চল থাকতে পারে না)। উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠায় আরও স্পষ্ট বিধি এবং নমুনা ধাঁধা রয়েছে।

সাধারণভাবে, এই ধরণের ধাঁধা NP- সম্পূর্ণ হতে থাকে, এবং নূরিকাবে ব্যতিক্রম নয়; তারা এনপিতে পড়ে কারণ সমাধানটি নিজেই সমস্যার (বহুভিত্তিক-যাচাইযোগ্য) সাক্ষী হিসাবে কাজ করে। তবে সর্বাধিক অনুরূপ ধাঁধাগুলির বিপরীতে, নুরিকাবে দৃষ্টান্তগুলি সংযোগযুক্ত হতে পারে: একটি u গ্রিডে সুডোকু v প্রদত্ত হতে পারে (যদি চেয়ে কম দেওয়া হয় তবে নিখোঁজদের মধ্যে পার্থক্য করার কোনও উপায় নেই) চিহ্নগুলি), ননোগ্রামগুলিতে অবশ্যই প্রতিটি সারি বা কলামের জন্য কমপক্ষে একটি দেওয়া প্রয়োজন, এবং মাইনসুইপার অবশ্যই কমপক্ষে কোষে প্রদত্ত থাকতে হবে বা নেই এমন কোষ থাকবে (এবং যার অবস্থান নির্ধারণ করা যায় না) )। তবে একটি নূরিকাবে ধাঁধা দেওয়ার সময় এর যোগফল থাকতে হবে$n\times n$$\Theta(n)$$n-1$$1\over16$$\Theta(n^2)$ , এটা আছে সম্ভব যে আকার প্রতিটি givens, যাতে বিট আকারের একটি Nurikabe ধাঁধা নির্দিষ্ট করার যথেষ্ট হতে পারে - অথবা বিবর্তন করা, বিটস্ নূরেকাবে আকারের ক্ষুদ্রতর উদাহরণ নির্দিষ্ট করার জন্য যথেষ্ট হতে পারে যার অর্থ একমাত্র গ্যারান্টি হ'ল সমস্যাটি এনএক্সপি-র মধ্যে রয়েছে।$\mathrm{O}(1)$$\Theta(\log(n))$$n$$k$$k$

দুর্ভাগ্যক্রমে, নূরিকাবের দৃ hard়তার প্রমাণ আমি সমস্ত ধরণের ব্যবহার tions থিতা দিয়ে ধ্রুব আকারের দিয়েছি বলে প্রমাণ পেয়েছি , সুতরাং তাদের উদাহরণগুলি লগারিদমিকের পরিবর্তে গ্রিড আকারে বহুপদী, এবং আমি এই সিদ্ধান্ত নিতে পারি না যে সমস্ত দ্রবণযোগ্য 'সানসিঙ্ক্ট' নূরিকাবে ধাঁধাগুলির অতিরিক্ত কাঠামো রয়েছে যাতে সমাধানগুলি বর্ণনা করা যায় এবং ঠিক ততটুকু যাচাই করা যায়; উদাহরণস্বরূপ, 2 টি আকারের ধাঁধা সম্পর্কে আমি যে উদাহরণটি জানি তার উদাহরণগুলি on এর প্রতিটি ইউনিয়ন এবং উভয় কোষের অঞ্চলগুলিতে নিয়ে যায়$\Theta(n^2)$$\Theta(n^2)$$\mathrm{O}(1)$আয়তক্ষেত্রগুলি এবং তাই তাদের নিজস্ব একটি সংক্ষিপ্ত বিবরণ আছে। বেসিক এনপি-সম্পূর্ণতার ফলাফল ছাড়াই এই ধাঁধাটির মধ্যে যে অতিরিক্ত গবেষণা করা হয়েছে এবং বিশেষত সম্ভাব্য সংক্ষিপ্ত মামলার ক্ষেত্রে আরও জটিলতার ফলাফল রয়েছে এমন কি কেউ কি জানেন?

(দ্রষ্টব্য: এটি মূলত গণিতের দিকে জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল SEএসই , তবে এখনও সেখানে কোনও উত্তর পাওয়া যায় নি এবং এটি এই সাইটের জন্য যথাযথ গবেষণা-স্তরের বলে মনে হয়)

Comments

স্ট্যাডনিক: সম্ভবত আপনি নীচের উত্তরটির আলোকে আপনার প্রশ্নটি পরিষ্কার করতে পারেন, না হলে উত্তরটি গ্রহণ করতে পারেন? (এছাড়াও: এই পোস্ট করার জন্য ধন্যবাদ, প্রশ্নটি সম্পর্কে চিন্তাভাবনা আমাকে ধাঁধা ভিত্তিতে সিদ্ধান্ত নেওয়া সমস্যা সম্পর্কে আমার অস্বস্তি বুঝতে সাহায্য করেছে।)

— অ্যান্ড্রেস সালামন

Answer 1

আপনি সত্যিই জিজ্ঞাসা করছেন বলে মনে হচ্ছে: NP মধ্যে নূরিকাবে?

