গঠনমূলক মেট্রিক স্পেসের জন্য নির্দিষ্ট পয়েন্টের উপপাদাগুলি?

Question

বনাচের নির্দিষ্ট পয়েন্টের উপপাদ্যটি বলে যে আমাদের যদি কোনও অস্তিত্ব পূর্ণ মেট্রিক স্পেস $A$ , তবে যেকোন অভিন্ন সংকোচনের কাজটি $f : A \to A$ এর একটি অনন্য স্থির বিন্দু থাকে $\mu(f)$ । যাইহোক, এই উপপাদ্য প্রমাণ পছন্দের সবর্জনবিদিত প্রয়োজন - আমরা একটি অবাধ উপাদান চয়ন করতে হবে iterating শুরু করার কোশি ক্রম পেতে থেকে । $a \in A$$f$$a, f(a), f^2(a), f^3(a), \ldots$

1. গঠনমূলক বিশ্লেষণে নির্দিষ্ট পয়েন্টের উপপাদ্যগুলি কীভাবে বর্ণিত হয়?
2. এছাড়াও, গঠনমূলক মেট্রিক স্পেসগুলির জন্য কোনও সংক্ষিপ্ত উল্লেখ রয়েছে?

আমি জিজ্ঞাসার কারণটি হ'ল আমি সিস্টেম এফ এর এমন একটি মডেল তৈরি করতে চাই যাতে প্রকারগুলি অতিরিক্তভাবে মেট্রিক কাঠামো বহন করে (অন্যান্য জিনিসগুলির মধ্যে)। এটা যে গঠনমূলক সেট তত্ত্ব, আমরা একটি পরিবার সেট রাঁধতে পারে বরং দরকারী যেমন যে, পণ্য, exponentials অধীনে বন্ধ করা হবে, এবং যার ফলে এটি সহজ সিস্টেম এফ মডেল দিতে করে তোলে, পরিবার -indexedউ $U$$U$$U$

এটি খুব সুন্দর হবে যদি আমি অনুরূপ পরিবারটি নির্মাণমূলক আল্ট্রাসেট্রিক স্পেসে রান্না করতে পারি। তবে যেহেতু গঠনমূলক সেট তত্ত্বের পছন্দ যুক্ত করা এটি শাস্ত্রীয় করে তোলে, স্পষ্টতই আমাকে স্থির পয়েন্টের উপপাদাগুলি এবং সম্ভবত অন্যান্য স্টাফগুলি সম্পর্কে আরও যত্নবান হওয়া দরকার।

Comments

তোমার হাইপোথিসিস পরিবর্তন করতে পারেন একটি হচ্ছে অধ্যুষিত সেট । আপনি পছন্দের সবর্জনবিদিত invoking বাছাই করা হয় না একটি ∈ একজন । $A$$a\in A$

— কলিন ম্যাককুইলান

Answer 1

"জিনিস" এর সংকলন থাকাকালীন পছন্দের অক্ষটি ব্যবহৃত হয় এবং আপনি প্রতিটি "জিনিসের" জন্য একটি উপাদান বেছে নেন। সংগ্রহের মধ্যে যদি কেবল একটি জিনিস থাকে তবে তা পছন্দের অক্ষর নয়। আমাদের ক্ষেত্রে আমাদের কাছে কেবল একটি মেট্রিক স্পেস রয়েছে এবং আমরা এতে একটি পয়েন্ট "চয়ন" করছি। সুতরাং যে পছন্দ কিন্তু অস্তিত্ববাদের quantifiers বর্জন, অর্থাত্ সবর্জনবিদিত নয়, আমরা একটি হাইপোথিসিস আছে এবং আমরা বলি " x ∈ A এমন থাকুক যে ϕ ( x ) "। দুর্ভাগ্যক্রমে, লোকেরা প্রায়শই বলে "$\exists x \in A . \phi(x)$$x \in A$$\phi(x)$ $x \in A$ ", যা পছন্দসই অক্ষের প্রয়োগ হিসাবে মনে হচ্ছে।$\phi(x)$

