একটি সাধারণ (?) মজাদার সংযুক্ত সমস্যা!

আসুন আমরা $0<E<1$ এবং একটি পূর্ণসংখ্যার $t>0$ ।

কোন $n$ এবং কোন ভেক্টর জন্য $\bar{c} \in [0,1]^n$ যেমন যে $\sum_{i\in [n]} c_i \geq E \times n$

$A_{\bar{c}} :=|\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E \times t \}| \geq \binom{ E \times n}{ t }$

আমি জানি না স্ট্যাথামিটি সত্য মিথ্যা কিনা। আমি মনে করি এটি সত্য।

আমার অন্তর্নিহিত পর্যবেক্ষণ থেকে এসেছে যে ভেক্টরগুলির জন্য (যোগফলের সাথে নির্দিষ্ট পরিমাণে সম্পত্তি সহ) আমাদের কাছে ; এই ক্ষেত্রে আমরা কেবল সেট থেকে উপসেট নির্বাচন করতে পারেন । $\bar{c} \in \{0,1\}^n$ $A_{\bar{c}}= \binom{ E \times n}{t}$ $\{ i ~|~ c_i = 1 \}$

অন্য ক্ষেত্রে স্থানাঙ্কটি in using ব্যবহার করে আমরা ভাল উপসেট তৈরি করতে পারি (যোগফল বড় হলে ) তবে এছাড়াও, সম্ভবত সেট থেকে কয়েকটি স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে আমরা অন্যান্য ভাল সেট তৈরি করতে পারি! $E \times t$ $\{ i ~|~ c_i > E \}$ $\{ i ~|~ c_i \leq E \}$

সুতরাং, এটি প্রমাণ করুন বা বাগটি সন্ধান করুন! আশা করি এটি আপনার জন্য একটি মজার খেলা হতে পারে!

প্রশ্নের অনুপ্রেরণা :

ধরুন আপনি একটি দৈব চলক আছে , একটি আদর্শ পরিমাপ "কত যদৃচ্ছতা" সেখানে রয়েছে মিনিট-এনট্রপি হয় $X\in \{0,1\}^n$ $X$

$H_{\infty}(X) = min_{x} \{ -log(Pr[X = x]) \}$

কিছু স্বজ্ঞাত অর্থে নন -এন্ট্রপিটি বিখ্যাত শ্যানন এন্ট্রপির সবচেয়ে খারাপ ঘটনা (এটি গড় ক্ষেত্রে )।

আমরা এলোপাতাড়ি ভেরিয়েবলের মিনিট-এনট্রপি lowerbound আগ্রহী যেখানে uniformely সেট উপর বিতরণ করা হয় । $(Z=X \wedge Y| Y)$ $Y$ $\{ y ~|~ \sum_i y_i = t\}$

আলগাভাবে বলতে গেলে আমরা ভাগ্যবান হলে আমরা এর বিটগুলিকে ধরতে পারি যা "ভাল এনট্রপি" রয়েছে এবং তাই আমরা যদি তবে $X$ $H_{\infty}(X)\geq En$ $H_{\infty}(Z|Y)\geq Et$

আমাদের ভাগ্যবান হওয়ার সম্ভাবনা কী?

সমস্যাটি একটি ভালভাবে অধ্যয়ন করা হয়েছে এবং সেখানে প্রচুর সাহিত্যের উপস্থিতি রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ লেমমা এ .3 দেখুন। সীমাবদ্ধ-পুনরুদ্ধার মডেলটিতে ফুটো-প্রতিরোধক পাবলিক-কী ক্রিপ্টোগ্রাফিতে

co.combinatorics it.information-theory

— AntonioFa
সূত্র

আমি শব্দটি দ্বারা বিভ্রান্ত হয়েছি । যেহেতু অগত্যা একটি পূর্ণসংখ্যা নয়, এটি কীভাবে সংজ্ঞায়িত হয়?

(\binom{E \times n}{t})

$E\times n \choose t$

E \times n

$E\times n$

— ডেভ ক্লার্ক

প্রেরণা কি?

— অ্যান্টনি ল্যাবারে

@ ডেভ ক্লার্ক, স্ট্যান্ডার্ড অ্যাপ্রোচগুলি গামা ফাংশনের ক্ষেত্রে এটি নির্ধারণ করতে হবে বা (যেটি পূর্ণসংখ্যা দেওয়া হয়)।

t

$t$

\prod_{k = 0}^{t - 1} (E n - k) / t!

$\prod_{k=0}^{t-1}(En-k) / t!$

— পিটার টেলর

দ্বিপদী সহগগুলি অ-ইন্টিগ্রাল আর্গুমেন্টগুলিতে সাধারণীকরণ করা যায় (উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠাটি বেশ কয়েকটি বিশদ সরবরাহ করে)। এটা এই ক্ষেত্রে প্রয়োজনীয় নাও হতে পারে যদিও: মনে রাখবেন একস্ট্রিমাল ক্ষেত্রে যেখানে এর সমষ্টি এই প্রমাণ করার যথেষ্ট সমান (অর্থাত তাদের গড়)।

c_{i}

$c_i$

E \times n

$E\times n$

E

$E$

— ক্লাউস ড্রায়ার

@ ডেভ: আমার ভুলের জন্য আমি দুঃখিত, আমার দৃষ্টিকোণ থেকে আপনি বেছে নিতে পারেন ।

⌊ E n ⌋

$\lfloor En \rfloor$

— আন্তোনিওফা

পোস্টে অনুমানটি ধারণ করে না, তবে মন্তব্যগুলিতে উল্লিখিত দুর্বল অনুমান (তলকে সম্মানের সাথে) ধরে রাখে। আসলে, শক্তিশালী কিছু ধারণ করে।

লেমা 1. পোস্টে অনুমানটি ধারণ করে না। অর্থাত, প্রদত্ত অনুমানগুলি সন্তুষ্ট করার একটি উদাহরণ রয়েছে যেখানে

| {S \subseteq [n] : \sum_{i \in S} c_{i} \geq E t} | < (\binom{E n}{t}) .

