কোয়ান্টাম এবং ডিটারমিনিস্টিক ক্যোয়ারী জটিলতার মধ্যে ব্যবধানটি সীমাবদ্ধ

Question

যদিও সীমাবদ্ধ-ত্রুটি কোয়ান্টাম ক্যোয়ারী জটিলতা ( ) এবং ডিটারমিনিস্টিক ক্যোয়ারী জটিলতা ( ) বা সীমাবদ্ধ ত্রুটি এলোমেলোভাবে ক্যোয়ারী জটিলতা ( ) পরিচিত, তবে তারা কেবলমাত্র কিছু আংশিক ফাংশনে প্রয়োগ করে। আংশিক ফাংশনগুলির যদি কিছু বিশেষ কাঠামো থাকে তবে সেগুলি এর সাথেও বহুপদীভাবে সম্পর্কিত । তবে আমি বেশিরভাগ মোট কার্যকারিতা নিয়ে উদ্বিগ্ন।$Q(f)$$D(f)$$R(f)$$D(f) = O(Q(f)^9))$

একটি ক্লাসিক কাগজ এটা দেখানো হয়েছিল যে দ্বারা বেষ্টিত মোট কাজগুলির জন্য একঘেয়েমি মোট কাজগুলির জন্য এবং প্রতিসম মোট কার্যকারিতা জন্য। যাইহোক, দ্বিঘাত বিচ্ছিন্নতার চেয়ে বড় (এই বিচ্ছিন্নতা করে এটা করা যায় ফাংশন এই সাজানোর জন্য পরিচিত হয় উদাহরণস্বরূপ)। যতদূর আমি বুঝতে পেরেছি, বেশিরভাগ লোকেরা অনুমান করে যে মোট ফাংশনগুলির জন্য আমাদের । কোন অবস্থার অধীনে এই অনুমানটি প্রমাণিত হয়েছে (প্রতিসম কার্যগুলি বাদে)? মোট কার্যকারিতা জন্য কোয়ান্টাম কোয়েরি জটিলতার ক্ষেত্রে সিদ্ধান্ত-গাছ জটিলতার সর্বোত্তম বর্তমান সীমাটি কী?O ( Q ( f ) 6 ) O ( Q ( f ) 4 ) O ( Q ( f ) 2 ) O R D ( f ) = O ( Q ( f ) 2$D(f)$$O(Q(f)^6)$$O(Q(f)^4)$$O(Q(f)^2)$$OR$$D(f) = O(Q(f)^2)$

Answer 1

যতদূর আমি জানি, আপনার সীমাবদ্ধ সাধারণ সীমাগুলি মূলত সর্বাধিক পরিচিত। মডেল সামান্য পরিবর্তন হচ্ছে, Midrijanis করেছে দেখানো আবদ্ধ যে , যেখানে হয় সঠিক কোয়ান্টাম ক্যোয়ারী জটিলতা ; একতরফা ত্রুটির ক্ষেত্রে আরও কঠোর সীমারেখা রয়েছে ( এই কাগজের বিভাগ 6 দেখুন )।Q E ( f ) $D(f) = O(Q_E(f))^3$$Q_E(f)$$f$

আরও সুনির্দিষ্ট, তবে এখনও সাধারণ, শ্রেনীর ক্লাসের ক্ষেত্রে, বার্নুম এবং সাকসের একটি কাগজ রয়েছে যা দেখায় যে ভেরিয়েবলগুলির সমস্ত পঠন ফাংশনগুলির কোয়ান্টাম কোয়েরি জটিলতা ।Ω ( $n$$\Omega(\sqrt{n})$

যদিও এই অগ্রগতি সীমিত করা হয়েছে, নির্দিষ্ট কার্যের কোয়ান্টাম কোয়েরি জটিলতায় নিম্ন সীমাবদ্ধতায় যথেষ্ট অগ্রগতি হয়েছে ; দেখতে এই পর্যালোচনা বিস্তারিত জানার জন্য (অথবা আরও সাম্প্রতিক যেমন কাগজ Reichardt এর, যা প্রমাণ করে যে '' প্রতিদ্বন্দ্বী '' আবদ্ধ চরিত্রকে কোয়ান্টাম ক্যোয়ারী জটিলতা সবচেয়ে সাধারণ সংস্করণ)।

Answer 2

আমি অ্যাশলে মন্টানারোর উত্তরটি পছন্দ করি তবে আমি ভেবেছিলাম যে অনুমানটি জানা যায় তার জন্য আমি এমন একটি কার্যও অন্তর্ভুক্ত করব।

ক্রিয়াকলাপগুলির একটি সেট যা প্রায়শই আগ্রহী হয় ধ্রুব আকারের 1-শংসাপত্র সহ ফাংশন। এই শ্রেণীর সমস্যার মধ্যে , স্বতন্ত্রতা, সংঘর্ষ, ত্রিভুজ-সন্ধান এবং অন্যান্য অনেক সমস্যা (এইচএসপি-পরিবারে নয়) রয়েছে যা কোয়েরি জটিলতার বিচ্ছেদ রয়েছে বলে দেখানো হয়েছে।$OR$

একটি ধ্রুবক আকারের 1-শংসাপত্র মোট ফাংশন জন্য , আমরা ।D ( f ) = O ( Q ( f ) 2$f$$D(f) = O(Q(f)^2)$

---

বিবরণ:

একটি ইনপুট জন্য একটি শংসাপত্রের বিট একটি উপসেট যেমন যে সব ইনপুট জন্য , । তারপরে ইনপুট জন্য শংসাপত্রের সর্বনিম্ন আকার এবং 1-শংসাপত্রের জটিলতা (0-শংসাপত্রের জটিলতা একই তবে ) এ সীমাবদ্ধ ।এস ⊆ { 1 , । । । , n } y ( ∀ i ∈ $x$$S \subseteq \{1,...,n\}$$y$$(\forall i \in S \quad y_i = x_i) \rightarrow f(y) = f(x)$$C_x(f)$$x$$C_1(f) = \max_{x | f(x) = 1} C_x(f)$$f(x) = 0$

আপনি করতে পারেন দেন যে । তারপর আপনি Buhrman এবং উলফ এর ডি উপস্থাপন অ্যালগরিদম ব্যবহার করতে পারেন জরিপ দেখাতে হবে যে:$Q(f) \geq \sqrt{bs(f)} \geq 2C_0(f)/2^{C_1(f)} + 1$$D(f) \leq C_1(f)bs(f) \leq C_0(f)C_1(f)$

Answer 3

যদি আমরা গ্রাফের বৈশিষ্ট্যগুলিতে মনোযোগ সীমাবদ্ধ রাখি, তবে আপনার উল্লিখিত সাধারণ সীমাগুলির তুলনায় আমরা কিছুটা উন্নত সীমানা প্রমাণ করতে পারি:

একটি ক্লাসিক কাগজ এটা দেখানো হয়েছিল যে দ্বারা বেষ্টিত মোট কাজগুলির জন্য একঘেয়েমি মোট কাজগুলির জন্য এবং প্রতিসম মোট কার্যকারিতা জন্য।O ( Q ( f ) 6 ) O ( Q ( f ) 4 ) O ( Q ( f ) 2$D(f)$$O(Q(f)^6)$$O(Q(f)^4)$$O(Q(f)^2)$

প্রথমে আমি মনে করি গ্রাফের বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য 6th ষ্ঠ পাওয়ার বাউন্ডটি ৪ র্থ পাওয়ারে উন্নত করা যেতে পারে। এটি [1] এর পরে আসে, যেখানে তারা দেখায় যে কোনও গ্রাফের সম্পত্তিতে কমপক্ষে query কোয়েরি জটিলতা রয়েছে , যেখানে ইনপুট আকার, যা উল্লম্ব সংখ্যায় চতুর্ভুজযুক্ত। অবশ্যই শাস্ত্রীয় ক্যোয়ারী জটিলতা সর্বাধিক ।এন $\Omega(N^{1/4})$$N$$N$

মোটোটোন মোট ফাংশনের জন্য আবদ্ধ চতুর্থ শক্তি একঘেয়ে গ্রাফের বৈশিষ্ট্যের জন্য তৃতীয় শক্তিতে উন্নত করা যেতে পারে। ইয়াও এবং সান্থার একটি অপ্রকাশিত পর্যবেক্ষণ থেকে এটি অনুসরণ করা হয়েছে ([2] এ উল্লিখিত) যে সমস্ত মনোোটোন গ্রাফের বৈশিষ্ট্যে কোয়ান্টাম কোয়েরি জটিলতা ।$\Omega(N^{1/3}\log^{1/6}N)$

[1] সূর্য, এক্স ;; ইয়াও, এসি ;; শেনগ্যু জাং, "গ্রাফের বৈশিষ্ট্য এবং বিজ্ঞপ্তি ফাংশন: কোয়ান্টাম কোয়েরামের জটিলতা কতটা কম যায় ?," গণনা জটিলতা, 2004. কার্যক্রিয়া। 19 তম আইইইই বার্ষিক সম্মেলন, খণ্ড, নং, p.2.286,293, 21-24 জুন 2004 দোই: 10.1109 / সিসিসি.2004.1313851

[2] ম্যাগনিজ, ফ্রেডেরিক; সান্থা, মিক্লোস; স্কেজেডি, মারিও (২০০৫), "ত্রিভুজ সমস্যার জন্য কোয়ান্টাম অ্যালগরিদম", ডিস্ক্রিট অ্যালগরিদমে ষোলতম বার্ষিক এসিএম-সিয়াম সিম্পোজিয়ামের কার্যক্রম, ভ্যাঙ্কুবার, ব্রিটিশ কলম্বিয়া: সোসাইটি ফর ইন্ডাস্ট্রিয়াল অ্যান্ড অ্যাপ্লাইড গণিত, পিপি। 1109–1117, আরএক্সিভ: পরিমাণ -ph / 0310134।

Answer 4

2015 সালে এই প্রশ্নে অনেক অগ্রগতি হয়েছে।

প্রথমত, এ arXiv: 1506,04719 [cs.CC] , লেখক দ্বিঘাত বিচ্ছেদ উপর মোট ফাংশন দেখিয়ে উন্নতি সঙ্গে$f$

$$Q(f) = \widetilde{O}(D(f)^{1/4}).$$

অন্যদিকে, আরএক্সিভিতে: 1512.04016 [কোয়ান্ট-পিএইচ] এ দেখা গেছে যে ফাংশনের ডোমেনটি খুব সামান্য হলে কোয়ান্টাম এবং ডিটারমিনিস্টিক ক্যোয়ারী জটিলতার মধ্যে চতুর্ভুজ সম্পর্ককে ধারণ করে।