এল 2 এর আইসোমেট্রিক এম্বেডিং 1

জানা যায় একটি প্রদত্ত এর -point উপসেট (যে দেওয়া পয়েন্ট ইউক্লিডিয় দূরত্ব সহ) তা তাদের মধ্যে isometrically এম্বেড করা সম্ভব $n$ $\ell_2^d$ $n$ ${\mathbb R}^d$ । $\ell^{n\choose 2}_1$

বহুতল সময়ে আইসোমেট্রিটি গণনাযোগ্য (সম্ভবত, এলোমেলোভাবে)

যেহেতু সসীম-নির্ভুলতার সমস্যা রয়েছে তাই সুনির্দিষ্ট প্রশ্নটি

একটি সেট দেওয়া এর পয়েন্ট এবং , একটি ম্যাপিং হয় $X$ $n$ ${\mathbb R}^d$ $\epsilon >0$ গণনীয় (সম্ভবত, সময় বহুপদী মধ্যে যদৃচ্ছতা) ব্যবহার করেএবং লগারিদমিকএমন প্রত্যেকটি যেআমরা আছে $f: X \to {\mathbb R}^{n\choose 2}$ $n$ $1/\epsilon$ $x,y\in X$

$|| f(x)-f(y)||_1 \leq ||x-y||_2 \leq (1+ \epsilon) \cdot || f(x)-f(y) ||_1$

(দ্রষ্টব্য: আমি সচেতন বিকৃতি সঙ্গে একটি ম্যাপিং যে সময় বহুপদী উচ্চ সম্ভাবনা সঙ্গে পাওয়া যাবে এবং উপর জরিপ দ্বারা র্যান্ডম লাইন, কিন্তু আমি নই নিশ্চিত করুন যে মাত্রার সংখ্যাটি গঠনমূলকভাবে হ্রাস করা যেতে পারে $(1+\epsilon)$ $n$ $1/\epsilon$ $O(\epsilon^{-2} \cdot \log n)$ বা এমনকিযখনচেয়ে অনেক বড়, এবং যদি সেখানে কেস হ্যান্ডেল করার জন্য একটি বহুপদী সময় পদ্ধতি আমি জানি না যাহয় সূচকীয় মধ্যে।) $n\choose 2$ $O(n^2)$ $1/\epsilon$ $n$ $1/\epsilon$ $n$

cg.comp-geom metrics embeddings

— লুকা ট্রেভিসান
সূত্র

এটি একটি খুব সুন্দর প্রশ্ন। @ লুকা, আপনি কি সন্দেহ করেন যে এটি কঠিন হতে পারে? (অবশ্যই আমার প্রথম চিন্তা ছিল 'হামিং ইউক্লিডের সাথে দেখা হয়েছে' এর দিকে নজর দেওয়া, এবং তারপরে আমি প্রশ্নকর্তার পরিচয়টি দেখতে পেলাম :)

— সুরেশ ভেঙ্কট

এই রেফারেন্সটি সম্পর্কিত বলে মনে হচ্ছে: পজোটর ইন্দিক, "অনিশ্চয়তার নীতি, এক্সট্র্যাক্টর এবং এল 2-কে এল 1 এর স্পষ্ট এম্বেডিং", প্রোক Pr STOC'07।

— মার্টিন শোয়ার্জ

@ ডেভিড:

হ'ল পয়েন্টের সংখ্যা, আমি সেই স্থানটি সংশোধন করেছি যেখানে আমি মাত্রার জন্য

ব্যবহার করেছি। ইউক্লিডিয়ান স্পেসে যে

পয়েন্টগুলি (যে কোনও মাত্রার)

) তে আইসোমেট্রিকভাবে এম্বেড করা যেতে পারে

n

$n$

n

$n$

n

$n$

এখানে প্রমাণিত হয়েছে:www-math.mit.edu/~goemans/18409-2006/lec1.pdfবরংগঠনমূলকভাবেনয়। (ক্যার্যাথোডোরির উপপাদ্য সীমাবদ্ধ তবে বৃহত্তর মাত্রা থেকে মাত্রা পর্যন্ত যেতে হবে

ℓ_{1}^{(\binom{n}{2})}

$\ell_1^{n \choose 2}$

নির্বিচারে ছোট ত্রুটি, এবং নির্বিচারে ছোট ত্রুটি থেকে শূন্য ত্রুটিতে যাওয়ার জন্য একটি সংক্ষিপ্ত যুক্তি দিয়ে))

(\binom{n}{2})

${n \choose 2}$

— লুকা ট্রেভিসান

@ মার্টিন: রেফারেন্সের জন্য ধন্যবাদ। পাইওটারের কাগজে সমস্ত

(কেবলমাত্র

পয়েন্টের একটি নির্দিষ্ট সেট নয় )

