প্ল্যানার দূরত্ব সংরক্ষণকারীর অস্তিত্ব?

Question

G কে একটি এন-নোডের পুনঃনির্দেশিত গ্রাফ হতে দিন, এবং টি কে টার্মিনাল বলা ভি (জি) এর নোড সাবসেট হতে দিন । (জি, টি) এর একটি দূরত্ব সংরক্ষণকারী হ'ল সম্পত্তিটিকে সন্তুষ্টকারী একটি গ্রাফ এইচ

$$d_H(u,v) = d_G(u,v)$$

সমস্ত নোডের জন্য আপনার, টি-তে টি (নোট করুন যে এইচ অবশ্যই জি এর একটি অনুচ্ছেদ নয়)

উদাহরণস্বরূপ, জি নীচের গ্রাফ (ক) এবং টি বাহ্যিক মুখের নোড হতে দিন। তারপরে গ্রাফ (খ) হ'ল (জি, টি) এর একটি দূরত্ব সংরক্ষণকারী।

বিভিন্ন পরামিতি সহ দূরত্ব সংরক্ষণকারীর উপস্থিতি জানা যায়। নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে আমি বিশেষত আগ্রহী:

1. জি প্ল্যানার এবং অরক্ষিত (অর্থাৎ জি এর সমস্ত প্রান্তের ওজন একরকম),
2. টি এর আকার , এবং$O(n^{0.5})$
3. এইচ এর আকার (নোড এবং প্রান্তের সংখ্যা) । (আমাদের কাছে ও ( এন) থাকলে ভাল লাগবে$o(n)$।)$O(\frac{n}{\log\log n})$

এই ধরনের দূরত্ব সংরক্ষণকারীর অস্তিত্ব আছে?

যদি কেউ উপরের বৈশিষ্ট্যগুলি পূরণ করতে না পারে তবে যে কোনও ধরণের শিথিলতা স্বাগত জানানো হয়।

---

তথ্যসূত্র:

• স্পারস সোর্স- ওয়াইজ এবং পেয়ার-বুদ্ধিমান দূরত্ব সংরক্ষণকারী , ডন কপারসমিথ এবং মাইকেল এলকিন, সিডএমএ, 2006।
• স্পার্স দূরত্ব সংরক্ষণকারী এবং অ্যাডেটিভ স্প্যানারস , বালা বল্লোবস , ডন কপারসমিথ, এবং মাইকেল এলকিন, সিডএমএ, 2005।
• সাবলাইনার দূরত্ব ত্রুটিযুক্ত স্প্যানার এবং ইমুলেটরগুলি , মিকেল থারুপ এবং উরি জুইক, এসওডিএ, 2006।
• অ্যাডিটিভ স্প্যানারস, এমুলেটরস এবং আরও কিছুর জন্য নিম্ন সীমাগুলি, ডেভিড পি। উড্রুফ, এফওসিএস , 2006।

দূরত্ব সংরক্ষণক একটি এমুলেটর হিসাবেও পরিচিত ; স্প্যানার শব্দটি অনুসন্ধান করে ইন্টারনেটে অনেকগুলি সম্পর্কিত কাজ পাওয়া যেতে পারে , যার জন্য এইচ-র জি-র একটি অনুচ্ছেদ হতে হবে my তবে আমার অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে আমরা অন্যান্য গ্রাফগুলিও ব্যবহার করতে পারি, যতক্ষণ না এইচ এইচ জি-র মধ্যে দূরত্ব সংরক্ষণ করে pre

Comments

এই জাতীয় চিত্রের জন্য JPEG ব্যবহারের জন্য −1! (কেবল হাস্যকর, তবে পিএনজি চিত্রের গুণমান এবং সাধারণ পরিসংখ্যানগুলির জন্য ফাইল আকার উভয় ক্ষেত্রেই অনেক ভাল)

— সোসোশি ইতো

@ শুয়োশি: দরকারী টিপসের জন্য ধন্যবাদ! আমি জানতাম না যে :)

— Hsien-Chhh चांग 張顯

Answer 1

বহু বছর পরে, দেখে মনে হচ্ছে ওপি অবশেষে তার নিজের প্রশ্নের উত্তর দিয়েছে: সিসিয়ান-চিহ চ্যাং, পাউয়ে গাওয়ারিচস্কি, শাই মোজেস এবং ওরেেন ওয়েইমানের প্ল্যানার গ্রাফগুলির নিকট-অনুকূলতম দূরত্ব এমুলেটর ।