রেফারেন্সের জন্য, এখানে বানচের স্থির পয়েন্টের উপপাদ্যটির গঠনমূলক প্রমাণ রয়েছে।

উপপাদ্য: একটি জনবহুল সম্পূর্ণ মেট্রিক স্পেসের সংকোচনের একটি অনন্য নির্দিষ্ট পয়েন্ট রয়েছে।

প্রুফ। মনে করুন একটি জনবহুল সম্পূর্ণ মেট্রিক স্থান এবং চ : এম → এম একটি সংকোচনের। কারণ চ একটি সংকোচন হয় অস্তিত্ব আছে α যেমন যে 0 < α < 1 এবং ঘ ( চ ( এক্স ) , চ ( Y ) ) ≤ α ⋅ ঘ ( এক্স , Y ) সবার জন্য এক্স , Y ∈ $(M,d)$$f : M \to M$$f$$\alpha$$0 < \alpha < 1$$d(f(x), f(y)) \leq \alpha \cdot d(x,y)$$x, y \in M$।

ধরুন এবং V বিন্দু ঠিক করা হয়েছে চ । তারপরে আমাদের d ( u , v ) = d ( f ( u ) , f ( v ) ) ≤ α d ( u , v ) আছে যা থেকে এটি অনুসরণ করে যে 0 ≤ d ( u , v ) ≤ ( α - 1 ) d ( তোমার দর্শন লগ করা , বনাম ) $u$$v$$f$

$$d(u,v) = d(f(u), f(v)) \leq \alpha d(u,v)$$ , অত ঘ ( U , V ) = 0 এবং তোমার দর্শন লগ করা = V । এটি প্রমাণ করে যে f এর সর্বাধিক একটি নির্দিষ্ট পয়েন্ট থাকে।$0 \leq d(u,v) \leq (\alpha - 1) d(u,v) \leq 0$$d(u,v) = 0$$u = v$$f$

এটি একটি নির্দিষ্ট পয়েন্টের অস্তিত্ব প্রমাণ করার জন্য রয়ে গেছে। যেহেতু বসবাস করেন সেখানে x 0 ∈ M উপস্থিত থাকে । ক্রমটি নির্ধারণ করুন ( x i ) পুনরাবৃত্তভাবে x i + 1 = f ( x i ) দ্বারা । আমরা প্রবর্তনের মাধ্যমে প্রমাণ করতে পারি যে ডি ( x i , x i + 1 ) ≤ α i ⋅ d ( x 0 , x 1 ) । এটি থেকে এটি অনুসরণ করে$M$$x_0 \in M$$(x_i)$

$$x_{i+1} = f(x_i).$$ $d(x_i, x_{i+1}) \leq \alpha^i \cdot d(x_0, x_1)$ একটি কচী ক্রম। এম সম্পূর্ণ হওয়ারকারণে, সিকোয়েন্সটির একটি সীমা y = lim i x i রয়েছে । যেহেতু এফ সংকোচনের ফলে এটি অবিচ্ছিন্নভাবে অবিচ্ছিন্ন এবং তাই এটি ক্রমানুসারে সীমাবদ্ধতার সাথে ঘুরে বেড়ায়: f ( y ) = f ( lim i x i ) = lim i f ( x i ) = lim i x i + 1 = lim i x $(x_i)$$M$$y = \lim_i x_i$$f$ সুতরাং y চ এর একটি নির্দিষ্ট বিন্দু। Qed $$f(y) = f(\lim_i x_i) = \lim_i f(x_i) = \lim_i x_{i+1} = \lim_i x_i = y.$$ $y$$f$

মন্তব্য:

1. আমি "বেছে নিন " এবং "বেছে নিন x 0 " না বলার বিষয়ে সতর্ক ছিলাম । এ জাতীয় কথা বলা সাধারণ, এবং এগুলি কেবল বিভ্রান্তি যুক্ত করে যা সাধারণ গণিতবিদদের বলতে পছন্দ করে না যে কী এবং কী তা বলতে সক্ষম হতে বাধা দেয়।$\alpha$$x_0$

