স্টার গ্রাফের মধ্যে প্রান্তের সংখ্যার সীমাবদ্ধ যেমন গ্রাফটি প্ল্যানার


9

আমার একটা গ্রাফ আছে Gযা কেবল তারকা গ্রাফ নিয়ে থাকে। স্টার গ্রাফের মধ্যে একটি কেন্দ্রীয় নোড থাকে যার মধ্যে প্রতিটি নোডের প্রান্ত থাকে। দিনH1,H2,,Hn উপস্থিত বিভিন্ন আকারের বিভিন্ন তারকা গ্রাফ হতে G। আমরা সমস্ত নোডের সেটকে কল করি যা কোনও তারকা গ্রাফের কেন্দ্রR

এখন ধরুন এই তারা গ্রাফগুলি অন্যান্য স্টার গ্রাফগুলিতে এমন প্রান্ত তৈরি করছে যে কোনও প্রান্তটি কোনও নোডের মধ্যে ঘটনা নয় R। তারপরে, নোডগুলির মধ্যে সর্বাধিক কতগুলি কিনারা বিদ্যমানR এবং নোড যা নেই R, গ্রাফ প্ল্যানার থাকা উচিত?

আমি এ জাতীয় প্রান্তের উপরের সীমাটি চাই। আমার মনে যে একটি উচ্চতর আবদ্ধ তা হ'ল: তাদের দ্বিপক্ষীয় প্ল্যানার গ্রাফ হিসাবে বিবেচনা করুনR একটি শিখর সমষ্টি এবং বাকী অংশটি অন্য সেট গঠন করে A। আমরা এই সেটগুলির মধ্যে প্রান্তগুলিতে আগ্রহী (R এবং A)। এটি পরিকল্পনাকারী দ্বিপক্ষীয় হওয়ায় এ জাতীয় প্রান্তটি নোডের দ্বিগুণ দ্বারা সীমাবদ্ধG

আমি যা অনুভব করি তা হ'ল আরও ভাল বাঁধা, সম্ভবত নোডের দ্বিগুণ A এর সাথে নোডের সংখ্যা R

যদি আপনি আমার স্বজ্ঞাতকে অস্বীকার করতে পারেন তবে তাও ভাল। আশা করি আপনারা কিছু প্রাসঙ্গিক যুক্তি সহ ভাল আবদ্ধতার সাথে আসতে পারেন।


1
আমি সমস্যাটি অন্যভাবে পুনরায় ফিরিয়ে আনতে পারি: একটি পরিকল্পনাকারী দ্বিপক্ষীয় গ্রাফ দেওয়া এইচ বলুন যে আমরা এটিকে উপসর্গগুলিতে বিভক্ত করতে চাই যেখানে প্রতিটি উপসেট জি এর নক্ষত্রের গ্রাফের সাথে মিলিত হয় (নোড-বিচ্ছিন্ন হয়ে 'x' বিভিন্ন তারা বলে গণ্য করে (এটি ধরে নিলে)) stars সুতরাং পরিকল্পনাকারী দ্বিপক্ষীয় গ্রাফ এইচ ('এক্স' এর মধ্যে কোনও ভূমিকা রাখতে পারে ??)? এর প্রান্তের সংখ্যার উপর সবচেয়ে ক্ষুদ্রতম বেঁধে কী?
সিংহসুমিত

6
cstheory.stackexchange.com/questions/5412/… প্রাসঙ্গিক হতে পারে।
ডেভিড এপস্টিন

প্রায় উপরোক্ত প্রশ্নের সদৃশ মনে হচ্ছে, তবে আমি নিশ্চিত নই।
সুরেশ ভেঙ্কট

পুনঃস্থাপনটি সম্পূর্ণরূপে স্পষ্ট করে না: আপনার দ্বিপক্ষীয় গ্রাফ থাকলে আপনি পার্টিশনের প্রান্তগুলি তারকা, নকল নোড বা পার্টিশন নোডগুলিতে প্রান্তগুলি হারাতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, একটি বর্গক্ষেত্র 2 3-নোড তারা, বা একটি 3-নোড এবং 1-নোড দেয়। যদিও উভয় ক্ষেত্রেই এটি দেখে মনে হবে যে @ ডেভিডের বিশ্লেষণ এবং উদাহরণ ( cstheory.stackexchange.com/questions/5412 ) আপনার প্রশ্নের উত্তর দেয়।
জ্যাক 8

উত্তর:


2

আপনার বক্তব্যটি কিছুটা অস্পষ্ট: প্রথমে আপনি লিখুন যে "... যেমন কোনও প্রান্তটি নোডের মধ্যে ঘটনা নয় R", তবে পরবর্তী অনুচ্ছেদটি সূচিত করে যে অভ্যন্তরভাগের মধ্যে কোনও প্রান্ত নেই A। আমি এটিও ধরে নেব যে তারাগুলি অসন্তুষ্ট, এবং আপনি সমস্ত প্রান্ত গণনা করুন (তারাতে শুরুতে উপস্থিত ব্যক্তিদের সহ)) আসুন ধরে নেওয়া যাক কমপক্ষে দুটি তারা রয়েছে এবং তাদের মধ্যে কমপক্ষে একজনের ডিগ্রি রয়েছে2

সেক্ষেত্রে আপনি এটিকে মারতে পারবেন না 2N4 আবদ্ধ (N= সমস্ত শীর্ষে সংখ্যা)। কিছুটা ভিন্ন দৃশ্য বিবেচনা করুন: যে কোনও সেট দিয়ে শুরু করুনNউল্লম্ব, কিছু লাল কিছু কালো, প্রতিটি ধরণের কমপক্ষে দুটি। প্রতিটি পদক্ষেপে নির্বিচারে একটি লাল এবং একটি কালো প্রান্তের মধ্যে একটি প্রান্ত যুক্ত করুন, যতক্ষণ না এটি চৌরাস্তা বা সদৃশ প্রান্ত তৈরি করে না। আমি দাবি করি যে আপনি যখন আটকে যান তখন সমস্ত চক্রের দৈর্ঘ্য হয়4

আপনার দৃশ্যপট এই প্রক্রিয়াটির একটি বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে আপনি প্রথমে তারার তৈরি করে এবং তারপরে অবশিষ্ট প্রান্তগুলি যুক্ত করে শুরু করেন। যদি সমস্ত চক্রের দৈর্ঘ্য হয়4, দ্য 2N4আবদ্ধ অনুসরণ। আরও সাধারণভাবে, এটি দেখায় যে আপনি যে দ্বিপক্ষীয় গ্রাফটি শুরু করেন তা বিবেচনা না করে আপনি সর্বদা এটি চতুর্ভুজযুক্ত (একটি শব্দ আমি এটি তৈরি করেছি) গ্রাফে পূর্ণ করতে পারেন।

এখন, আসুন দাবিটি দেখান। এই প্রক্রিয়াতে, সমস্ত পাথের বিকল্প কালো এবং লাল সূচি থাকবে এবং প্রতিটি চক্রের দৈর্ঘ্য কমপক্ষে হবে4। যদি গ্রাফটি সংযুক্ত না থাকে তবে আপনি কোনও উপাদানটির বাইরের মুখের যে কোনও লাল ভার্টেক্সকে অন্য উপাদানটির অন্য মুখের একটি কালো ভার্টেক্সের সাথে সংযুক্ত করতে পারেন। সুতরাং আমরা ধরে নিতে পারি গ্রাফটি ইতিমধ্যে সংযুক্ত আছে।

ধরুন আপনার মুখ আছে F দৈর্ঘ্যের 6 অথবা আরও. Fকমপক্ষে তিনটি কালো উল্লম্ব অবশ্যই থাকতে হবে (কিছু সম্ভবত সমান)। যদি কিছু ভার্টেক্সx পুনরাবৃত্তি হয় F, টানা দুটি ঘড়ির কাঁটার দিকে হাজির xবলুন xa...xb...F অবশ্যই একটি কালো প্রান্তি থাকতে হবে zxসুতরাং, অবস্থানের উপর নির্ভর করে z, আমরা সংযোগ করতে পারে a অথবা b প্রতি z ভিতরে Fপ্রান্তগুলি সদৃশ ছাড়াই যদি কোনও ভার্টেক্স পুনরাবৃত্তি না হয় তবে একটি ঘড়ির কাঁটা বিভাগ বেছে নিনxaybz এর F, কোথায় x,y,z কালো এবং a,bলাল হয় যদিx এর সাথে সংযুক্ত b তারপর a এর সাথে সংযুক্ত হতে পারে না z (পরিকল্পনার ভিত্তিতে), যাতে আমরা একটি কিনারা যুক্ত করতে পারি (x,b), (a,z) ভিতরে F


উত্তর করার জন্য ধন্যবাদ. উপরের কিছু লোক অনুরূপ সমস্যার সাথে কিছু প্রাসঙ্গিক লিঙ্ক পোস্ট করেছে এবং আমার কাছে এখন উত্তর আছে।
সিংহসুমিত
আমাদের সাইট ব্যবহার করে, আপনি স্বীকার করেছেন যে আপনি আমাদের কুকি নীতি এবং গোপনীয়তা নীতিটি পড়েছেন এবং বুঝতে পেরেছেন ।
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.