মি >> এন শাসনব্যবস্থায় বল এবং বিনের বিশ্লেষণ।

এটি সুপরিচিত যে আপনি যদি এন বলগুলিতে এন বল ফেলে দেন তবে সর্বাধিক লোড হওয়া বিনের মধ্যে বলের সম্ভাবনা রয়েছে। সাধারণভাবে, কেউ বিনে বল সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করতে পারেন । র‌্যাব এবং স্টেজার র‌্যানডম ১৯৯৯-এর একটি কাগজ এটিকে কিছু বিশদভাবে আবিষ্কার করেছে, দেখায় যে বাড়ার সাথে সাথে এর প্রত্যাশিত মানের থেকে কিছুটা উপরে যাওয়ার সম্ভাবনাও দ্রুত হ্রাস পেয়েছে। মোটামুটিভাবে, সেট করে তারা দেখায় যে চেয়ে বেশি দেখার সম্ভাবনা হ'ল । $O(\log n)$ $m > n$ $n$ $m$ $m/n$ $r = m/n$ $r + \sqrt{r\log n}$ $o(1)$

এই কাগজটি 1998 সালে প্রকাশিত হয়েছিল এবং আমি এর চেয়ে সাম্প্রতিক কিছু খুঁজে পাইনি। এই রেখাগুলির সাথে কি আরও নতুন এবং আরও বেশি কেন্দ্রীভূত ফলাফল রয়েছে, বা এটি সর্বোত্তম যেটি পেতে পারে তা সন্দেহ করার মতো বৈজ্ঞানিক / আনুষ্ঠানিক কারণ রয়েছে? আমার যুক্ত করা উচিত যে 2006 সালে অ্যাঞ্জেলিকা স্টিকার সহ-রচিত বহুবিধ পছন্দ বৈকল্পিক সম্পর্কিত সম্পর্কিত কাগজটি আর সাম্প্রতিক কাজগুলির কোনও উদ্ধৃতি দেয় না।

আপডেট : পিটারের মন্তব্যের জবাবে, আমি যে বিষয়গুলি জানতে চাই তা স্পষ্ট করে বলি। আমার এখানে দুটি লক্ষ্য আছে।

প্রথমত, আমার কোন রেফারেন্সটি উল্লেখ করা উচিত তা আমার জানা দরকার এবং এটি মনে হয় এটি এটির মধ্যে সাম্প্রতিক কাজ।
দ্বিতীয়ত, এটি সত্য যে ফলাফলটি r = 1 ব্যাপ্তিতে বেশ শক্ত। আমি মি >> এন ব্যাপ্তিতে আগ্রহী এবং বিশেষত এমন অঞ্চলে যেখানে r পলি লগ এন, বা এমনকি এন ^ সি হতে পারে। আমি প্রমাণ করছি এমন একটি লেমায় এই ফলাফলটি স্লট করার চেষ্টা করছি এবং আর এর উপর নির্দিষ্ট আবদ্ধ সামগ্রিক অ্যালগরিদমের অন্যান্য অংশগুলিকে নিয়ন্ত্রণ করে। আমি মনে করি (তবে নিশ্চিত নই) এই কাগজের দ্বারা সরবরাহিত আর এর পরিসীমা যথেষ্ট হতে পারে তবে আমি কেবল এটি নিশ্চিত করতে চেয়েছিলাম যে সেখানে আরও শক্ততর বাঁধা ছিল না (এটির ফলে আরও ভাল ফলাফল হবে)।

reference-request pr.probability

— সুরেশ ভেঙ্কট
সূত্র

আমি ট্যাগ থেকে "দখল সমস্যা" নামটি শিখেছি, তাই একটি শিক্ষামূলক প্রশ্ন পোস্ট করার জন্য ধন্যবাদ। :)

— সোসোশি ইতো

রবাব এবং স্টেজারের কাগজটির দিকে তাকানো, এই লাইনে আপনি কী ফলাফল চান তা নির্ধারণ করা আমার পক্ষে কঠিন। আপনার একটি নির্দিষ্ট প্রশ্নটির উত্তর জানা দরকার? যদি তা হয় তবে আপনার এটি জিজ্ঞাসা করা উচিত, হয় এখানে বা ম্যাথওভারফ্লোতে। বিশেষ করে, যদি , Raab এবং Steger একটি দিতে আঁট বাউন্ড যেখানে সঠিক ধ্রুবক।

r = m / n

$r=m/n$

r + \sqrt{2 r \log n}

$r + \sqrt{2r \log n}$

2

$2$

— পিটার শোর

@ পিটার আমি প্রশ্নটি সম্পাদনা করব: এটি একটি বৈধ পয়েন্ট।

— সুরেশ ভেঙ্কট

সত্যিকার অর্থে একটি পূর্ণ উত্তর (না কোনও দরকারী রেফারেন্স) নয়, কেবল একটি বরং একটি বর্ধিত মন্তব্য। যে কোনও সঠিকভাবে বল থাকার সম্ভাবনা । সোনডো, বিনোম কারণে আমরা একটি অসমতা ব্যবহার করতে পারি , , যেখানে । মনে রাখবেন যে এই মোটামুটি আঁটসাঁট, যেহেতু । $B$ $p_B = \binom{m}{B} \left(\frac{1}{n}\right)^B \left(\frac{n-1}{n}\right)^{m-B}$ $\binom{(b+1)a}{a}<\left(\frac{(b+1)^{b+1}}{b^b}\right)^a$ $p_B < \left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r}\right)^B \left(\frac{1}{n}\right)^B \left(\frac{n-1}{n}\right)^{m-B}$ $r=\frac{m}{B}-1$ $\binom{(b+1)a}{a}>\frac{1}{4ab}\left(\frac{(b+1)^{b+1}}{b^b}\right)^a$

