সুপার মারিও গ্যালাক্সি সমস্যা

140

ধরুন মারিও কোনও গ্রহের পৃষ্ঠে হাঁটছেন। যদি তিনি কোনও পূর্বনির্ধারিত দূরত্বের জন্য কোনও নির্দিষ্ট স্থানে, কোনও নির্দিষ্ট দিক থেকে হাঁটা শুরু করেন, তবে তিনি কোথায় থামবেন, তা আমরা কত তাড়াতাড়ি নির্ধারণ করতে পারি?

আরো আনুষ্ঠানিকভাবে, অনুমান করা আমরা একটি উত্তল polytope দেওয়া হয় 3-স্থান, একটি আদ্যস্থল পৃষ্ঠতলে , একটি দিক ভেক্টর (কিছু পল ধারণকারী সমতলে ), এবং একটি দূরত্ব । মারিওয়ের কোন দিকটি ভিতরে থামবে তা আমরা কত তাড়াতাড়ি নির্ধারণ করতে পারি ? (একটি প্রযুক্তিগত বিষয় হিসাবে, ধরে নিন যে মারিও যদি শীর্ষে চলে যায় তবে তিনি সঙ্গে সঙ্গে বিস্ফোরিত হন; ভাগ্যক্রমে, এটি প্রায় কখনও ঘটে না never ) $P$ $s$ $P$ $v$ $p$ $\ell$ $P$ $P$

অথবা আপনি যদি চান: অনুমান করা আমরা polytope দেওয়া হয় , উৎস বিন্দু , ও দিক ভেক্টর আগাম। প্রাক-প্রক্রিয়াকরণ পর কত দ্রুত আমরা একটি প্রদত্ত দূরত্ব জন্য প্রশ্নের উত্তর দিতে পারেন ? $P$ $s$ $v$ $\ell$

মারিওয়ের পদচিহ্নগুলি সহজেই সনাক্ত করা সহজ, বিশেষত যদি এর কেবল ত্রিভুজাকার দিক থাকে। মারিও যখনই তার কোনও এক প্রান্ত দিয়ে প্রবেশ করে, তখন আমরা সময়ের মধ্যে নির্ধারণ করতে পারি যে তাকে অন্য দুটি প্রান্তটি অবশ্যই রেখে যেতে হবে। যদিও এই অ্যালগরিদম চলমান সময় প্রান্ত পারাপারের সংখ্যা শুধুমাত্র রৈখিক হয়, এটা সীমাবদ্ধ ইনপুট আকারের একটি ফাংশন হিসাবে, কারণ দূরত্ব ব্যাস চেয়ে ইচ্ছামত বড় হতে পারে । আমরা কি আরও ভাল করতে পারি? $P$ $O(1)$ $\ell$ $P$

(বাস্তবে, পথের দৈর্ঘ্য প্রকৃতপক্ষে সীমাহীন নয়; ইনপুট উপস্থাপনের জন্য প্রয়োজনীয় বিটের সংখ্যা অনুসারে একটি গ্লোবাল আপার বাউন্ড রয়েছে But তবে পূর্ণসংখ্যা ইনপুটগুলিতে জোর দেওয়া কিছু ন্যূনতম সংখ্যাগত সমস্যা উত্থাপন করে - আমরা ঠিক কোথায় গণনা করব? থামাতে? - সুতরাং আসল ইনপুট এবং সঠিক বাস্তব গাণিতিকের সাথে লেগে থাকি))

এই সমস্যাটির জটিলতা সম্পর্কে কি অনানুষ্ঠানিক কিছু জানা যায়?

