কীভাবে আপনার প্রমাণগুলি গুলি করবেন

Question

আপনার প্রমাণগুলি যাচাই করার জন্য সাধারণ নির্দেশিকা কী? আমি বিশ্বাস করি এটি আমার মতো স্নাতক শিক্ষার্থীদের জন্য গুরুত্বপূর্ণ। আমি কিছু প্রমাণ করার জন্য আমাদের কী করা দরকার তা আমি ইতিমধ্যে জানি, তবে আপনি এটি প্রেরণের আগে আপনাকে সর্বদা যাচাই করতে হবে। এমনকি আপনার নিজের উপদেষ্টার কাছেও।

আমি নিজেকে পরীক্ষা এবং ত্রুটির দ্বারা কিছু কৌশল বিকাশ করেছি এবং আমার উপদেষ্টার কাছ থেকে প্রচুর পরামর্শ পেয়েছি। তবে এটি সর্বদা খুব ক্লান্তিকর কাজ। সাধারণত, আপনি যখন কোনও কিছু শেষ করেন, আপনি কেবলমাত্র পরবর্তী সমস্যার দিকে যেতে চান, তবে সবকিছু সঠিক না হওয়া পর্যন্ত আপনার এখনও বর্তমান সমস্যার সাথে আটকে থাকতে হবে। এখানে আমি নিজের কৌশলগুলির নিজস্ব তালিকার একটি উদাহরণ উপস্থাপন করছি:

1. বিশদটি পূরণ করুন। অনেক ভুল জায়গায় রয়েছে আপনি কি লিখছেন "এটা পরিষ্কার যে ...", "সাধারণের ক্ষতি ছাড়াই ..." ইত্যাদি।
2. কিছু নম্বর চেষ্টা করুন। "যখন আমি বা n = 1000 সেট করি তখন কী হয়" এর মতো চরম ক্ষেত্রে চেষ্টা করুন ।$n=1$$n=1000$
3. একটি পরিষ্কার নোটবুক রাখুন। এটিতে প্রতিদিন লিখুন এবং এটিকে আপনার রুক্ষ নোটের সাথে তুলনা করুন। আমি লেটেক্সেও লেখার চেষ্টা করি, আমি এইভাবে অনেক ভুল খুঁজে পেয়েছি।

আপনার প্রমাণগুলি যাচাইয়ের জন্য আপনি যে সাধারণ কৌশল প্রয়োগ করেন সেগুলি কী কী?

এই প্রশ্নের উদ্দেশ্য হ'ল এটিকে একটি সম্প্রদায়-উইকি করা।

Comments

যদি প্রশ্নটি বিষয়গত মনে হয় তবে দয়া করে আমাকে এটি উন্নত করতে সহায়তা করুন।

— মার্কোস ভিলাগ্রা

আমি কীভাবে এই সম্প্রদায়-উইকি তৈরি করব?

— মার্কোস ভিলাগ্রা

আরে, দুর্দান্ত! আমি সত্যই এই প্রশ্নের উত্তর আগ্রহী। এছাড়াও, আমি আপনার # 3 প্রশংসা করতে পারেন। (আমি যখন এটি সম্পর্কে চিন্তা করি, তখন আমি যখন ইচ্ছাকৃতভাবে কোনও সমস্যা নিয়ে কাজ করি তখন আমার কাছে কাগজের স্তুপগুলি ছড়িয়ে ছিটিয়ে থাকে, যা এলোমেলোভাবে স্থানান্তরিত হয় Y ইয়াক।) এই সমস্যাটি থেকে আমি আগে ভুল করে ফেলেছি এবং নষ্ট হয়ে গিয়েছি সময়ের একটি ভাল অংশ

— ড্যানিয়েল আপন

@ ড্যানিয়েল: আমারও একই সমস্যা ছিল !! এই কারণেই আমি প্রমাণ সহ ফিনিশ হওয়ার পরে অবিলম্বে ক্ষীর সংস্করণটি লিখি write এটা জেনে রাখা ভাল যে আমি একমাত্র অগোছালো লোক নই যা সব জায়গায় রাখে :-)

— মার্কোস ভিলাগ্রা

আপনি এটি নিয়ন্ত্রণকারীদের মনোযোগের জন্য পতাকাঙ্কিত করুন।

— সুরেশ ভেঙ্কট

Answer 1

সফটওয়্যার ইঞ্জিনিয়ারদের একটি ধারণা আছে যা তারা " কোড গন্ধ " বলে। এগুলি কোডের লক্ষণগুলি যা কোনও গভীর সমস্যা নির্দেশ করতে পারে। সফটওয়্যার ইঞ্জিনিয়াররা সচেতন হওয়ার জন্য গন্ধের মানসিক তালিকা সংগ্রহ করে (যেমন অতিরিক্ত দীর্ঘ পদ্ধতি বা অনেকগুলি পরামিতি)। এটি অগত্যা কোনও সমস্যা আছে এর অর্থ এই নয় যে কেবল লেখক ডাবল চেক করতে চান indicate

