ম্যাট্রিক্স ভরাটের সমাধানযোগ্যতা

Question

ম্যাট্রিক্স এর মাত্রা । আমরা পুরন মধ্যবর্তী পূর্ণসংখ্যার ব্যবহার এবং , সমেত।n × n ( n - 1 ) এ 1 $A$$n \times n(n-1)$$A$$1$$n$

প্রয়োজনীয়তা:

1. প্রত্যেকটি কলাম একটি বিন্যাস হল ।1 , … , $A$$1, \dots, n$
2. কোন submatrix দুই সারি দ্বারা গঠিত অভিন্ন কলাম থাকতে পারে না।$A$

প্রশ্ন:

প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে ম্যাট্রিক্স পূরণ করা কি সম্ভব?

ক্রিপ্টোগ্রাফির সাথে সম্পর্কিত:

প্রতিটি সারি সংখ্যা একটি প্লেইন টেক্সটের সাথে মিলে যায়। প্রতিটি কলাম একটি কী সাপেক্ষে। যেহেতু কোনও কী কোনও ইঞ্জেকশন সংজ্ঞায়িত করে, তাই প্রতিটি কলাম অবশ্যই একটি ক্রম হতে হবে। দ্বিতীয় প্রয়োজনীয়তা দুটি বার্তার নিখুঁত গোপনীয়তার জন্য।

Comments

আপনি এটিকে cr.crypto- সুরক্ষার সাথে ট্যাগ করেছেন, আপনি যদি এটি ক্রিপ্টো / সুরক্ষার সাথে কীভাবে সম্পর্কিত তা বলতে পারলে এই প্রশ্নের উন্নতি হবে।

— ডেভ ক্লার্ক

সাধারণ পর্যবেক্ষণ: এই জাতীয় ম্যাট্রিক্স n≤4 এর জন্য বিদ্যমান। N≤3 এর জন্য, সমস্ত অনুমতি গ্রহণ করুন। এন = 4 এর জন্য, একমাত্র সমাধানগুলি সমস্ত সমাপ্তি বা সমস্ত বিজোড় ক্রমশক্তি গ্রহণ করছে।

— সোসোশি ইতো

ধন্যবাদ, ইটো আসলে আমি উত্তরটি নিয়ে এসেছি যখন হাতে । যখন জিনিসগুলি আরও বেশি জটিল হয়ে ওঠে । ঘাতক বিস্ফোরণ ঘটে। n ≥ $n \leq 4$$n \geq 5$

— সাইকেল

(1) আমি মনে করি যে সমস্যাটি কোডিং তত্ত্বের সাথে সম্পর্কিত এবং এটি ট্যাগ হিসাবে যুক্ত করেছে। (২) আরেকটি পর্যবেক্ষণ: সমস্যাটি নিম্নরূপেও বর্ণিত হতে পারে। আকারের একটি ম্যাট্রিক্স বি খুঁজুন × (n ^ 2) যেমন বি এর প্রথম এন কলামগুলির প্রতিটি একই সংখ্যার n পুনরাবৃত্তি এবং যেমন বি প্রশ্নের 2 শর্তটি সন্তুষ্ট করে। যদি এই ধরণের বি বিদ্যমান থাকে, তবে বি এর সর্বশেষ n (n − 1) কলামগুলির প্রতিটি অবশ্যই একটি অনুচ্ছেদ হতে হবে। বিপরীতভাবে, 1 এবং 2 এর শর্তগুলি সন্তুষ্ট করে যে কোনও ম্যাট্রিক্স এ এর ​​বামে এন বর্ণিত কলামগুলিকে সংযুক্ত করে ম্যাট্রিক্স বিতে রূপান্তরিত করা যেতে পারে

— সোসোশি ইতো

Answer 1

সোসোশি, আপনার মন্তব্যে দুর্দান্ত পর্যবেক্ষণ! আমি মনে করি এটি প্রায় সমস্যার সমাধান করে।

নিম্নলিখিত দুটি প্রশ্ন বিবেচনা করুন

1. দৈর্ঘ্যের সারি রয়েছে কি না যাতে কোনও কলামে দু'বার কোনও সংখ্যা উপস্থিত না হয় এবং প্রতিটি সারিতে প্রতিটি কলামের জন্য কলাম দ্বারা প্রদত্ত সমস্ত আদেশযুক্ত জোড় আলাদা হয়?এন ( এন - 1 $k$$n(n-1)$
2. দৈর্ঘ্যের সারি রয়েছে যাতে প্রতিটি জোড় সারিটির জন্য, কলামগুলি প্রদত্ত সমস্ত আদেশযুক্ত জোড় পৃথক করে?এন $k$$n^2$

