অ্যাকারম্যান ফাংশনের জন্য সুস্পষ্ট মিউ-রিকার্সিভ এক্সপ্রেশন

আপনি কী দয়া করে স্ট্যান্ডার্ড মিউ-রিকার্সিভ অপারেটরগুলির মাধ্যমে আকারম্যান ফাংশনটি (আসলে আমি রাজা পাইটার এবং রাফেল রবিনসন প্রস্তাবিত একটি সংস্করণে আগ্রহী) এটি কীভাবে তৈরি করবেন তা উল্লেখ করতে পারেন? আমি পেটার এবং রবিনসনের মূল কাগজপত্র চেষ্টা করেছিলাম, কিন্তু পেটারের কাগজ ইংরেজি এবং রবিনসনের কাগজগুলির "রিকার্সন এবং ডাবল রিক্রুশন" এবং "আদিম পুনরাবৃত্ত ক্রিয়াকলাপ" থেকে আলাদা কোন ভাষা ব্যবহার করে না: প্রথমটি আরও প্রাসঙ্গিক বলে মনে হয় তবে এটি ব্যবহার হয় তাই একারম্যান ফাংশন সংজ্ঞায়িত করতে ডাবল রিকার্সন অপারেটর বলা হয়, সুতরাং এক্ষেত্রে মিউ-রিকার্সিং পদগুলিতে অপারেটরের সুস্পষ্ট সংজ্ঞা চাওয়া হয়।

উত্তরটির সর্বাধিক ঘনিষ্ঠভাবে পি স্মিথটি "গডেলের উপপাদ্যগুলির একটি পরিচিতি" (সিইউপি, ২০০)) (২৯.৪ একারম্যান-পিটার ফাংশনটি urs-পুনরুদ্ধারক) তে এসেছে, তবে তিনি নিম্নলিখিতটি নিয়ে এসেছেন: "যুক্তিটি জলরোধী তৈরি করা বেশ সুন্দর ক্লান্ত যদিও কঠিন না। এখানে বিশদটি বানান থেকে শেখার মতো কিছুই নেই: সুতরাং আমরা তা করব না। "

আমি রাজা পেটারের বই "রিকার্সিভ ফাংশন" (১৯6767, একাডেমিক প্রেস )ও চেষ্টা করেছিলাম। সেখানে দেওয়া রিকার্সন অপারেটরদের জন্য প্রচুর বৈকল্পিক রয়েছে। সাধারণত একটি অন্য হ্রাস। আমি বিশ্বাস করি যে এক ধরণের পুনরাবৃত্তি অপারেটর রয়েছে যা একারম্যান ফাংশন সংজ্ঞা এবং পদক্ষেপগুলির ক্রম অনুসারে ফিট করে যা এটি আদিম পুনর্বারণ এবং ক্ষুদ্রাকরণ অপারেটরগুলিতে হ্রাস করে, তবে আমি নিজেকে পুরোপুরি তদন্ত করতে অক্ষম পেয়েছি।

computability

— আর্টেম পেলেনিটসিন
সূত্র

আসলে এটি এতটা কঠিন নয় যতটা প্রথমে মনে হতে পারে। কৌশলটি হ'ল

অপারেটরটিকে অ্যাকারম্যান ফাংশনটির গণনা, অর্থাৎ ইনপুট পর্যন্ত মানগুলির টেবিলটি অনুসন্ধান করতে দেওয়া এবং তারপরে টেবিলে ফাংশনটির সংজ্ঞা অনুসরণ করা হয়েছে তা পরীক্ষা করা উচিত। সীমাবদ্ধ সিকোয়েন্সগুলি এনকোডিং / ডিকোডিং করা এবং টেবিলটি পরীক্ষা করা দরকার What এনকোডিং / ডিকোডিং স্পষ্টভাবে অনেক পাঠ্যপুস্তকে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, সারণীর প্রবেশের মধ্যে একটি সহজ সম্পর্ককে কেন্দ্র করে সার্বজনীন কোয়ান্টিফায়ার দ্বারা চেকিং করা যেতে পারে। সীমাবদ্ধ সার্বজনীন কোয়ান্টিফায়ার সীমিত গুণ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে

μ

$\mu$

— কাভে

এবং পদ বেষ্টিত গুণ এর একটি সুনির্দিষ্ট সংজ্ঞা

-recursion এছাড়াও পাঠ্যবই পাওয়া যেতে পারে।

μ

$\mu$

— কাভেঃ

@ কাভাহ হ্যাঁ, পি। স্মিথের "গডেলের উপপাদ্যগুলির একটি পরিচিতি" তে একই ধারণা কার্যকর করা হয়েছিল। মিনিমাইজেশন অপারেটরের এনকোডিং এবং অ্যাপ্লিকেশন দেওয়া আছে। জটিল অংশটি হ'ল আপনার নাম দেওয়ার সাথে সাথে কীভাবে "টেবিল" তৈরি করা যায়। স্মিথ এড়িয়ে গেলেন। সুতরাং দেখে মনে হচ্ছে যে এখানে সমাধানের জন্য অপেক্ষা করার পরিবর্তে আমাকে আরও কঠোরভাবে চিন্তা করতে হবে;) কমপক্ষে আপনার সাধারণ পদ্ধতির অনুমোদনের জন্য ধন্যবাদ।

— আর্টেম পেলেনিতসিন

টেবিলটি কেবল একটি সীমাবদ্ধ ক্রম যেখানে এন্ট্রিগুলিকে জুটিবদ্ধ ফাংশনের ফলাফল দ্বারা সূচিযুক্ত করা হয়।

যেখানে

μ c : \forall x < L e n (c) \forall y, z < x, x =< y, z >\to c_{< y, z >} = R (c, x, y)

$\mu c: \forall x<Len(c) \forall y,z<x , x=<y,z> \to c_{<y,z>} = R(c,x,y)$

R (c, x, y)

$R(c,x,y)$

এর সমীকরণের আরএসএস ।

A c k (x, y)

$Ack(x,y)$

— কাভেঃ

উত্তর:

প্রাথমিক অপারেটরদের পুরো পথে অ্যাকারম্যান ফাংশন ভাঙ্গা সত্যিই বেশ দীর্ঘ হবে তবে এখানে একটি স্কেচ দেওয়া হয়েছে:

নোট করুন যে পুনরাবৃত্তভাবে গণনা করার সময়, গণনার যেকোন পর্যায়ে আপনি ফর্মের একটি অভিব্যক্তি নিয়ে কাজ করছেন । বিপরীতমুখী সহ একটি বাইজিক জুটি ফাংশন , আমরা এই অবস্থাটিকে হিসাবে এনকোড করতে পারি $A(m,x)$ $A(m_1,A(m_2,\dots,A(m_k,z)\dots)$ $p$ $(\pi_1,\pi_2)$ ( ক্ষেত্রেকেবল )। তারপরে আমরা একটি রাষ্ট্র প্রদত্ত এক-পদক্ষেপের মূল্যায়ন ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত করতে পারি: $p(z,p(k,p(m_k,\dots,p(m_2,m_1)\dots)$ $p(z,0)$ $k=0$

; $e(p(z,0)) = p(z,0)$

; $e(p(z,p(k,p(0,c)))) = p(z+1,p(k-1,c))$

; $e(p(0,p(k,p(m+1,c)))) = p(1,p(k,p(m,c)))$

। $e(p(z+1,p(k,p(m+1,c)))) = p(z,p(k+1,p(m+1,p(m,c))))$

তারপরে আপনি আদিম পুনরাবৃত্তি ব্যবহার করে এন-পদক্ষেপের মূল্যায়ন ফাংশনটি পাবেন:

এবং । $E(0,m,x) = p(x,p(1,m))$ $E(n+1,m,x) = e(E(n,m,x))$

অবশেষে, আশেপাশে রেকর্ডেশনটি মোড়ুন যেখানে আমরা ফর্মের একটি অবস্থানে পৌঁছাতে পয়েন্টটি সন্ধান করব - হবে । $\mu$ $E$ $p(z,0)$ $z$ $A(m,x)$

— ক্লাউস ড্র্রেজার
সূত্র

ধন্যবাদ! আরও একটি প্রশ্ন (সম্ভবত বেশ নির্বোধ, দুঃখিত): প্যাটার্ন-ম্যাচিং-এর মতো সংজ্ঞা (চ (0) = ..., চ (এন + 1) = ...) ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়েছে, তবে আমি সন্দেহ করি যে তারা সত্যই এর দ্বারা প্রান্তিক মু-রিকার্সিভ ফাংশন সংজ্ঞা। তারা কি?