আমি প্রস্তাব দিচ্ছি যে আমাদের "প্রমাণের গন্ধ" বিবেচনা করা উচিত । এটি আপনার প্রমাণগুলি যাচাইয়ের জন্য আপনাকে একটি অ্যালগরিদম দেয় না তবে প্রমাণগুলির সম্ভাব্য সমস্যাগুলি স্বীকৃতি দেওয়ার জন্য এটি একটি ভাষা এবং রূপক দেয়। প্রমাণের গন্ধের কয়েকটি উদাহরণ:

1. "স্পষ্টত", "স্পষ্টতই", ইত্যাদি বিশেষণগুলি
2. আগের ফলাফলের প্রমাণের পরিবর্তে ফলাফলের রেফারেন্সের পরিবর্তে।
3. অনেক প্রযুক্তিগত পূর্বশর্ত সঙ্গে একটি ফলাফল এর উল্লিখিত ব্যবহার।

আরও সূক্ষ্ম গন্ধ আছে। উদাহরণস্বরূপ, যদি কোনও প্রমাণ কোনও বাক্যকে প্রসারিত করার জন্য দ্বি-দ্বিীয় উপপাদ ব্যবহার করে এবং পরে বদ্ধ আকারে ফিরে আসতে দ্বিপদী উপপাদ ব্যবহার করে, তবে সম্ভবত বদ্ধ ফর্মটিতে সরাসরি হেরফের আছে যা একই ফলাফল দেয়।

আমার পরামর্শ হ'ল এই জাতীয় গন্ধগুলির একটি (মানসিক বা লিখিত) তালিকা সংগ্রহ করুন এবং আপনি আপনার কাজের মাধ্যমে পড়ুন সেগুলি পরীক্ষা করুন। এই পদ্ধতির দুর্দান্ত পার্শ্ব প্রতিক্রিয়া হ'ল এটি আপনাকে আরও ভাল পাঠক করে তুলবে।

দ্রষ্টব্য: এই উত্তরের আমার আশা ছিল এম এম আলাগানের উত্তরে রেফারেন্সযুক্ত প্রুফ ল্যাম্পোর্টের কীভাবে লিখিত প্রুফ দ্বারা সরবরাহ করা কঠোর জবাবটির স্বজ্ঞাত দিক দেওয়া।

Comments

আমি আমার শিক্ষার্থীদের কাছে এটি সর্বদা বলি এবং তারা মনে করে আমি পাগল। অবশ্যই আমি আসলে দাবি করছি যে আমি একটি বাগটি গন্ধ পেতে পারি, যা সমস্যার অংশ হতে পারে;)

— সুরেশ ভেঙ্কট

@ সুরেশ: এই শিক্ষার্থী মনে করে যে আপনি বিভিন্ন কারণে পাগল হয়ে গেছেন। ;-)

— জন মোলার 20

কোড গন্ধ নোটে, আমি যে বিষয়গুলি সর্বদা অন্যের প্রমাণগুলিতে যাচাই করতে চেষ্টা করি সেগুলির মধ্যে অসমতার শৃঙ্খলা অন্তর্ভুক্ত। প্রায়শই সত্যিকারের মৌলিক ত্রুটিগুলি আরও কঠিন অনুভূতির মধ্যে ক্রাইং করার অভ্যাস করে।

— জন মোলার 16'11

Answer 2

লেসেলি ল্যাম্পোর্টের একটি খুব ভাল কাগজ রয়েছে ( কীভাবে প্রমান লিখবেন )। এটি প্রকৃতপক্ষে এমনভাবে বিশদ প্রমাণ লেখার শৈলীতে তাঁর প্রস্তাব:

(1) ত্রুটিগুলি সোজা-সামনের দিকে সনাক্ত করার অনুমতি দেয়

(২) কোন অনুমানগুলি এবং উপপাদাগুলি কোন অংশগুলিতে ব্যবহৃত হয়েছে তা স্পষ্ট করে তোলে, যা আপনি যদি উদাহরণস্বরূপ দুর্বল অনুমানগুলি ব্যবহার করতে চান তবে কী ঘটে তা দেখতে খুব সহজ করে তোলে

