ইউনিটরি অপারেটরদের প্রকৃত সংখ্যা এবং সর্বজনীন গেট সেটগুলিতে প্রবেশের সীমাবদ্ধ

Question

বার্নস্টেইন এবং বাজিরানির আঞ্চলিক কাগজ "কোয়ান্টাম কমপ্লেক্সিটি থিওরি" তে তারা দেখায় যে একটি ডাইমেনশনাল ইউনিটরি ট্রান্সফর্মেশনকে তারা "নিকট-তুচ্ছ ঘূর্ণন" এবং "নিকট-তুচ্ছ পর্যায় স্থানান্তর" বলে যা যা বলে তার একটি পণ্য দ্বারা দক্ষতার সাথে সন্নিকট করা যেতে পারে।$d$

"নিকট-তুচ্ছ ঘূর্ণন" হ'ল ডাইমেনশনাল ইউনিটারি ম্যাট্রিক্স যা 2 মাত্রা ব্যতীত সমস্ত হিসাবে পরিচয় হিসাবে কাজ করে তবে এই দুটি মাত্রা দ্বারা বিভক্ত বিমানটিতে ঘূর্ণন হিসাবে কাজ করে (যেমন ফর্মটির 2x2 সাবমেট্রিক্স রয়েছে:$d$

$\begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \\ \end{pmatrix}$

কিছু )।$\theta$

"কাছাকাছি-তুচ্ছ ফেজ শিফ্ট" হয় -dimensional ঐকিক ম্যাট্রিক্স যে সব কিন্তু আছে 1 মাত্রা পরিচয় হিসাবে কাজ, কিন্তু একটি গুণক আবেদন কিছু যে এক মাত্রা।$d$$e^{i\theta}$$\theta$

তদতিরিক্ত, তারা দেখায় যে কেবলমাত্র একটি ঘূর্ণন কোণ প্রয়োজন (ঘূর্ণন এবং ফেজ শিফট ইউনিটারি উভয়ের জন্য), প্রদত্ত কোণটি এর অযৌক্তিক একাধিক (বিভি কোণ to সেট করে।2 π ∑ ∞ j = 1 2 - 2 $2\pi$$2\pi\sum_{j=1}^{\infty}{2^{-2^j}}$

কোয়ান্টাম জটিলতা তত্ত্ব (যে এডলম্যান এট বা Fortnow এবং রজার্স দ্বারা মত) দাবি উপর পরবর্তী কাগজপত্র বিভি ফলাফলের যে বোঝা যে সার্বজনীন কোয়ান্টাম কম্পিউটেশন ঐকিক অপারেটার যার এন্ট্রিগুলিকে সেইরকম হয় সহযোগে এটি করা যাবে ।$\mathbb{R}$

এটি কিভাবে অনুসরণ করে? আমি বুঝতে পারি যে কাছাকাছি তুচ্ছ ঘূর্ণন ম্যাট্রিক্সের একটি পণ্য আপনাকে আসল এন্ট্রি সহ একক ম্যাট্রিক্স দেবে, তবে ফেজ শিফ্ট ম্যাট্রিক্সের কী হবে?

এটি হ'ল: যদি আপনি কেবলমাত্র নিকৃষ্ট-তুচ্ছ ঘূর্ণন সঞ্চালন করতে সক্ষম হন এবং ম্যাট্রিক্সের প্রবেশাগুলি যেখানে ফেজ শিফট ম্যাট্রিক হয় তবে আমরা দক্ষতার সাথে অন্যান্য সমস্ত পর্বের শিফ্ট ম্যাট্রিকগুলি আনুমানিকভাবে করতে পারি?$0,\pm 1$

আমি সন্দেহ করি যে এই জড়িত বিষয়টি তাত্ক্ষণিকভাবে সুস্পষ্ট নয় এবং এর যথাযথ প্রমাণটি ডুয়েশের টফোলির মতো গেট সর্বজনীন যে প্রমাণের সাথে মিলবে - বা আমি খুব স্পষ্ট কিছু অনুভব করছি?