সুতরাং আমরা আছে । এখন, যেহেতু আপনি একটি বা আরও বেশি বল খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা নিয়ে আগ্রহী আমরা । শর্তাবলী পুনরায় সাজানো, আমরা $p_B < e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - m\ln n + (m-B)\ln (n-1)}$ $B$ $p_{\geq B} = \sum_{b=B}^{m} p_b < \sum_{b=B}^{m} e^{b(r+1)\ln(r+1) - br\ln r - m\ln n + (m-b)\ln (n-1)}$

p_{\geq B} < e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times e^{B (r + 1) \ln (r + 1) - B r \ln r - B \ln (n - 1)} \sum_{b = 0}^{m - B} e^{b (r + 1) \ln (r + 1) - b r \ln r - b \ln (n - 1)} .

$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \sum_{b=0}^{m-B} e^{b(r+1)\ln(r+1) - br\ln r - b\ln (n-1)}.$

মনে রাখবেন উপরোক্ত সংক্ষেপটি কেবল একটি জ্যামিতিক সিরিজ, তাই আমরাযদি আমরা on পদগুলিকে এক্সপেনসিয়েন্টস ব্যবহার করে আবার আমরা যা পরে হয়ে যায়

p_{\geq B} < e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times e^{B (r + 1) \ln (r + 1) - B r \ln r - B \ln (n - 1)} \times \frac{1 - {(\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r} (n - 1)})}^{m - B + 1}}{1 - (\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r} (n - 1)})} .

$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \times \frac{1-\left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}\right)^{m-B+1}}{1-\left(\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}\right)}.$

\frac{(r + 1)^{r + 1}}{r^{r} (n - 1)}

$\frac{(r+1)^{r+1}}{r^r (n-1)}$

p_{\geq B} < e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times e^{B (r + 1) \ln (r + 1) - B r \ln r - B \ln (n - 1)} \times \frac{1 - {(e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)})}^{m - B + 1}}{1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}},

$p_{\geq B} < e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times e^{B(r+1)\ln(r+1) - Br\ln r - B\ln (n-1)} \times \frac{1-\left(e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}\right)^{m-B+1}}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}},$

p_{\geq B} < \frac{e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times (e^{B ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))} - e^{(m + 1) ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))})}{1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}} .

$p_{\geq B} < \frac{e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times \left(e^{B((r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1))} -e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}}.$

এখন, আমি এটিকে আপনার কাছে কিছু ধ্রুবক জন্য এমন কিছু সন্ধান করার বিষয়ে যত্নশীল করছি যেটি , যেহেতু এটি বা তার বেশি বল রাখার সম্পূর্ণ সম্ভাবনা দেয় উপরে । এই মানদণ্ডটি যা পারে হিসেবে পুনর্লিখিত করা $B$ $p_{\geq B} < \frac{C}{n}$ $C$ $B$ $C$

\frac{e^{- m \ln \frac{n}{n - 1}} \times (e^{B ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))} - e^{(m + 1) ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))})}{1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}} = \frac{C}{n},

$\frac{e^{-m\ln \frac{n}{n-1}} \times \left(e^{B((r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1))} -e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}} = \frac{C}{n},$

B = \frac{\ln (\frac{C}{n} e^{m \ln \frac{n}{n - 1}} (1 - e^{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)}) + e^{(m + 1) ((r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1))})}{(r + 1) \ln (r + 1) - r \ln r - \ln (n - 1)} .

$B = \frac{\ln\left(\frac{C}{n} e^{m\ln \frac{n}{n-1}} \left(1-e^{(r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1)}\right) + e^{(m+1)((r+1)\ln (r+1) - r \ln r - \ln(n-1))}\right)}{(r+1)\ln(r+1) - r\ln r - \ln (n-1)}.$

এই মন্তব্যটি আপনার পক্ষে কতটা কার্যকর তা আমি পুরোপুরি নিশ্চিত নই (এটি আমি কোথাও ভুল করে ফেলেছি এটি সম্পূর্ণ সম্ভব) তবে আশা করি এটি কিছুটা কার্যকর হতে পারে।

— জো ফিৎসিমনস
সূত্র

এটা বেশ দুর্দান্ত। রূপরেখার জন্য ধন্যবাদ

— সুরেশ ভেঙ্কট

@ সুরেশ: খুশী এটা কার্যকর

— জো ফিটজসিমসন