এমও-তে এই প্রযুক্তি সম্পর্কে কিছু সম্প্রদায়ের অভিজ্ঞতা এবং অনুপ্রেরণামূলক মন্তব্য রয়েছে যা সাধারণভাবে (এবং কিছু অন্যান্য সংস্থানগুলিও) ইতিবাচক অভিজ্ঞতা দেখায়।

আপডেট: একটি নতুন সংস্করণ রয়েছে কীভাবে একবিংশ শতাব্দীর প্রমাণ লিখতে হয় ।

Comments

এই প্রমাণগুলি একটি পিএল গবেষণা গবেষণাপত্রে যা লিখবে তার সাথে খুব মিল। যুক্তির শৃঙ্খলটি খুব স্পষ্ট। পিএল-স্টাইলের প্রমাণগুলি কীভাবে পড়তে এবং প্রশংসা করতে হবে তা শিখার পরে, "সাধারণ" গণিতের প্রমাণগুলি বোঝা আমার পক্ষে কঠিন হয়ে পড়েছে। এই জাতীয় প্রমাণগুলি প্রায়শই প্রয়োজন পাঠককে একইভাবে লেখকের মতো চিন্তা করা এবং আপনি যখন অন্য একটি প্রুফ স্টাইলে

— অভ্যস্ত

@ ক্রিস্টোফার মনসান্টো: পিএল মানে প্রোগ্রামিং ল্যাঙ্গুয়েজ? আমি যদি আপনি যেমন একটি উদাহরণ (এই জাতীয় একটি কাগজ) চেক আউট করার জন্য উল্লেখ করতে পারেন তবে আমি প্রশংসা করব :)

— এম আলাগান

আমার সর্বদা অনুভূতি ছিল যে ল্যাম্পোর্টের পরামর্শ যা পল লকহার্টের "এ ম্যাথমেটিশিয়ানস লামেন্ট" ( maa.org/devlin/LockhartsLament.pdf ) এর সাথে সামঞ্জস্য নয় ।

— মার্কোস ভিলাগ্রা

Answer 3

ডিক লিপটনের একটি দুর্দান্ত নিবন্ধ রয়েছে যার শিরোনাম রয়েছে ' প্রমাণ কীভাবে প্রমাণ করতে হয় এটি একটি প্রমাণ '

Answer 4

পদার্থবিজ্ঞানীরা কীভাবে একটি উপমা সমস্যাটি মোকাবেলা করেছেন তার অনেক আগে আমি একটি জনপ্রিয় অ্যাকাউন্ট পড়ে মনে করি। এর নিম্নলিখিত সংস্করণটি কতটা সঠিক তা কে জানে; সংশোধন স্বাগত। তবে আমি অন্তর্নিহিত কৌশলটি বেশ লক্ষণীয় found

তারা ব্যাখ্যা করেছিল যে তারা কীভাবে ব্ল্যাকহোলগুলিতে বিশ্বাসী হয়েছিল। কৃষ্ণগহরগুলি প্রাথমিকভাবে নিখুঁতভাবে গাণিতিক গঠন ছিল যেমন ওয়ার্মহোলসের মতো পদার্থবিজ্ঞানের অন্যান্য অদ্ভুত বস্তুর মতো। তাদের কৌশলটি আকর্ষণীয় ছিল: তারা পরীক্ষার জন্য গাণিতিকভাবে অন্যান্য বস্তুগুলিকে নিক্ষেপ করবে। ওয়ার্মহোলগুলি তাদের পরীক্ষায় ব্যর্থ হয়েছিল কারণ তারা দেখতে পেয়েছিল যে কোনও সাধারণ শারীরিক বস্তুর উপস্থিতি, এমনকি গ্রহাণুগুলির উপস্থিতিতেও ওয়ার্মহোলটি ধসে পড়বে। তবে ব্ল্যাক হোলগুলি এই পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হয়েছিল: ব্ল্যাকহোলটি একটি গ্রহাণু ফেলে দেওয়া থেকে বেঁচে থাকবে। তাই তারা এতে একটি তারা নিক্ষেপ করার চেষ্টা করেছিল। একই ফলাফল। অবশেষে তারা ব্ল্যাকহোলের নিকটে আরেকটি ব্ল্যাকহোল নিক্ষেপ করেছিল এবং এটি বেঁচে যায়। এর ফলস্বরূপ, তারা সত্যিকারের মহাবিশ্বে তাদের সন্ধান শুরু করার জন্য কৃষ্ণগহ্বরের অস্তিত্বের যথেষ্ট আত্মবিশ্বাস অর্জন করেছিল।