2. প্রুফের অদ্বিতীয়তার অংশে লোকেরা প্রায়শই অযৌক্তিকভাবে ধরে নেয় যে দুটি পৃথক স্থির পয়েন্ট রয়েছে এবং একটি বৈপরীত্য সৃষ্টি করে। এইভাবে তারা কেবলমাত্র প্রমাণ করতে সক্ষম হয়েছে যে এবং v যদি f এর নির্দিষ্ট পয়েন্ট হন তবে ¬ ¬ ( u = v ) । সুতরাং এখন আপনার ইউ = ভিতে যাওয়ার জন্য তাদের বাদ দেওয়া মাঝারি দরকার । এমনকি শাস্ত্রীয় গণিতের ক্ষেত্রেও এটি সাবঅপটিমাল এবং কেবল দেখায় যে প্রমাণটির লেখক ভাল লজিক্যাল হাইজিন ব্যবহার করেন না।$u$$v$$f$$\lnot\lnot (u = v)$$u = v$

3. $(x_i)$$x_0$$\exists x \in M . \top$$x_0$$M$

4. $M$$\exists x \in M . \top$$M$$\lnot\forall x \in M . \bot$

5. $\mathrm{fix}_M$$M$$M$$\forall\exists$

6. শেষ অবধি, নিম্নলিখিত নির্দিষ্ট পয়েন্টের উপপাদগুলির গঠনমূলক সংস্করণ রয়েছে:

   • সম্পূর্ণ ল্যাটিকেসে একঘেয়ে মানচিত্রের জন্য ন্যাস্টার-তারস্কি স্থির-পয়েন্ট উপপাদ্য
   • সম্পূর্ণ মেট্রিক স্পেসে সংকোচনের জন্য বনচের স্থির-পয়েন্ট উপপাদ্য
   • ডিসিপোসে একঘেয়ে মানচিত্রের জন্য নাস্টার-তারস্কি স্থির-পয়েন্ট উপপাদক (পাত্রাইয়া দ্বারা প্রমাণিত)
   • ডোমেন তত্ত্বের বিভিন্ন নির্দিষ্ট পয়েন্টের উপপাদাগুলির সাধারণত গঠনমূলক প্রমাণ থাকে
   • পুনরাবৃত্তি উপপাদ্য নির্দিষ্ট পয়েন্টের উপপাদ্যের একটি রূপ এবং এটির গঠনমূলক প্রমাণ রয়েছে
   • আমি প্রমাণিত উপর একঘেয়েমি মানচিত্রের জন্য যে Knaster-Tarski নির্দিষ্ট বিন্দু উপপাদ্য শৃঙ্খল-সম্পূর্ণ posets নেই না একটি গঠনমূলক প্রমাণ আছে। একইভাবে, চেইন-সম্পূর্ণ ভঙ্গিতে প্রগতিশীল মানচিত্রের জন্য বাউরবাকি-উইট স্থির-পয়েন্ট উপপাদটি গঠনমূলকভাবে ব্যর্থ হয়। পরবর্তী উদাহরণগুলির জন্য পাল্টা উদাহরণ কার্যকর টোপোস থেকে আসে: কার্যকর টোপোস অর্ডিনালগুলিতে (উপযুক্তভাবে সংজ্ঞায়িত) একটি সেট তৈরি হয় এবং উত্তরসূরির মানচিত্রগুলি প্রগতিশীল হয় এবং এর কোনও নির্দিষ্ট পয়েন্ট থাকে না। উপায় দ্বারা, ordinals উপর উত্তরাধিকারী মানচিত্র না কার্যকর topos মধ্যে Monotone।

এখন এটি আপনি চেয়েছিলেন চেয়ে বরং আরও তথ্য।

Comments

মেট্রিক স্পেসগুলির কোনও অ্যাকোরিয়ামগুলির সংস্কার করা দরকার?

— নীল কৃষ্ণস্বামী

এটি আর একটি দুর্দান্ত উত্তর, আন্দ্রেজ!

— সুরেশ ভেঙ্কট

@ নীল: না, ধ্রুপদীগুলি শাস্ত্রীয় ক্ষেত্রে যেমন হয় তেমন।

— আন্দ্রেজ বাউর

$\mathrm{fix}$$\mathrm{fix}$$\mathrm{fix}$

$\mathrm{fix}$$\mathrm{fix} = \lambda M . \lambda f . f(\mathrm{fix}_M(f))$$M$$f$$M$$M$