স্যুওশি তার মন্তব্যে পর্যবেক্ষণ থেকে বোঝা যায় যে আপনি যদি প্রশ্নের (1) জন্য কিছু মান অর্জন করতে পারেন তবে আপনি প্রশ্নের (2) জন্য একই মান অর্জন করতে পারেন । আমরা এখন দেখিয়েছি যে আমরা যদি প্রশ্নের (2) জন্য কিছু মান অর্জন করতে পারি তবে আমরা প্রশ্নের (1) এর জন্য মান অর্জন করতে পারি । সুতরাং, এই দুটি প্রশ্নের উত্তর প্রায় একই রকম।k k k - $k$$k$$k$$k-1$

নির্মাণ নিম্নরূপ যায়: প্রথম সারি উপেক্ষা করুন ছাড়া করা সমস্ত 'প্রথম গুলি অবস্থান। আপনি এখন অবশিষ্ট প্রতিটি সারিতে একটি ক্রম প্রয়োগ করতে পারেন যাতে প্রথম এন্ট্রি ব্যতীত, প্রথম কলামগুলির প্রত্যেকটিতে অভিন্ন মান রয়েছে এবং মন্তব্যটিতে স্যুওশি'র পর্যবেক্ষণ দ্বারা, এটি আপনাকে আপনার অবস্থা সন্তুষ্ট করে সারিগুলির একটি সেট দেয় ।এন { 1 , 2 , … , এন } কে - 1 এন কে - $1$$n$$\lbrace 1, 2, \ldots, n \rbrace$$k-1$$n$$k-1$

এখন, যদি আপনার প্রতিটি কলামে অর্ডারযুক্ত জোড় যুক্ত প্রতিটি সারির দৈর্ঘ্যের এর সারিগুলির সেট থাকে, তবে এটি অর্থোথোনাল ল্যাটিন স্কোয়ারের সমতুল্য । , , , প্রতিটি সারি ল্যাটিন বর্গ দেয়। লাতিন স্কোয়ারটি সারি সাথে যুক্ত হওয়ার জন্য, ঘরটিতে সারি 'তম কলামের মান লিখুন যার স্থানাঙ্কগুলি প্রথম দুটি সারিতে ' র কলামে অর্ডারযুক্ত জো দ্বারা দেওয়া হয় ।n 2 k - 2 3 4 … k j i j $k$$n^2$$k-2$ $3$$4$$\ldots$$k$$j$$i$$j$$i$

তাহলে একটি মৌলিক শক্তি, কত আদেশের পারস্পরিক লম্ব ল্যাটিন স্কোয়ার নয় থাকবেই একটি বিখ্যাত খোলা সমস্যা, এবং আমি কোন সেট বিশ্বাস করে না লম্ব ল্যাটিন স্কোয়ার জন্য বিদ্যমান পরিচিত না একটি মৌলিক ক্ষমতা; সাধারণ sensকমত্য হল যে এই জাতীয় সেটগুলির অস্তিত্ব নেই। এখন পর্যন্ত প্রমাণিত একমাত্র ফলাফল হ'ল এই জাতীয় সেট জন্য বিদ্যমান নেই । যা জানা যায় তা হ'ল সম্ভাব্য সারিগুলির সংখ্যা কিছু জন্য কমপক্ষে হিসাবে বৃদ্ধি পায় । আমি বিশ্বাস করি যে 10 টি অর্ডারের 8 টি অर्थোগোনাল ল্যাটিন স্কোয়ারগুলি এখনও খোলা আছে। (এটা পরিচিত হয় সেখানে নেই 9, কিন্তু সম্ভাব্য পার্থক্য কারণ আছেএন এন - 2 এন এন = 6 কে কে = Ω ( এন সি ) সি $n$$n$$n-2$$n$$n=6$$k$$k=\Omega(n^c)$$c$$1$ দুটি প্রশ্নের উত্তরে, এটি আমাদের আসল সমস্যা সম্পর্কে কিছুই জানায় না))

জন্য , সর্বোচ্চ আপনি পেতে পারেন 3, এবং এটা সক্রিয় যদি আপনি কোন দিকে তাকিয়ে সমস্যা (1) জন্য তিনটি সারি পেতে পারেন আউট একটি আড়াআড়ি সঙ্গে ল্যাটিন বর্গক্ষেত্র যার অনেক অ হয় সমতুল্য উদাহরণ। জন্য , দুই লম্ব ল্যাটিন স্কোয়ার দান বাক্য পরিচিত হয়। এই স্কোয়ারগুলির যদি একটি সাধারণ ট্রান্সভার্সাল থাকে তবে আপনি সমস্যার জন্য ) পেতে পারেন ।কে 6 × 6 এন = 10 কে = $n=6$$k$$6\times 6$$n=10$$k=4$

