ক্রেগ ইন্টারপোলেন্টস গণনা করার জন্য কোন অ্যালগরিদমগুলি পরিচিত?

Question

ইন্টারপোলেন্টস কম্পিউটিংয়ের জন্য কি অ্যালগরিদমের কোনও জরিপ আছে? একটি মাত্র অ্যালগরিদমের কাগজপত্র সম্পর্কে কী বলা যায়? আমি যে মামলায় সবচেয়ে বেশি আগ্রহী তা হ'ল এবং , আরও অন্তরঙ্গ যে যতটা সম্ভব ছোট। (আমি ম্যাকমিলনের কাগজটি ২০০৫ সাল থেকে জানি যা কোয়ান্টিফায়ারগুলি এড়িয়ে গিয়ে কীভাবে ইন্টারপোল্যান্ট পেতে হয় তা বর্ণনা করে))$A=\lnot p\land q$$C=q$

পটভূমি: ক্রেগ এর ক্ষেপক উপপাদ্য (1957) বলছেন যে যদি , যেখানে একটি (হয় Fol মধ্যে) সূত্র এবং এর একটি সূত্র , তারপর সেখানে একটি সূত্র যেমন যে এবং । ফর্মুলা হ'ল এবং এর ক্রেগ ইন্টারপোল্যান্ট (বা বিকল্প সংজ্ঞায়, এবং )) একটি তুচ্ছ interpolant এবং হয়একটি টি একটি সি টি সি বি ⊢ টি একটি একটি → বি ⊢ টি সি বি → সি বি একজন সি একটি ¬ সি ¬ পি ∧ কুই কুই $\vdash_{T_A\cup T_C}A\to C$$A$$T_A$$C$$T_C$$B$$\vdash_{T_A}A\to B$$\vdash_{T_C}B\to C$$B$$A$$C$$A$$\lnot C$$\lnot p\land q$$q$$q$ , তবে আমি 'ছোট' (যেমন সিনট্যাকটিক আকার) এর কিছু যুক্তিসঙ্গত সংজ্ঞার জন্য একটি ছোট ইন্টারপোল্যান্ট চাই । (Interpolants অনেক ব্যবহার এখানে থাকে এবং আপনি যদি আপনি জানতে আগ্রহী হয়, এক ।)

অনুপ্রেরণা: যাচাইকরণ শর্ত জেনারেশনের মাধ্যমে (খুব) বর্ধিত প্রোগ্রাম যাচাইকরণে এটি কার্যকর হবে।

Comments

বিভিন্ন প্রুফ সিস্টেমে প্রদত্ত প্রমাণ থেকে ইন্টারপোল্যান্ট আবিষ্কারের জটিলতা সম্পর্কে বিভিন্ন ফলাফল রয়েছে। কিছু দুর্বল প্রুফ সিস্টেমে ইন্টারপোলেন্টকে দক্ষতার সাথে খুঁজে পাওয়া সম্ভব (এবং তারপরে আমরা বলেছি যে প্রুফ-সিস্টেমটি সম্ভাব্য ইন্টারপোলেশন সম্পত্তি সন্তুষ্ট করে) তবে শক্তিশালী সিস্টেমে এই সম্পত্তি ক্রিপ্টোতে উপলব্ধিযোগ্য হাইপোথিসিকে ধরে নিচ্ছে না। আমি সংক্ষেপে বলছি, ইন্টারপোল্যান্ট সন্ধানের জন্য অ্যালগরিদম নির্ভর করে জন্য প্রুফ সিস্টেমটি ব্যবহার করা হচ্ছে । $A \to C$

— কাভেহ

আমি নিশ্চিত কিছু একটা ভুলে যাচ্ছি। তুচ্ছ ইন্টারপোল্যান্ট আকার 1 রয়েছে এটি কীভাবে আরও ছোট হতে পারে? $q$

— এমিল জেবেক মনিকা 24

@ এমিলজেবেক: এবং কিউ একটি মেটা-ভেরিয়েবল, যা সূত্রের পক্ষে দাঁড়ায়। উদাহরণস্বরূপ, আপনি p ≡ ( ( x = 1 ) ∨ p r i m e ( x ) ) এবং q ≡ ( ( x = 1 ) ∧ o d d ( x ) ) থাকতে পারেন , এক্ষেত্রে f a l s e ¬ p ∧ q এর ভাল ইন্টারপোল্যান্ট$p$$q$$p\equiv((x=1)\lor{\it prime}(x))$$q\equiv((x=1)\land{\it odd}(x))$${\bf false}$$\lnot p\land q$এবং , কারণ ¬ p ∧ q অসন্তুষ্টিজনক। আমার আবেদনে, পি একটি পুরাতন যাচাইকরণ শর্ত এবং প্রোগ্রামটি কিছুটা সম্পাদনার পরে Q হল যাচাইকরণ শর্ত। $q$$\lnot p\land q$$p$$q$