— আর্টেম পেলেনিটসিন

এই ধরণের কেস পার্থক্য (উদাহরণস্বরূপ,

এবং

দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা কেবল একটি বিশেষ কেস আদিম পুনরাবৃত্তি যা পূর্ববর্তী মানটি ব্যবহার করে না। এর গণনার মধ্যে

, আপনি অতিরিক্ত অক্জিলিয়ারী ফাংশন ব্যবহার করেন এবং inverses

f (x, y)

$f(x,y)$

f (0, y) = g (y)

$f(0,y)=g(y)$

f (x + 1, y) = h (x, y)

$f(x+1,y) = h(x,y)$

A (x, y)

$A(x,y)$

বেশ কিছুটা যদি আপনি একে একে অপারেশনের প্রাথমিক সেটটিতে ভেঙে দিতে চান।

π_{1}, π_{2}

$\pi_1,\pi_2$

— ক্লাউস ড্রায়ার

উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনি সংজ্ঞা অনুবাদ পারে

যেমন

, যেখানে

এবং

e

$e$

e (s) = f_{1} (π_{1} (s), π_{2} (s))

$e(s)=f_1(\pi_1(s),\pi_2(s))$

f_{1} (z, 0) = p (z, 0)

$f_1(z,0)=p(z,0)$

, যেখানে

আপনি ধারণাটি পাবেন।

f_{1} (z, m + 1) = f_{2} (z, π_{1} (m + 1), π_{2} (m + 1))

$f_1(z,m+1)=f_2(z,\pi_1(m+1),\pi_2(m+1))$

f_{2} \dots

$f_2\dots$

— ক্লাউস ড্রায়ার

এটি কাভেহ পোস্ট করা ধারণার বৈকল্পিক, তবে আমি যাইহোক পোস্ট করছি যেহেতু এটি আপনাকে কোনও হ্যান্ডওয়াভিং না করেই কম্বলটির নীচে অনেক বাজে বিবরণ স্যুইপ করতে দেয়।

মূল ঘটনাটি হ'ল অ্যাকারম্যান ফাংশনের গ্রাফটি আদিম পুনরাবৃত্ত। যাচাই করার জন্য অ্যাকারম্যান মানগুলির টেবিলের কোডের জন্য খুব অশোধিত আদিম পুনরাবৃত্ত বাউন্ড খুঁজে পাওয়া খুব কঠিন নয় । তীব্র সীমানা পাওয়ার চেষ্টা করবেন না - ক্রুডারটি আরও সহজ! মতো কিছু $B(m,n,w)$ $A(m,n) = w$ $B(m,n,w) = 2^{mw^w}$ যথেষ্ট ভাল হওয়া উচিত, তবে এটি আপনার কোডিং স্কিমের পছন্দের উপর নির্ভর করে। যেহেতু সারণির মানগুলির যাচাইকরণ একটি সীমানা সূত্রের দ্বারা বর্ণিত হতে পারে, এটি আদিম পুনরাবৃত্তিযোগ্য।

$G(m,n,w)$ $A(m,n) = \mu w\,G(m,n,w)$ .

Sadly, this strategy doesn't work for all functions defined by double (or multiple) recursion. The reason it works for the Ackermann function — as you will see when trying to figure out a good $B(m,n,w)$ — is that it grows very monotonically. For the general case, you must use Kaveh's idea and have $\mu$ মানগুলির উপযুক্ত সারণী সন্ধান করুন। ক্লিনির নরমাল ফর্ম উপপাদ্যটি প্রয়োগ করার পরে একটি প্রক্ষেপণ করা প্রয়োজন কেন এটি মূলত একই কারণ $\mu$ অপারেটর.

— ফ্রান্সোইস জি। ডোরাস
সূত্র

হাই ফ্রান্সোইস আপনি cstheory এ দেখে ভাল লাগছে।

— কাভেহ

হাই কাভেঃ অবশেষে এখানে কিছু উত্তর দিতে ভাল লাগছে!

— ফ্রান্সোইস জি। ডোরাইস