টপোলজিকাল প্রোপার্টিগুলির জটিলতা।

আমি টপোলজির উপর একটি কোর্স গ্রহণকারী একজন কম্পিউটার বিজ্ঞানী (পয়েন্ট-সেট টোপোলজির একটি ছিটিয়ে থাকা ধারাবাহিক তত্ত্বের সাথে প্রচুর স্বাদযুক্ত)। আমি টপোলজিকাল বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য কোনও স্থানের বর্ণনা (সরলিকল্পিতভাবে) পরীক্ষার সিদ্ধান্ত নিতে আগ্রহী হয়েছি; যারা হোমোমর্ফিজম পর্যন্ত সংরক্ষণ করেছেন।

এটি জানা যায়, উদাহরণস্বরূপ, গিঁটের জিনাস নির্ধারণ করা PSPACE এ এবং এনপি-হার্ড। (আগোল 2006; হাস, লাগারিয়াস, পিপ্পেঞ্জার 1999)

হবে AA মার্কভ (পুত্র: অন্যান্য ফলাফল আরো একটি সাধারণ মনে মার্কভ) 1958 সালে দেখিয়েছেন যে মাত্রা একটি homeomorphism জন্য দুটি স্পেস পরীক্ষার বা উচ্চতর undecidable আছে (4-manifolds জন্য undecidability দেখিয়ে)। দুর্ভাগ্যক্রমে, এই শেষ উদাহরণটি আমার প্রশ্নের নিখুঁত উদাহরণ নয়, কারণ এটি হোমিওমফিটির অধীনে সংরক্ষিত সম্পত্তিগুলির চেয়ে হোমোমর্ফি সমস্যার সাথেই কাজ করে। $5$

"নিম্ন মাত্রিক টপোলজি": গিঁট এবং গ্রাফ তত্ত্বটিতে প্রচুর পরিমাণে কাজ রয়েছে বলে মনে হয়। আমি কম মাত্রিক টপোলজির ফলাফলগুলিতে অবশ্যই আগ্রহী, তবে সাধারণীকরণের ফলাফলগুলিতে আরও আগ্রহী (এগুলি বিরল বলে মনে হয়)।

আমি গড়পড়তাভাবে এনপি-হার্ড সমস্যাগুলির মধ্যে সবচেয়ে আগ্রহী, তবে এমন সমস্যাগুলির তালিকা হিসাবে উত্সাহিত বোধ করি।

টপোলজিকাল বৈশিষ্ট্যগুলির গণ্য জটিলতা সম্পর্কে কী ফলাফল জানা যায়?

cc.complexity-theory big-list topology

— রস স্নাইডার
সূত্র

আপনি একটি নির্দিষ্ট প্রশ্ন ফ্রেম করতে পারেন?

— সুরেশ ভেঙ্কট

কেউ আপত্তি উত্থাপন করার আগে, আমি কেন এই প্রশ্নটি নির্দিষ্ট বলে বিশ্বাস করি তা রক্ষার জন্য: আমি স্বাভাবিক সাহিত্য অনুসন্ধান সম্পাদন করেছি এবং আমার প্রশ্নের তুলনামূলকভাবে সামান্যই খুঁজে পেয়েছি। সুতরাং, প্রশ্নের উত্তরগুলি একটি নির্দিষ্ট স্তরের দক্ষতার সাথে জড়িত। তদ্ব্যতীত, এই টিসিএস এসইতে গণনা সংক্রান্ত টোপোলজি অনিন্দ্যরূপে on

— রস স্নাইডার

যেহেতু ফলাফলটি একটি তালিকা হতে পারে, তাই এটি সিডব্লিউ হওয়া উচিত?

— সুরেশ ভেঙ্কট

আমি মনে করি এটি একটি দুর্দান্ত প্রশ্ন। টপোলজির সমস্যার গণ্য জটিলতা সম্পর্কে খুব কমই জানা আছে এবং আমি বিশ্বাস করি না যে এটি এক জায়গায় সংগ্রহ করা হয়েছে (যদি তা থাকে তবে একটি উত্তরই যথেষ্ট হবে, এবং প্রশ্নটি সিডব্লু হওয়া উচিত নয়)।

— পিটার শোর

আপনি কি এস.মাতিদেভ দ্বারা "অ্যালগরিদমিক টপোলজি এবং 3-ম্যানিফোল্ডগুলির শ্রেণিবিন্যাস" বিবেচনা করেছেন? ( Springer.com/mathematics/geometry/book/978-3-540-45898-2 বিনামূল্যে ডাউনলোডের জন্য উপলব্ধ সামগ্রীগুলির সারণী)

— Artem Pelenitsyn

উত্তর:

গণনামূলক টপোলজি গবেষণার একটি বিস্তৃত অঙ্গকে অন্তর্ভুক্ত করে । প্রতিটি জটিলতার ফলাফলের একটি সম্পূর্ণ সারাংশ অসম্ভব। তবে আপনাকে একটি ছোট স্বাদ দিতে, আপনার উদাহরণটি আরও বাড়িয়ে তুলি।

$O(n)$

1950 সালে, টুরিং প্রমাণ করেছিলেন যে চূড়ান্তভাবে উপস্থাপিত সেমিগ্রুপগুলিতে শব্দটির সমস্যাটি স্থগিতের সমস্যা (আশ্চর্য, অবাক) থেকে হ্রাস করে অনস্বীকার্য।