নুরিকাবে হ'ল এনপি-হার্ড, যেহেতু একটি বহু-আকারের গ্যাজেট তৈরি করতে পারেন যা কোনও নুরিকাবে সিদ্ধান্ত সমস্যার সাথে এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা হ্রাস করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। হলজার, ক্লেইন, কুত্রিব এবং ম্যাকফিল এবং ফিক্স তাদের পোস্টারে এটিই করেছেন (উইকিপিডিয়া নিবন্ধ থেকে উভয়ই রেফারেন্স করা হয়েছে)।

উভয় গ্রুপের লেখক ধরে নিয়েছেন যে সমস্যাটি তুচ্ছভাবে এনপি-তে রয়েছে এবং সদস্যতার প্রশ্নকে সরিয়ে দেয়। সংক্ষিপ্ত উদাহরণগুলির বিষয়ে আপনার উদ্বেগ স্পষ্ট বলে মনে হচ্ছে - আমি বিশ্বাস করি না যে সমস্যাটি এনপিতে রয়েছে। সিদ্ধান্তের সমস্যাটিকে আনুষ্ঠানিক করার জন্য নিম্নলিখিত উপায়টি বিবেচনা করুন:

বাইনারি NURIKABE
ইনপুট: পূর্ণসংখ্যার M এবং N বাইনারি মধ্যে , একটি Nurikabe বোর্ড, এবং triples একটি তালিকা প্রতিনিধিত্বমূলক, প্রতিটি বোর্ডে একটি অবস্থান এবং একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যে অবস্থানে লিখিত নির্দেশ করে।
প্রশ্ন: নূরিকাবে সীমাবদ্ধতার প্রতি শ্রদ্ধা রেখে, বোর্ডের বাকি পদের অবস্থানগুলি দুটি বর্ণের সাথে রঙিন হতে পারে?

$m$$n$$mn$

$(m-2)(n-2)$$m \times n$$mn-1$$\Theta(\log\, m + \log\, n)$

আপনার প্রশ্নটি তখন হয়ে যায়: সমস্ত বাইনারি নুরিকাবে দৃষ্টান্তের জন্য বহুপদী আকারের শংসাপত্র রয়েছে কি, যা বহুবর্ষের সময় পরীক্ষা করা যায়?

এ জাতীয় শংসাপত্রগুলি অগত্যা উপস্থিত রয়েছে তা আমার কাছে স্পষ্ট নয়। তেমনি এটি যে সুস্পষ্ট, দ্রুত যাচাইযোগ্য শংসাপত্রের অস্তিত্ব থাকতে পারে তা প্রমাণ করার উপায় কী তা স্পষ্ট নয়।

তবে, অনন্য সমাধানের সীমাবদ্ধতার অর্থ সমস্যাটি আসলে মার্কিন যুক্তরাষ্ট্রে, তাই সহ-এনপি-হার্ড, এবং এনপি-তে থাকার সম্ভাবনা কম। মুল বক্তব্যটি হ'ল যদি নুরিকাবে বাধা হিসাবে (যদি মানুষের কাছে উপস্থাপিত হওয়ার একটি কাঙ্ক্ষিত বৈশিষ্ট্যের বিপরীতে) "যদি একটি" অনন্য সমাধান থাকে "তবে এটি সমাধান রয়েছে তা প্রমাণ করার পক্ষে যথেষ্ট নয়, তবে এটিরও অবশ্যই সমাধান করতে হবে দেখান যে অন্য কোনও সমাধান সম্ভব নয়। সমস্যাটি এনপি-তে সম্ভবত নেই তা নিশ্চিত করার জন্য একা এই প্রয়োজনীয়তা যথেষ্ট। সমস্যাটির অবিচ্ছিন্ন সংস্করণেও এটি সত্য।

সংক্ষেপে: যদি কেউ অনন্য সমাধানের প্রয়োজনীয়তা শিথিল করে এবং বোর্ডের আকারটি অ্যানারিতে নির্দিষ্ট করে, তবে সিদ্ধান্তের সমস্যাটি এনপিতে রয়েছে; অ-অনন্য সমাধান এবং বাইনারি বোর্ডের আকার সহ, সিদ্ধান্তের সমস্যাটি এনপিতে আছে কিনা তা স্পষ্ট নয়; এবং অনন্য সমাধানের সাথে সিদ্ধান্তের সমস্যাটি ইউএস-হার্ড এবং তাই বোর্ডের আকারের এনকোডিংয়ের জন্য এনপি-তে থাকার সম্ভাবনা কম।