আপডেট: জুলকিউইকের মন্তব্যের আলোকে, এটি স্পষ্ট বলে মনে হচ্ছে যে বাস্তবের র‌্যাম চলমান সময়টি নিখুঁতভাবে ( পলিটপের জটিলতা) দ্বারা আবদ্ধ হওয়া অসম্ভব। দুই পার্শ্বযুক্ত ইউনিট বর্গ বিশেষ মামলায় বিবেচনা করুন থেকে শুরু, মারিও সঙ্গে ও দিক হাঁটা । মারিও সামনে বা পূর্ণসংখ্যা এর সমতা উপর নির্ভর করে স্কোয়ারের পিছনে বন্ধ করবে । আমরা খুশি না হলে আমরা আসল র‌্যামের স্থির সময়ে মেঝে ফাংশনটি গণনা করতে পারি না $n$ $[0,1]^2$ $(0,1/2)$ $(1,0)$ $\lfloor \ell \rfloor$ পিএসপিএসি এবং পি । কিন্তু আমরা গনা করতে মধ্যে সূচকীয় অনুসন্ধান, যা সরল অ্যালগরিদম উপর একটি সূচকীয় উন্নতি হয় সময়। সময় বহুপদী হয় এবং সবসময় সাধনযোগ্য? $\lfloor \ell \rfloor$ $O(\log \ell)$ $n$ $\log \ell$

ds.algorithms cg.comp-geom

— Jeffε
সূত্র

আমি একটি সহজ সমস্যাটি ভেবেছিলাম, তা হ'ল: আমাদের একটি সরল বহুভুজ এবং একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে ভ্রমণের আলোর মরীচি রয়েছে। এটি একটি প্রান্তে পৌঁছে গেলে এটি কেবল মিরর হয়ে যায়। আমরা জানতে চাইছি যে প্রদত্ত দূরত্বের পরে মরীচিটি তার ভ্রমণ শেষ করবে। প্রদত্ত বহুভুজের আকারে উপরের এবং নীচের দিকগুলির একটি খুব ছোট উচ্চতার প্রিজম এমন একটি পলিটোপ গ্রহণ করে এটি (প্রায়) এটিকে হ্রাস করা যেতে পারে। সম্ভবত এটি প্রথম সমাধান করা সাহায্য করতে পারে।

— জুলকিউইকস

"[টি] এন এবং লগ ইন আইমেপ বহুবচন আমার কাছে তা বোঝায় না। যদি এটি l এর উপর নির্ভর করে তবে এটি অবশ্যই পি এর স্থানাঙ্কের উপরও নির্ভর করবে এবং আপনি যদি ইনপুটটিতে সমস্ত সংখ্যার লগ যুক্ত করেন তবে ইনপুট স্থানাঙ্কগুলি পূর্ণসংখ্যার মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকাকালীন ইনপুট উপস্থাপনের জন্য প্রয়োজনীয় বিটগুলির সংখ্যা এটিই। আমি মনে করি যে আপনি যখন সত্যিকারের র‌্যামে কিছুটা স্ট্রিং হিসাবে ইনপুট দেওয়া হয় তখন সময়ের জটিলতার দিকে তাকিয়ে থাকেন।

— সোসোশি ইতো

ℓ

$\ell$

সত্যিই সম্পর্কিত নয়, তবে সুপার মারিওয়ের

— লামাইন

জটিলতার তত্ত্ব সম্পর্কে সম্পূর্ণ উদাসীন কেউ বলেছিলেন, "সম্ভবত এ কারণেই এটি এত বেশি রেটেড।"

— জেফি

উত্তর:

এই সমস্যা খুব খুব কঠিন। নিম্নরূপে এটি আরও সহজ করার জন্য আমরা এটিকে আরও সহজ করতে পারি।

$P$ $\pi$
আমরা ধরে নিতে পারি যে পলিটোপটি সত্যিকার অর্থে ত্রিমাত্রিক নয়, পরিবর্তে বহুভুজের "ডাবল"; এটি দেখতে অনেকটা বালিশের মতো। আমরা আরও সহজ করতে পারি এবং অনুমান করি যে বহুভুজের সমান এবং সমান্তরাল দিক রয়েছে; উদাহরণস্বরূপ একটি স্কোয়ার যেমন গেম অ্যাস্ট্রয়েডস।

$O(\log(\ell))$

যদি আমরা যৌক্তিকতা ধরে না নিই তবে ধরে নিই যে বহুবিন্দুটি বহুভুজের দ্বিগুণ, তবে আমরা "অযৌক্তিক বিলিয়ার্ডে ক্রম কাটা" তত্ত্বটি নিয়ে আলোচনা করছি। মনে হয় এখানে মূলত কিছুই জানা যায়নি; উদাহরণস্বরূপ Corinna Ulcigrai দ্বারা এই আলাপের চূড়ান্ত বাক্যটি দেখুন ।