$\big|\textstyle\big\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E \, t \big\}\big| < \binom{ E \, n}{ t }.$

প্রুফ। , , , এবং দিয়ে উদাহরণ বিবেচনা করুন । তারপরে । বাম দিকে, আমাদের কাছে কারণ যে কোনও উপসেট যার উভয়ই 1 এর সর্বাধিক 1.7 এর সাথে থাকে না এবং সেখানে কেবল দুটি উপসেট রয়েছে ( এবং ) উভয়ই 1 রয়েছেএবং ডান দিকের দিকটি হ'ল $n=3$ $c=(1, 1, 0.7)$ $E=2.7/3=0.9$ $t=2$ $E\, t = 1.8$

| {S \subseteq [3] : \sum_{i \in S} c_{i} \geq 1.8} | = 2

$\big|\textstyle\{ S \subseteq [3] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq 1.8 \}\big| = 2$

S

$S$

{1, 1}

$\{1,1\}$

{1, 1, 0.7}

$\{1,1,0.7\}$

(\binom{2.7}{2}) = 2.7 \cdot 1.7 / 2 = 2.295 > 2. ◻

$\binom{ 2.7}{ 2 } = 2.7\cdot 1.7\,/\, 2 = 2.295>2. ~~~\Box$

দুর্বল অনুমানটি মন্তব্যে প্রস্তাবিত, তলটি বেঁধে দেওয়া floor , ধারণ করে। আসলে কিছুটা শক্তিশালী কিছু ধারণ করে: $\lfloor E\, n \rfloor$

থিম 2. ফিক্স ইন্টিজার , এবং ভেক্টর সঙ্গে । তারপরে $0<E<1$ $n,t>0$ $c \in [0,1]^n$ $\sum_{i\in [n]} c_i \geq E\, n$

| {S \subseteq [n] : \sum_{i \in S} c_{i} \geq E t} | > (\binom{⌊ E n ⌋}{t}) + (\binom{⌊ E n ⌋}{t + 1}) + \dots + (\binom{⌊ E n ⌋}{⌊ E n ⌋}) .

$\big|\textstyle\big\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E\, t \big\}\big| \,>\, \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ t } + \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ t+1 } + \cdots + \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ \lfloor E\, n\rfloor }.$

প্রুফ। যাক । ডাব্লুওএলওজি ধরুন যে । (অন্যথায় এবং প্রতিটি স্কেল করে একটি অভিন্ন ফ্যাক্টর দ্বারা এটি তৈরি করুন This এটি বজায় রাখে এবং কমপক্ষে বা কাঙ্ক্ষিত নীচের সংখ্যার সাথে যোগফলগুলিও পরিবর্তন করে না যেমন সাব-সেট নির্বাচন।) ধরে WLOG যে (অন্যথায় দাবি জাভাস্ক্রিপ্টে গার্বেজ ঝুলিতে)। $a=\lfloor E\, n\rfloor$ $a=E\,n$ $E$ $c_i$ $\sum_i c_i \ge E\,n$ $E\,t$ $t\le a$

কমপক্ষে আকারের যে কোনও উপসেট বিবেচনা করুন , যেখানে । যেহেতু এবং তে রয়েছে এবং সর্বাধিক উপাদানগুলি (যার মধ্যে প্রতিটি সর্বাধিক 1) থাকে , পছন্দসই হিসাবে। $S\subseteq [n]$ $n-d$ $d=a-\lceil a\,t/n\rceil \ge 0$ $\sum_{i\in[n]} c_i \ge a$ $S$ $d$ $\sum_{i\in S} c_i \ge a-d = \lceil a\,t/n\rceil = \lceil E\,t\rceil \ge E\,t$

যেমন সাব-সেট নির্বাচন সংখ্যা হল $S$

${n\choose n-d} + {n \choose n-d+1} + \cdots + {n \choose n-1} + {n \choose n}$

$= {n\choose d} + {n \choose d-1} + \cdots + {n \choose 1} + {n \choose 0}$

$> {a\choose d} + {a \choose d-1} + \cdots + {a \choose 1} + {a \choose 0}~~~$ ( ব্যবহার করে ) $n>a$

$= {a\choose a-d} + {a \choose a-d+1} + \cdots + {a \choose a-1} + {a \choose a}.$

তবে ( ), সুতরাং শেষ যোগফলটি ভাল সাবসেটের সংখ্যার উপর অন্তত পছন্দসই নিম্নতর আবদ্ধ। $a-d = \lceil a\,t/n\rceil \le t$ $a/n = E < 1$ $~~\Box$

— নিল ইয়ং
সূত্র