মূল প্রশ্নের উত্তর হ্যাঁ: এটি প্রদর্শিত হয় $\widetilde{O}(\min\{t^2, \sqrt{tn}\})$ প্রান্তগুলির মধ্যে দূরত্ব বজায় রাখতে যথেষ্ট $|T| =: t$টার্মিনালগুলি, যা লগ ফ্যাক্টরগুলির পক্ষে সর্বোত্তম। নির্দিষ্টভাবে$\widetilde{O}(n^{3/4})$ওপিতে সেটিংসের জন্য প্রান্তগুলি যথেষ্ট। এই সংরক্ষণকটিও গণনা করা যায়$\widetilde{O}(n)$সময়; আমি দৃ strongly়ভাবে সন্দেহ করব যে যদি আমরা কেবল অস্তিত্ব সম্পর্কে যত্নশীল এবং সংরক্ষণকারীর গণনার সময়কে যত্ন না করি তবে আকারে লগের উপাদানগুলি অপসারণ করা যেতে পারে তবে আমি এটি কঠোরভাবে যাচাই করি নি।

(একটি স্বল্প আনুষ্ঠানিক নোটে, আমি এই ফলাফলটি সত্যিই আশ্চর্যজনক মনে করি Cong অভিনন্দন!)

Comments

উত্তর হিসাবে পোস্ট করার জন্য আপনাকে @ জিএমবি ধন্যবাদ। এখানে একটি ছোট ক্যাচ হ'ল প্রিজারভারটি নির্দেশিত ; এটি একটি উন্মুক্ত প্রশ্ন যা সাব-লাইনারের আকারের একটি পুনর্নির্দেশিত (তবে এখনও প্রয়োজনীয়ভাবে পরিকল্পনাকারী নয়) এমুলেটর রয়েছে whether তবে অবশেষে এত বছর পরেও একটি পুরানো প্রশ্নের উত্তর জানতে

— পেরে

Answer 2

আপনি ক্লিনের প্ল্যানার সাবসেট স্প্যানারটি দেখতে চাইতে পারেন, যা 1 + অ্যাপসিলন ফ্যাক্টর পর্যন্ত দূরত্ব সংরক্ষণ করে।

প্ল্যানার গ্রাফগুলির জন্য একটি সাবসেট স্প্যানার, টিএসপি সাবডেটের জন্য আবেদন সহ http://doi.acm.org/10.1145/1132516.1132620

Comments

ধন্যবাদ, আমি কাগজটি পড়েছি, এবং তার নির্মাণ এবং আমাদের প্রয়োজনীয়তার মধ্যে একটি ফাঁক রয়েছে। দেখে মনে হচ্ছে যে কোনও স্প্যানার যতক্ষণ না এটি মূল গ্রাফের একটি অনুচ্ছেদ হিসাবে কাজ করবে না; কাউন্টার-উদাহরণ হিসাবে গ্রিড গ্রাফ নিতে পারেন। তবে গ্রিড গ্রাফের জন্য এমুলেটর রয়েছে।

— হিশিয়ান-চিহ চাং 之

অন্য নির্মাণের ধারণা, সম্ভবত এটি কাজ করে? 1) পুনরাবৃত্তভাবে সংক্ষিপ্ততম পাথ বিভাজকগুলি প্রয়োগ করুন (থরুপ, FOCS'01) 2) প্রতিটি শীর্ষবর্ণের জন্য eps-Cover [প্রথম দুটি পদক্ষেপ দূরত্বের লেবেল তৈরি করে] সেখানে স্কয়ার্ট {n} টার্মিনাল রয়েছে, প্রতিটি আকারের লেবেল সহ (লগ এন / eps), সর্বাধিক sqrt {n} * লগ এন পাথের মোট সংখ্যার সাথে সংযোগ স্থাপন এবং 1 / eps বার আরও বেশি পোর্টাল 3) ওজনযুক্ত প্রান্তগুলি দিয়ে পাথরে পোর্টালগুলি শর্টকাট করুন এবং ফলক গ্রাফটি মোটামুটি হওয়া উচিত sqrt {n} * লগ n শিখুন এবং প্রান্তগুলি (eps পর্যন্ত) এবং 1 + ইপিএস সংক্ষিপ্ততম পথগুলির সঠিক প্রতিনিধি যা আমি জানি না ...

— ক্রিশ্চিয়ান সোমার