অর্ধ প্রান্তে গাছের চেয়ে একটি গাছের প্রস্থ কতটা বড় হতে পারে?

Question

জি 2n শীর্ষে একটি গাছ হতে দিন। জি, টো (জি) এর গাছের প্রস্থ = ১. এখন ধরা যাক আমরা একটি গ্রাফ এইচ পেতে জিতে এন প্রান্তগুলি যুক্ত করব। টু (এইচ) এর উপরের উপরের একটি বাঁধনটি এন + ১। এটি মূলত সবচেয়ে ভাল কি সম্ভব?

এটি একরকম মনে হয় যে দ্বি (এইচ) এর ও (স্কয়ার্ট (এন)) হওয়া উচিত, তবে এটি কেবল একটি অস্পষ্ট হান্চ। আমরা 2n শীর্ষে একটি গাছের সাথে এন প্রান্তগুলি যুক্ত করে প্রাপ্ত গ্রাফের গাছের প্রস্থের জন্য ও (এন) এর চেয়ে ওপরের সীমানা আরও ভাল জানি?

Answer 1

আপনার মডেলটি নির্বিচারে 3-নিয়মিত গ্রাফ সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করার চেয়ে কোনও সাধারণ নয়, এবং 3-নিয়মিত বিস্তৃত গ্রাফগুলিতে রৈখিক ট্রিউইথ রয়েছে। সুতরাং আমি ধ্রুবক কারণগুলি সম্পর্কে জানি না, তবে Θ (n) সেরা সম্ভব, হ্যাঁ।

Comments

ধন্যবাদ, এটি আমার প্রশ্নের উত্তর দেয়। ডেভিডের উত্তরটি আরও বিস্তৃত করার জন্য, এইচকে 2n শীর্ষে একটি সংযুক্ত 3-নিয়মিত গ্রাফ হতে দিন। এইচ এর পরে 3n প্রান্ত রয়েছে। এইচ থেকে এন + 1 প্রান্তগুলি সরিয়ে 2n শীর্ষে প্রাপ্ত জি-কে একটি গাছ হতে দিন these এই প্রান্তগুলির n কে আবার জি-তে যুক্ত করা আমাদের H '= (এইচ বিয়োগের একটি প্রান্ত) দেবে। এইচকে গাছের প্রস্থ \ থিয়েটা (এন) সহ একটি এক্সপেন্ডার গ্রাফ হিসাবে রেখে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে এইচ'র পাশাপাশি গাছের প্রস্থ রয়েছে \ থেটা (এন)।

— gphilip

Answer 2

ডেভিড যেমন উল্লেখ করেছেন, আপনি মূলত গড় ডিগ্রি 3 সহ কোনও সংযুক্ত গ্রাফের গাছের প্রস্থের সীমাটি চেয়েছিলেন 3 নিয়মিত গ্রাফের আরও বিশেষ ক্ষেত্রে, নিম্নলিখিত নিম্ন এবং উপরের সীমাগুলি প্রাপ্ত করা যেতে পারে। পি ডাব্লু (জি) দ্বারা একটি গ্রাফ জি এর পাথ প্রস্থ চিহ্নিতকরণ, এটি স্পষ্ট

(1) টি (জি) <= পিডব্লু (জি) যে কোনও গ্রাফ জি এর জন্য (পথের পচন হিসাবে গাছের পচে যাওয়া)

এটি [1] এ প্রমাণিত হয়

(২) প্রতি \ এপসিলন> ০ এর জন্য, এনটিও এনটি = = = ৮, যে কোনও 3-নিয়মিত গ্রাফ জি, পিডব্লু (জি) <= n / 6 + ps এপসিলন * এন-তে কোনও পূর্ণসংখ্যার এনটিইএস উপস্থিত রয়েছে।

এটি আপনাকে 3 নিয়মিত গ্রাফের গাছের প্রস্থে মোটামুটি এন / 6 এর উপরের সীমা দেয়।

প্রায় নিশ্চিত নীচের দিকে আবদ্ধ হওয়ার জন্য, আমি [2] থেকে উদ্ধৃত করছি:

"এলোমেলো ঘন গ্রাফের প্রায় দ্বিগুণ দৈর্ঘ্য কমপক্ষে 0.101 এন (কোস্টোচকা, মেলানিকভ, 1992) হিসাবে রয়েছে, তাদের অবশ্যই এন / 20 এর চেয়ে কম আকারের বিভাজক নেই" এবং এভাবে অবশ্যই এন / 20 এর চেয়ে ছোট প্রস্থের কোনও গাছের ক্ষয় নেই surely ।

দ্বিখণ্ডনের প্রস্থে "নিশ্চিত" নীচে আবদ্ধ হওয়ার জন্য, [3] 3-নিয়মিত গ্রাফের একটি অসীম পরিবার দেখিয়েছে, যেমন এই পরিবারের প্রতিটি গ্রাফ জি = (ভি, ই) কমপক্ষে 0.082 * | ভি | বিস্কেপশন প্রস্থ রয়েছে।

[1] ফেদর ভি। ফমিন, কেজার্টান হাই: কিউবিক গ্রাফ এবং সঠিক অ্যালগরিদমের পথউইথ। INF। প্রক্রিয়া। লেট। 97 (5): 191-196 (2006)

[২] জারোস্লাভ নেসেট্রিল, প্যাট্রিস ওসোনা ডি মেন্ডিজ: গ্রেড এবং সীমাবদ্ধ সম্প্রসারণ সহ দ্বিতীয় শ্রেণি। অ্যালগরিদমিক দিকগুলি। ইউরো. জে ঝুঁটি 29 (3): 777-791 (2008)

[3] সের্গেই এল। বেজরুভকোভ, রবার্ট এলসসার, বুখার্ড মনিয়েন, রবার্ট প্রিস, জিন-পিয়েরি টিলিচ: গ্রাফের দ্বিখণ্ড প্রস্থে নতুন বর্ণালী নিম্ন সীমানা। Theor। Comput। সী। 320 (2-3): 155-174 (2004)

Comments

ধন্যবাদ, সার্জ পাথউইথথ দিয়ে আবদ্ধ হওয়া সম্ভবত আমার কাছে এই পর্যায়ে প্রসারিত গ্রাফের চেয়ে বেশি অ্যাক্সেসযোগ্য; যদিও আমি প্রমাণ এখনও পড়ে নি।

— gphilip