আমরা যদি অনুমান না করি তবে ভাল, আমি সাহিত্যের কোনও কিছুই ভাবতে পারি না।

$O(\log(\ell))$

— স্যাম নেড
সূত্র

আমি মনে করি আপনি রৈখিক চেয়ে ভাল করতে পারেন। আমি তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানে নতুন, সুতরাং যদি এই জঞ্জাল হয় তবে আমাকে ক্ষমা করুন।

কিছু সাধারণ ধারণা (বিভিন্ন মানের):

যদি আমরা প্রতিটি রূপকে একটি প্রতীক দিই, তবে তাদের উপরে মারিওর কক্ষপথ একটি স্ট্রিং হিসাবে বর্ণনা করা যেতে পারে, যেখানে স্ট্রিংয়ের চূড়ান্ত প্রতীকটি উত্তর।
মারিও একটি প্রান্ত থেকে শুরু হয় (সাধারণ দিকে পিছনে হাঁটা এবং প্রান্তে l প্রসারিত) সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই আমরা ধরে নিতে পারি
প্রারম্ভিক অবস্থান এবং কোণগুলির 2D স্পেসটি পরবর্তী প্রান্ত দ্বারা বিভাজন করা যেতে পারে। সুতরাং কোণ থেকে প্রান্তে শুরু করে, এক একক কোণ সহ এক্স ইউনিটগুলি, আমরা একটি প্রান্তটি অতিক্রম করার পরে প্রান্তে প্রান্তে শেষ করি।
এই মুহুর্তে আমরা অন্য অভিযোজন সহ অন্য প্রান্তে আছি, তাই আমরা স্থানটি 2-চিহ্নের স্ট্রিং এবং আরও কিছুতে পার্টিশনগুলিতে বিভাজন করতে পুনরাবৃত্তভাবে ফাংশনটি কল করতে পারি।
এই মুহুর্তে আমরা শেষ করেছি যদি আমরা বলি যে কোনও টিএম প্রয়োগ করার জন্য স্থানটি পৃথক করা উচিত। এর অর্থ হ'ল প্রতিটি কক্ষপথ অবশ্যই পর্যায়ক্রমিক হতে হবে কারণ বিযুক্ত গ্রহে কেবলমাত্র চূড়ান্তভাবে অনেকগুলি পয়েন্ট রয়েছে। আমরা সমস্ত সূচনা পয়েন্টের প্রদক্ষিণ না করে এবং এই তথ্য সংরক্ষণ না করা পর্যন্ত আমরা উপরে বর্ণিত ক্রিয়াকলাপটি গণনা করতে পারি। তারপরে সমস্যাটি ও (1) হয়ে যায়।
সম্ভবত এটি একটি পুলিশ কিছুটা আউট। কিছু গুগলিং আমাকে বলেছে যে যৌক্তিক উত্তল বহুভুজের ভিতরে প্রায় সমস্ত বিলিয়ার্ড কক্ষপথ পর্যায়ক্রমিক (যেমন পর্যায়ক্রমিক কক্ষপথ ঘন) are সুতরাং একটি (বলুন) বর্গাকার গ্রহের জন্য একই পদ্ধতির কাজ হতে পারে।
আরেকটি পদ্ধতি হ'ল সিস্টেমটিকে স্ট্রিংগুলির জেনারেটর / সনাক্তকারী হিসাবে বিবেচনা করা (আবার প্রতিটি রূপকে তার নিজস্ব প্রতীক নির্ধারণ করে)। যদি ভাষাটির একটি জটিল জটিল শ্রেণি থাকে তবে এটি আপনার উত্তর। আপনি যদি পলিটপগুলির পরিবারকে নন-উত্তল এবং কোনও মাত্রায় বিস্তৃত করেন, তবে আপনি ভাষার একটি বিস্তৃত শ্রেণীর ক্যাপচার করতে পারেন।

এটি সত্যিই একটি উত্তর গঠন করে না, তবে আমার কাজে ফিরে আসা দরকার। :)