Answer 1

নেই একটি সহজ প্রমাণ Toffoli এবং Hadamard কোয়ান্টাম সার্বজনীন Dorit Aharonov দ্বারা যা প্রথম দেখায় কিভাবে জটিল amplitudes আরও একটি qubit সঙ্গে একটি বৃহত্তর হিলবার্ট স্পেস উপর বাস্তব amplitudes দ্বারা কৃত্রিম হতে পারে।

"এই বর্তনী এক অতিরিক্ত qubit যোগ করে সম্পন্ন করা হয়, রাষ্ট্র যার ইঙ্গিত কিনা সিস্টেমের রাষ্ট্র হিলবার্ট স্পেস বাস্তব বা কাল্পনিক অংশে, এবং প্রতিটি জটিল গেট প্রতিস্থাপন অপারেটিং তার দ্বারা qubits বাস্তব সংস্করণ , প্রকাশ , যা একই বিউটি এবং অতিরিক্ত কোবিটে পরিচালনা করে দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়:কে ˜ উ কে ˜ $U$$k$$\tilde{U}$$k$$\tilde{U}$

$\tilde{U}|i\rangle |0\rangle = [Re(U)|i\rangle]|0\rangle + [Im(U)|i\rangle]|1\rangle$
$\tilde{U}|i\rangle |1\rangle = -[Im(U)|i\rangle]|0\rangle + [Re(U)|i\rangle]|1\rangle$ "

দ্বিতীয়ত, সে {Hadamard, Toffoli} গেট সেট, যা শুধুমাত্র বাস্তব amplitudes হয়েছে বিশ্বজনীনতা proofs ।$\{0,1,\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\}$

Comments

ধন্যবাদ মার্টিন! যাইহোক, আমার কাছে মনে হয়েছে যে জটিল ইউনিটিগুলি বাস্তব ইউনিটরিজের সাথে প্রতিস্থাপনের জন্য অহরোনভের কৌশল অ্যাডলম্যান / বিভি হিসাবে বিবেচিত একইভাবে নয় (কারণ তারা এইভাবে ভেবেছিল এমন কোনও প্রমাণ আমি পাই না)। তবে আহরণভের ফলাফল আকর্ষণীয় এবং খুব সুন্দর।

— হেনরি ইউয়েন

আমি মোটামুটি নিশ্চিত যে অ্যাডলম্যান / বিভি এমন একটি নির্মাণ ব্যবহার করেছিলেন যা কেবল একটি যুক্ত করার চেয়ে দ্বিগুণ সংখ্যাগুলির দ্বিগুণ করে, তবে একইভাবে কাজ করে worked

— পিটার শোর

@ পিটার: রুডল্ফ এবং গ্রোভারের নির্মাণগুলি সেভাবে কাজ করে, একটি একক কুইবিটকে এনকোড করতে দুটি রিবিট ব্যবহার করে: কোয়ান্ট-পিএইচ / 0210187।

— জো ফিৎসসিমনস

Answer 2

মার্টিন আপনাকে যে কাগজটির দিকে ইঙ্গিত করেছিল, তা ছাড়া টেরি রুডল্ফ এবং লভ গ্রোভারের একটি আগের কাগজও দেখিয়েছিল যে কোয়ান্টাম কম্পিউটিংয়ের জন্য একটি 2 রিবিট গেট সর্বজনীন ( কোয়ান্ট-পিএইচ / 0210187 দেখুন )। গেটটিতে সমস্ত আসল প্রবেশদ্বার রয়েছে এবং আপনি যদি অজানা থাকেন তবে ছাড়গুলি হ'ল যেখানে প্রশস্ততাগুলি আসল সংখ্যায় সীমাবদ্ধ। এটিই দাবির উত্স হতে পারে। কাগজে বর্ণিত গেটটি নিয়ন্ত্রিত ওয়াই রোটেশন।

$G(\theta) = Y_2(\frac{\theta}{2}) CZ_{12} Y_2(\frac{\theta}{2}) CZ_{12}$