— রাদু গ্রেগোর

আমি দেখি. স্বরলিপি দ্বারা আমি বেশ বিভ্রান্ত লোয়ার-কেস এবং এ , বি , সি আপার-কেস হওয়ার কোনও কারণ আছে কি ? $p,q$$A,B,C$

— এমিল জেব্যাক মনিকা

Answer 1

হিমাংশু জৈনের পিএইচডি থিসিসটি দেখুন , সন্তুষ্টি পরীক্ষা যাচাইকরণ যাচাইকরণ, পূর্বাভাস বিমূর্তি এবং ক্রেগ ইন্টারপোলেশন । তিনি যাচাইকরণে অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে নজর রেখে বেশ কয়েকটি মৌলিক কৌশলগুলির কার্যকারিতা বিবেচনা করেন এবং লিনিয়ার সমীকরণ এবং ডায়োফ্যান্টাইনস সম্পর্কিত সূত্রগুলির বিভাজন সম্পর্কে একটি অধ্যায় রয়েছে।

তিনি বিবেলের সংযোগ পদ্ধতি হিসাবে আমি কী জানি এবং যাকে তিনি জেনারেল ম্যাটিংসকে ডাকেন তার একটি বিশেষ নজর রাখে। এগুলি গ্রাফ-ভিত্তিক, সূত্র-অনুগ্রহ-সন্তুষ্টির ভিত্তিতে ভিত্তিক পদ্ধতির পরিবর্তে। আপনি সাধারণত তাদের মধ্যে আগ্রহী, আমাকে ডমিনিক হিউজের যুক্তিসঙ্গতভাবে ছোট (11 পৃষ্ঠা) সুপারিশ দিন সিনট্যাক্স ছাড়া নিদর্শনাবলী ।

Answer 2

মজার বিষয় হল কাটা-নির্মূলকরণ এবং ইন্টারপোলেশন উপপাদ্যের মধ্যে একটি সংযোগ রয়েছে। সমস্ত বিভাজন তত্ত্বটি প্রথমে কাটা-নির্মূলের সময় ব্যবহৃত মিশ্রণ বিধি বিলোপের বিপরীত মত দেখাচ্ছে। এই নির্মূল বলে:

If G |- A and D, A |- B are cut-free proofs,  
then there is a cut-free proof G, D |- B

কাট-মুক্ত প্রমাণের উপর ভিত্তি করে একরকম বিভক্তির উপপাদ্য, নিম্নলিখিত হিসাবে করা যেতে পারে। এটি নির্মূলের উল্টো সংস্করণ। এটি G, D | - B দিয়ে শুরু হয় এবং G | - A এবং D, A | - B দিয়ে দেয়:

If G; D |- B is a cut free proof,  
then there is a formula A (the interpolant) 
and cut free proofs G |- A and D, A |- B,  
and A uses only propositions simultaneously from G and D

আমি উদ্দেশ্যটি জি এবং ডি এর মধ্যে একটি সেমিকোলন রেখেছিলাম যেখানে আমরা লাইনটি আঁকছি, কোন প্রিমিসিগুলি আমরা ইন্টারপোল্যান্ট বিতরণ করার জন্য দেখতে চাই এবং কোন প্রিমিসিগুলি ইন্টারপোল্যান্ট ব্যবহার করে দেখতে চাই।

যখন ইনপুটটি কাটা ফ্রি প্রুফ হয়, তখন অ্যালগ্রোথমের প্রচেষ্টাটি কাট ফ্রি প্রুফের নোডের সংখ্যার সাথে সমানুপাতিক। সুতরাং এটি কার্যকর একটি পদ্ধতি ইনপুট রৈখিক। কাটা ফ্রি প্রুফের প্রতিটি প্রমাণ ধাপের সাথে, অ্যালগরিদম একটি নতুন সংযোজক প্রবর্তন করে আন্তঃপঞ্চককে একত্রিত করে।

উপরের পর্যবেক্ষণটি সরল দোলক নির্মাণের জন্য ধারণ করে, যেখানে কেবল আমাদের প্রয়োজন যে ইন্টারপোলেন্টকে জি এবং ডি থেকে একযোগে প্রস্তাব দেওয়া যেতে পারে, একটি পরিবর্তনশীল শর্তযুক্ত ইন্টারপোল্যান্টগুলিকে আরও কিছুটা পদক্ষেপের প্রয়োজন হয়, যেহেতু কিছু পরিবর্তনশীল প্রতিবন্ধকতাও করা দরকার।

সম্ভবত কাট-মুক্ত প্রমাণের ন্যূনতমতা এবং ইন্টারপোল্যান্টের আকারের মধ্যে একটি সংযোগ রয়েছে। সমস্ত কাট-মুক্ত প্রমাণগুলি ন্যূনতম নয়। উদাহরণস্বরূপ, অভিন্ন প্রমাণগুলি প্রায়শই কাট-মুক্ত প্রমাণগুলির চেয়ে কম হয় orter অভিন্ন প্রমাণের জন্য লেমা যথেষ্ট সহজ, ফর্মের একটি বিধি প্রয়োগ:

 G |- A       G, B |- C
 ----------------------
     G, A -> B |- C

এড়ানো যায়, যখন সি এর প্রমাণগুলিতে বি ব্যবহার করা হয় না, যখন বি সি এর প্রুফ ব্যবহার করা হয় না, আমরা ইতিমধ্যে জি | - সি পেয়েছি এবং এভাবে জি, এ -> বি | - সি দুর্বল করে এখানে উল্লিখিত অ্যালগরিদম এদিকে মনোযোগ দেবে না।

শুভেচ্ছান্তে

তথ্যসূত্র: ক্রেগের ইন্টারপোলেশন উপপাদ্যটি ইসাবেল / এইচএল, টম রিজ, ক্যামব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয়, 12 জুলাই 2006 http://arxiv.org/abs/cs/0607058v1 এ আনুষ্ঠানিকভাবে এবং যান্ত্রিকীকরণ হয়েছে

উপরোক্ত পুনরুদ্ধারটি হুবহু একই একই দ্রাবনটি দেখায় না, কারণ এটি একটি উপসংহার উপসংহার অংশে বহু-সেট ব্যবহার করে। এছাড়াও এটি জড়িত ব্যবহার করে না। তবে এটি আকর্ষণীয় কারণ এটি আমার জটিলতার দাবিটিকে সমর্থন করে এবং যেহেতু এটি যান্ত্রিকীকরণ যাচাইকরণ দেখায়।

Comments

জান, আপনি সিস্টেরিতে ল্যাটেক্স-স্টাইলের গণিত ব্যবহার করতে পারেন।

— কাভেহ

Answer 3

এই প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা হওয়ার প্রায় দুই বছর পেরিয়ে গেছে, কিন্তু সেই সময়টিতে ক্রেইগ ইন্টারপোলেন্টগুলি গণনা করার জন্য অ্যালগরিদম সম্পর্কে আরও কাগজপত্র প্রকাশিত হয়েছিল। এটি একটি অত্যন্ত সক্রিয় গবেষণা অঞ্চল এবং এখানে একটি বিস্তৃত তালিকা দেওয়া সম্ভব নয়। আমি নীচে ইচ্ছামত নিবন্ধগুলি বেছে নিয়েছি। আমি ল্যান্ডস্কেপের সুস্পষ্ট চিত্র পেতে তাদের নিবন্ধগুলি অনুসরণ করে সম্পর্কিত সম্পর্কিত বিভাগগুলি পড়ার পরামর্শ দেব।

1. সন্তুষ্টিযোগ্যতা মডুলো থিওরিতে দক্ষ ইন্টারপোল্যান্ট জেনারেশন , আলেসান্দ্রো সিমেটি, আলবার্তো গ্রিগজিও, রবার্তো সেবাস্তিণী, এসিএম টোসিএল, ২০১০।

   লিনিয়ার যুক্তিযুক্ত গাণিতিক, যৌক্তিক এবং পূর্ণসংখ্যার পার্থক্য যুক্তি এবং ইউনিট টু ভেরিয়েবল পার ইন ইনক্যুয়ালিটি লজিক (ইউটিভিপিআই) এর জন্য আন্তঃবিচ্ছিন্নতা কভার করে।

2. সন্তুষ্টিযোগ্যতা মডুলো লিনিয়ার পূর্ণসংখ্যার গাণিতিক , আলবার্তো গ্রিগজিও, থি থিও হোয়া লে এবং রবার্তো সেবাস্তিয়ানিতে দক্ষ ইন্টারপোল্যান্ট জেনারেশন । 2010।

3. ইন্টারপোলেন্টস তৈরির জন্য সম্মিলন পদ্ধতি , গ্রেটা ইয়ার্শ এবং মদনলাল মুসুবাথি ath 2005।

   নেলসন-ওপেন তত্ত্বের সংমিশ্রণের উপস্থিতিতে কীভাবে ইন্টারপোলেন্টগুলি তৈরি করা যায় তা দেখায়।

4. সমতা তত্ত্বের গ্রাউন্ড ইন্টারপোলেশন , আলেকজান্ডার ফুচস, অমিত গোয়েল, জিম গ্রান্দি, সাভা কারস্টিক, সিজারে টিনিলি। 2011।

5. সম্পূর্ণ ইনস্ট্যান্টেশন ভিত্তিক ইন্টারপোলেশন , নিশান্ত তোতলা এবং থমাস উইজ। 2012।

6. ক্লাসিফায়ার হিসাবে ইন্টারপোলেন্টস , রাহুল শর্মা, আদিত্য ভি নরি এবং আলেকস আইকেন, ২০১২।