ম্যাপিংয়ের কঠিন সমস্যা রয়েছে । এই সমস্যার জন্য, আমি বিশ্বাস করি যে এমনকি

এবং বিকৃতি

অর্জন করা এমনকি এটি একটি মুক্ত সমস্যা । (পাইওটার

এবং

ℓ_{2}^{d}

$\ell_2^d$

n

$n$

ℓ_{1}^{m}

$\ell_1^m$

m = p o l y (d, 1 / ϵ)

$m = poly(d,1/\epsilon)$

(1 + ϵ)

$(1+\epsilon)$

m = d^{O (\log d)}

$m = d^{O(\log d)}$

।)

ϵ = 1 / d

$\epsilon = 1/d$

— লুকা ট্রেভিসান

@ লুকাট্রেভিসান: পুনরায়: এল 1-এ এম্বেড করার কঠোরতা, এটি সত্য (এটি দেজা এবং লরেন্ট বইয়ের 1 বা 2 এর অধ্যায়ে উল্লেখ করা হয়েছে - আমি ম্যাক্স সিউটের মাধ্যমে মনে করি)

— সুরেশ ভেঙ্কট

সুরেশ আমাকে উপরে আমার মন্তব্যগুলি একটি উত্তরের জন্য জড়ো করতে বলেছিল, তাই এখানে here আমি সত্যই নিশ্চিত নই যে এটি আসল প্রশ্নের উত্তর, যদিও, যখন ইউক্লিডিয়ান স্থানের ইনপুটটির মাত্রা স্থির থাকে না তখন এটি কীভাবে বহুপক্ষীয় সময়ে তৈরি করা যায় তা স্পষ্ট নয়। এটা তোলে অন্তত সঙ্গে কোনো সমস্যা এড়ানো সুবিধা আছে বৃহৎ মূল প্রশ্ন জিজ্ঞেস করে, কারণ এটি কোনো পড়তা সঙ্গে যুক্ত নয়, এবং এটি ধ্রুবক জন্য বহুপদী দেখায় । $1/\epsilon$ $d$

যাইহোক: অবিচ্ছেদ্য জ্যামিতি থেকে, ডাইমেনশনাল ইউক্লিডিয়ান স্পেসে হাইপারপ্লেনের সেটগুলির একটি মানক পরিমাপ রয়েছে যা ইউক্লিডিয়ান জোটের অধীনে অবিচ্ছিন্ন । এটা তোলে সম্পত্তি যে কোনো বেষ্টিত দৈর্ঘ্যের বক্ররেখার দৈর্ঘ্য hyperplanes পরিমাপ সমানুপাতিক যে ক্রস (সংখ্যাধিক্য দিয়ে, যার মানে হল যদি একটি hyperplane অতিক্রম করে দুইবার তারপর এটি hyperplanes পারাপারের মোট পরিমাণ দ্বিগুণ অবদান )। বিশেষত যদি একটি লাইন বিভাগ হয় তবে বহুগুণ জটিলতা দেখা দেয় না এবং আমরা হাইপারপ্লেনের পেরেকের পরিমাপটিকে এর দৈর্ঘ্য হিসাবে সঠিক করতে পারি $d$ $C$ $C$ $C$ $C$ $C$ $C$ $C$ । (ধারণকারী hyperplanes শূন্য পরিমাপ নেই, তাই অসীম সংখ্যাধিক্য সম্পর্কে চিন্তা করবেন না।) $C$

এখন, ডি-ডাইমেনশনাল স্পেসে এন পয়েন্টের একটি সেট দেওয়া, পয়েন্টগুলির প্রতিটি পার্টিশনের জন্য একটি হাইপারপ্লেন দ্বারা প্ররোচিত দুটি উপ-উপসর্গের জন্য একটি স্থানাঙ্ক তৈরি করুন যা বিন্দুর কোনওটি অতিক্রম করে না। পার্টিশনের সমন্বয় মান শূন্যের একপাশে পয়েন্টগুলি দিন এবং পার্টিশনের অপর প্রান্তের বিন্দুগুলি সেই পার্টিশনকে হাইপারপ্লেনের সেটের পরিমাপের সমান মান স্থানাঙ্কের মান দেয়। $\ell_1$

$p$ $q$ $n$ $K$ $pq$ $K_i$ $K$ $p$ $q$ $K$ $K_i$ $p$ $q$ $K_i$ $\ell_1$ $p$ $q$ $K_i$ $K$ $\ell_2$ $p$ $q$

$n$ $n$ $p$ $q$ $\ell_1$ $p$ $q$ $O(n^d)$ $\sum_{i=0}^d{n\choose i}$

$\ell_1^{O(n^d)}$ $\ell_1^{n\choose 2}$ $\ell_1$ $n\choose 2$ $\ell_1$ $n\choose 2$ $n\choose 2$ $\ell_1$ $\ell_1^{n\choose 2}$

$n\choose 2$ $n\choose 2$ $\ell_1$ $O(n^d)$ $d$ $2^n-2$ $n\choose 2$ $n\choose 2$

— ডেভিড এপস্টিন
সূত্র