সুতরাং উপরোক্ত কৌশলটির প্রাসঙ্গিকতা এবং প্রয়োগ হ'ল আপনার প্রমাণকে জিনিস নিক্ষেপ করা। এটি কি বিচক্ষণতা পরীক্ষা থেকে বাঁচতে পারে ? আপনি যদি কোনও প্রয়োজনীয় অনুমান সরিয়ে ফেলেন তবে এটি কী হওয়া উচিত যা সেভাবে পতিত হবে? এটি যখন তার ক্ষেত্রের বাইরে থাকা মামলার ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা উচিত তখন কী এটি ভেঙে যায়? এটি কি যুক্তিসঙ্গত সাধারণীকরণ এবং বিশেষত্বকে প্রতিরোধ করে? পোলায় কীভাবে এটি সমাধান করা যায় সে সম্পর্কিত বিকাশের তালিকাটি দেখুন । এই হিউরিস্টিক্সের সাথে আপনার প্রমাণকে পরিবর্তন করার চেষ্টা করুন এবং দেখুন এটি খাড়া হয়ে পড়েছে এবং যেমনটি হওয়া উচিত।

Comments

আপনার উত্তরগুলির বেশিরভাগই প্রমাণগুলি যাচাই করার উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে যা সেগুলি ভুয়া হওয়া উচিত situations এটি কাজ করে না কারণ এটি পরীক্ষা করা যায় না যে উপপাদ্যটি সত্য যেখানে এটি হওয়ার কথা ছিল! উদাহরণস্বরূপ, ধরুন যে আমি "প্রমাণিত" করেছি যে প্রতিটি বিজোড় সংখ্যা তিনটি দ্বারা বিভাজ্য। আমি যদি পরীক্ষা করে দেখি যে আমার প্রমাণটি ব্যর্থ হয় তবে আমি এমনকি সংখ্যায়ও প্রসারিত: এটি ঘটে, যেহেতু চারটি তিনটি দ্বারা বিভাজ্য নয়। হুররে, আমার প্রমাণটি অবশ্যই সঠিক!

— ডেভিড রিচার্বি

Answer 5

আমি মনে করি নিরাপদ পদ্ধতির একটি হল একাধিক স্বতন্ত্র প্রমাণাদি নিয়ে আসা। তারপরে আপনি আত্মবিশ্বাসের সাথে বলতে পারেন যে আপনার মূল ফলাফলটি সঠিক, এমনকি যদি কোনও প্রমাণের কিছু বিশদে আপনার কোনও ভুল থাকে।

Answer 6

একটি কৌশল যা আমি দরকারী পেয়েছি তা হ'ল প্রমাণ কৌশলটি কী কী প্রমাণ করতে সক্ষম হবে তা নিয়ে চিন্তা করা। যদি আমি সহজেই একটি বড় ওপেন সমস্যা বা এমনকি উন্মুক্ত নয় এমন একটি সমস্যা প্রমাণ করার জন্য প্রমাণ কৌশলটি অভিযোজিত করতে সক্ষম হয়ে থাকি তবে যার প্রমাণ কৌশলটির জটিলতার তুলনায় অনেক জটিল সমাধান হয় তবে সন্দেহ করার বড় কারণ এটি প্রমাণ.

Comments

$P \neq NP$

Answer 7

আমি সর্বদা COQ বা ইস্যাবেলের মতো প্রুফ-চেকারের সাথে আমার প্রমাণগুলি পুনরায় পরীক্ষা করি । আপনি যদি এই প্রোগ্রামিং ভাষার যে কোনও একটিতে আপনার প্রমাণ প্রমাণ করতে পারেন তবে আপনি নিশ্চিত হতে পারবেন যে আপনার প্রমাণটি সঠিক। ল্যাম্বডা-টার্মের মতো সহজ;)।

Comments

আমি কখনও কক ব্যবহার করি নি, তবে আমার চেষ্টা করা উচিত। আসলে, আমি গণিতের সাথে কিছু নিম্ন সীমা প্রমাণ করার চেষ্টা করছি, তবে আমি সঠিক উপায় খুঁজে পাইনি। হয়তো আমার কিছু বিশেষ প্যাকেজ বা কিছু দরকার।

— মার্কোস ভিলাগ্রা

হতে পারে এটি লম্বা শট

— গোপী

সম্মত, কিন্তু যে কোনও প্রোগ্রামিং ভাষার কাজ করে। প্রায়শই আমি বিপরীতে এটি করি। প্রোগ্রামিং ল্যাঙ্গুয়েজে (সাধারণত রুবি) সমস্যা ডোমেন তৈরি করুন, তারপরে এটি আমার প্রমাণের জন্য টেমপ্লেট হিসাবে ব্যবহার করুন।

— চাদ ব্রিউবেকার