টুরিংয়ের ফলাফলের ভিত্তিতে মার্কোভ ১৯৫১ সালে প্রমাণ করেছিলেন যে চূড়ান্তভাবে উপস্থাপিত সেমিগ্রুপগুলির প্রতিটি অনিয়ন্ত্রিত সম্পত্তি অনস্বীকার্য। কিছু গোষ্ঠীর সম্পত্তি আছে এবং অন্য কোনও গোষ্ঠী না থাকলে গোষ্ঠীগুলির একটি সম্পত্তি অপ্রয়োজনীয়। তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানীরা আংশিক ফাংশন সম্পর্কে "রাইসের উপপাদ্য" হিসাবে একই ফলাফল জানেন।

১৯৫২ সালে নোভিকভ প্রমাণ করেছিলেন যে চূড়ান্তভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠীতে শব্দটির সমস্যাটি অনস্বীকার্য, যার ফলে প্রমাণিত হয়েছিল যে দেহের অন্তর্দৃষ্টি সঠিক ছিল। একই ফলাফল स्वतंत्रভাবে 1954 সালে বুন এবং 1958 সালে ব্রিটনের দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল।

১৯৫৫ সালে আদনান প্রমাণ করেছিল যে চূড়ান্তভাবে উপস্থাপিত গোষ্ঠীর প্রত্যেকটি অনর্থক সম্পত্তি অনস্বীকার্য। একই ফলাফল 1956 সালে রবিন দ্বারা স্বাধীনভাবে প্রমাণিত হয়েছিল Yes (হ্যাঁ, সে রবিন R)

শেষ অবধি, ১৯৮৮ সালে, মার্কভ গ্রুপ উপস্থাপনাটিকে ইনপুট হিসাবে প্রদত্ত, কোনও পছন্দসই মৌলিক গোষ্ঠী সহ দ্বিমাত্রিক সেল কমপ্লেক্স এবং চার-মাত্রিক বহুগুণ নির্মাণের জন্য অ্যালগরিদমগুলি বর্ণনা করেছিলেন। এই ফলাফলটি অবিলম্বে ইঙ্গিত করেছিল যে বিপুল সংখ্যক টপোলজিকাল সমস্যাগুলি নিম্নলিখিতগুলি সহ অনস্বীকার্য:

প্রদত্ত দ্বি-মাত্রিক জটিলটিতে প্রদত্ত চক্রটি কি সংক্ষিপ্ত আকারে প্রবেশ করতে পারে? (এই শব্দটির সমস্যা problem)
একটি প্রদত্ত 2-জটিল কি কেবল সংযুক্ত? ("এই গ্রুপটি কি তুচ্ছ?")
প্রদত্ত 4-বহুগুণে প্রদত্ত চক্রটি কি সংক্ষিপ্ত পরিবর্তনযোগ্য?
প্রদত্ত 4-বহুগুণ সংকোচনযোগ্য?
নির্দিষ্ট 4-বহুগুণ (মার্কভ দ্বারা নির্মিত) এর জন্য 4-বহুগুণ হোমোমোরফিক দেওয়া কি?
5-গোলকের (বা আপনি চয়ন করেন এমন কোনও স্থির 5-বহুগুণ) কোনও 5-বহুগুণ হোমোমোরফিক কি দেওয়া?
প্রদত্ত 6-জটিলটি কি বহু গুণ?

$G$ $G$ $\pi_1(S^3)$ $G$ $G$

— Jeffε
সূত্র

জেফ। ধন্যবাদ. এটি সত্যই ভাল জিনিস এবং অবিশ্বাস্যভাবে দ্বিতীয় উদাহরণটি প্রসারিত করে।

— রস স্নাইডার

আমি প্রশ্নের উত্তরে যুক্ত করেছি কারণ এই উত্তরটি আশ্চর্যজনক নয়, কারণ আমি আরও উত্তর উত্সাহিত করতে চাইছি (বিশেষত আমার প্রথম উদাহরণের মতো)। আবার ধন্যবাদ.

— রস স্নাইডার

3-বহুগুণিত দল হওয়ার অনিশ্চয়তার জন্য আপনার যুক্তি আমার কাছে কিছুটা নড়বড়ে বলে মনে হচ্ছে। এটি আপনাকে একটি 3-বহুগুণ নির্মাণ করতে সক্ষম হতে বাধা দেয় যার জন্য জি গ্রুপ, তবে সম্ভবত বহুগুণ না করেই হ্যাঁ বা না উত্তর দেওয়ার কোনও উপায় আছে? তারপরে পেরেলম্যানের আর কিছু করার দরকার ছিল না।

— ডেভিড এপস্টিন

এখানে হেনরি উইল্টনের আরও সতর্কতার সাথে ব্যাখ্যা দেওয়া হয়েছে: ldtopology.wordpress.com/2010/01/26/…

— জেফি

@ জেফি - আপনি আমার আগের মন্তব্যটি কেন উপেক্ষা করেছেন তা নিশ্চিত নই। সেখানে হয় একটি (সংযুক্ত বন্ধ) তিন নানাবিধ মৌলিক গ্রুপ তুচ্ছ হয় সিদ্ধান্ত নিতে একটি মেপুঃ টাইম অ্যালগরিদম। "এই অ্যালগরিদমের জটিলতায় কোনও সীমানা জানা যায় না" বলে ভুল বলা যায় না? আমি কী মিস করছি? আমি কি আপনাকে ব্যাখ্যা করতে জিজ্ঞাসা করতে পারেন?

— স্যাম নিড

রায়ান বুদনি ম্যাথওভারফ্লোতে একই আলোচনা শুরু করেছেন:

/mathpro/35946/how-expensive-is-knowledge-knots-links-3-and-4-manifold-algorithms

/mathpro/144158/what-is-the-state-of-the-art-for-algorithmic-knot-simplification/145927

এবং উইকিপিডিয়ায়:

http://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Computational_topology

— স্যাম নেড
সূত্র