Comments

বিস্তারিত বিশ্লেষণের জন্য ধন্যবাদ, অধ্যাপক শোর! সুতরাং এই যুক্তি থেকে, 1) যদি এমএলএসের একটি সেট উপস্থিত না থাকে , তবে আমরা জোর দিয়ে বলতে পারি যে মূল সমস্যাটি পক্ষে সম্ভব নয় । 2) একটি সেট অস্তিত্ব থাকে MOLS, আমরা জাহির করতে মূল সমস্যার জন্য সম্ভবপর হয় । যেহেতু যখন একটি প্রধান শক্তি হয় সেখানে এমএলএসের একটি সেট বিদ্যমান থাকে , এটি এটি এর আংশিক সমাধানের একটি বিকল্প দৃষ্টিভঙ্গি দেয়। এবং আমরা খুঁজে পেয়েছি যে হলে মূল সমস্যাটি সম্ভব হয় না । সত্যিই প্রশংসনীয়! এন এন - 1 এন এন এন - 1 এন = $n - 2$$n$$n - 1$$n$$n$$n - 1$$n = 6$

— সাইকেল

এটি একটি খুব সুন্দর সংযোগ। উত্তরের জন্য ধন্যবাদ! একটি গৌণ বিষয়: উইকিপিডিয়া অনুসারে, এটি জানা যায় যে n − 1 অर्थোগোনাল ল্যাটিন স্কোয়ারগুলি কেবলমাত্র প্রাইম পাওয়ার জন্য নয়, প্রধান শক্তি হিসাবে বিদ্যমান for

— সোসোশি ইতো

@ স্যুওশি - ওফস আমি জানি সেটা; আমি শুধু এটি ভুল বলেছি। নির্মাণ সীমাবদ্ধ ক্ষেত্র থেকে আসে। সংশোধনীর জন্য ধন্যবাদ. এখনই এটি ঠিক করা।

— পিটার শোর

আমি অনুমান করেছি। :)

— Tsuyoshi Ito

Answer 2

এটি একটি আংশিক সমাধান। N একটি প্রধান শক্তি হলে এই জাতীয় ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান ।

যাক এফ আদেশের সসীম ক্ষেত্র হতে এন । আমরা একটি গঠন করা এন × এন ( এন -1) ম্যাট্রিক্স যার সারি দ্বারা লেবেলযুক্ত এফ , যার কলাম (দ্বারা লেবেলযুক্ত এফ ∖ {0}) × এফ , আর যার এন্ট্রিগুলিকে সেইরকম হয় এফ নিম্নরূপ: আমি এর -th সারি কলাম লেবেলযুক্ত ( ক , খ ) আই + বি দিয়ে দেওয়া হয়েছে । কথায় কথায়, প্রতিটি কলাম এফ -এ একটি ডিগ্রি-একের বহুবর্ষের সাথে মিলে যায় । তারপরে প্রতিটি কলামে এফ এর প্রতিটি উপাদান থাকে ঠিক একবারে, এবং কোনও দুটি কলামের একাধিক সারিতে সমান প্রবেশাধিকার নেই কারণ দুটি স্বতন্ত্র ডিগ্রি-একের বহুবচনগুলির মান সর্বাধিক এক পর্যায়ে মিলে যায়।

(আপনি একটি ম্যাট্রিক্স যার এন্ট্রিগুলিকে সেইরকম হয় চান {1, ..., এন } পরিবর্তে এর এফ , উপাদান প্রতিস্থাপন এফ সঙ্গে {1, ..., এন } ইচ্ছামত।)

Comments

এটি দেখতে অনেকটা এমবিএস-এর মতো দেখাচ্ছে। আমি মনে করি আপনার নির্মাণগুলি এনবিউ এমইউবিগুলি তৈরি করতে ব্যবহার করা যেতে পারে , এমইউবিএস উইকিপিডিয়া নিবন্ধে " গ্যালোইস ক্ষেত্রগুলি ব্যবহার করে একাতারি অপারেটর পদ্ধতি" এর মতোই । এই প্রশ্ন এবং এমইউবিগুলির মধ্যে কি আরও গভীর সংযোগ রয়েছে? $n + 1$

— আর্টেম কাজনাটচিভ

@ আর্টেম: বিশেষত পিটারের উত্তর এই প্রশ্নটি অরথোগোনাল ল্যাটিন স্কোয়ারের সাথে যুক্ত করে দেওয়া হতে পারে। (বিশেষ দ্রষ্টব্য: আমার অ-বিশেষজ্ঞ দৃশ্য, লম্ব ল্যাটিন স্কোয়ার, MUBs, সংযুক্তিকরণ ডিজাইন, ঐকিক ডিজাইন এবং এসআইসি-POVMs প্রায় আলাদা করে চেনা আছে।)

— Tsuyoshi ইটো

অনেক ধন্যবাদ, Ito! এই নকশা সত্যিই সুন্দর দেখাচ্ছে!

— সাইকেল 18