— পিটার
সূত্র

"এই মুহুর্তে আমরা যদি শেষ করি যে আমরা যদি বলি যে কোনও টিএম প্রয়োগ করার জন্য স্থানটি বিবেচনা করতে হবে তবে তার অর্থ হ'ল প্রতিটি কক্ষপথ পর্যায়ক্রমিক হতে হবে কারণ বিচ্ছিন্ন গ্রহে কেবলমাত্র চূড়ান্তভাবে অনেকগুলি পয়েন্ট রয়েছে।" আপনি সমস্যার আকর্ষণীয় অংশটি সবেমাত্র ধ্বংস করেছেন। আমি অনুমান করতে চাই না যে ইনপুটটি বিচ্ছিন্ন; আমি প্রকৃত ধারাবাহিক সমস্যাটি সমাধান করতে চাই, যদিও এটির জন্য এমন একটি আদর্শ কম্পিউটারের প্রয়োজন যা নিয়মিত সময়ে সঠিক আসল পাটিগণিত করতে পারে। বিশেষত, মারিওয়ের পাথের কোনও প্রান্তকে স্পর্শ করার দরকার নেই।

— জেফি

আমি বুঝতে পেরেছি যে খুব সহজ ছিল। আপনি একটি সীমাবদ্ধ মেশিনে অবিচ্ছিন্ন সংস্করণটি করতে পারতেন, যতক্ষণ না প্রারম্ভিক বিন্দু এবং গ্রহটিকে চূড়ান্তভাবে বর্ণনা করা যায়। আপনি কেবল প্রতীকী (গণিত-স্টাইল) পাথের প্রতিনিধিত্ব করতে পারেন। আপনি কোন দিকটি শেষ করেছেন তা সন্ধানের জন্য আপনাকে কেবল কয়েকটি সীমাটি মূল্যায়ন করতে হবে you আপনি যদি প্রমাণ করতে পারেন যে পথটি প্রায় অবশ্যই পর্যায়ক্রমিক (যেমন এটি যৌক্তিক উত্তল বহুভুজের উপর বিলিয়ার্ডগুলির জন্য), আপনি এখনও একই কৌশলটি প্রয়োগ করতে পারেন তবে ফলাফল খুব ব্যবহারিক হবে না।

— পিটার

হায়রে জেনেরিক পলিহেডারে জেনেরিক জিওডেসিকগুলি পর্যায়ক্রমিক নয়। (বিশেষত, জেনেরিক বহুভুজ যৌক্তিক নয়))

— জেফি

আপনি (পিটার), আমি মনে করি, "সাময়িকী বিলিয়ার্ডের কক্ষপথগুলি যৌক্তিক বহুভুজের মধ্যে ঘন" the এর অর্থ এই নয় যে পর্যায়ক্রমিক পাথগুলি যৌক্তিক বহুভুজগুলিতে জেনেরিক । প্রকৃতপক্ষে, কেবলমাত্র অনেকগুলি পর্যায়ক্রমিক পাথ (সমান্তরালতা পর্যন্ত) রয়েছে তাই তাদের জেনেরিক হওয়ার কোনও সম্ভাবনা নেই।

— স্যাম নিড

প্রকৃতপক্ষে, একটি "বীচ" বহুভুজের মধ্যে "অনন্যরূপে ergodic" পথগুলি সম্পূর্ণ পরিমাপ। সুতরাং আমরা যদি মারিওকে এলোমেলো দিক হিসাবে প্রেরণ করি তবে তিনি (ক) কখনই কোন প্রান্তকে আঘাত করবেন না (যেমন জেফি সমস্যার বিবৃতিতে বলেছেন), (খ) তার পথটি কখনও বন্ধ হবে না এবং (গ) বড় আকারের স্কেল, এর ক্রম পরিদর্শন করা মুখগুলি এলোমেলো দেখবে ("দুর্বল মিশ্রিত" সম্পত্তি হিসাবে)। এটি সমস্যার একটি নেতিবাচক জবাব প্রস্তাব করে না - উদাহরণস্বরূপ, পাই এর অঙ্কগুলিও এলোমেলো দেখায় ...

— স্যাম নিড