অ-নিরঙ্কুশভাবে শেষ হওয়া লুপগুলি সম্পর্কে যুক্তিযুক্ত

এখানে একটি "ট্র্যাক বি" প্রশ্ন রয়েছে কিনা। সংক্ষিপ্তসার: আমি যখন প্রথমে নন-ডিস্ট্রিমেন্টিক প্রোগ্রামগুলিকে কোনও শব্দার্থবিজ্ঞানের ফলাফল দেওয়ার চেষ্টা করি তখন মনে করি যেগুলিতে আমি লুপ সম্পর্কে এমন জিনিস প্রমাণ করতে পারি না যেগুলি কেবল অ-নিরস্ত্রীকরণের অবসান ঘটায়। নিশ্চয়ই কেউ এই পরিস্থিতিতে কী করবেন তা নিয়ে কাজ করেছেন, বা কমপক্ষে উল্লেখ করেছেন যে এটি শক্ত, তবে কীভাবে এটি অনুসন্ধান করতে হবে তা আমি জানি না (সুতরাং "রেফারেন্স অনুরোধ" ট্যাগ)।

পটভূমি

আমি অ-নির্ধারণবাদ সহ কিছুক্ষণের ভাষা মডেল করতে চাই। আমি মনে করি এটি স্মিথ পাওয়ারডোমেনের সাথে এই জাতীয় ভাষার মডেল করার সুস্পষ্ট (বা কমপক্ষে নির্দোষ) উপায়, তবে আমি ভুল হলে আমাকে সংশোধন করুন। আমরা এই ভাষার একটি কমান্ডের অর্থ মডেল করব এমন একটি ফাংশন হিসাবে যার ডোমেন রাজ্যের সেট এবং যার কোডোমেন সেট , যেখানে হ'ল ন্যূনতম উপাদান যা অবসানহীনতা উপস্থাপন করে এবং হ'ল রাষ্ট্রগুলির শক্তি। $S$ ${\cal P}(S)_\bot = \{ \bot \} \cup {\cal P}(S)$ $\bot$ ${\cal P}(S)$

আমরা কমান্ডগুলি রাজ্যগুলি থেকে নয়-সমাপ্তির ইভেন্ট বা রাজ্যগুলির সেটগুলিতে হিসাবে মানচিত্র হিসাবে ব্যাখ্যা করি যা সম্ভাব্য ফলাফলের প্রতিনিধিত্ব করে। অ- পছন্দ। $\sigma$ $\bot$ $\{ \sigma_1, \sigma_2, \ldots \}$ $P \circledast Q$

$⟦\mathbf{skip}⟧\sigma = \{ \sigma \}$
$⟦x := E⟧\sigma = \{ \sigma[(⟦E⟧\sigma)/x] \}$
$⟦\mathbf{abort}⟧\sigma = \bot$
$⟦\mathbf{if}~E~\mathbf{then}~P~\mathbf{else}~Q⟧\sigma = ⟦P⟧\sigma$ যদি $⟦E⟧\sigma = \mathit{true}$ , অন্যথায় $⟦Q⟧\sigma$
$⟦P \circledast Q⟧\sigma = \bot$ যদি $⟦P⟧\sigma = \bot$ বা $⟦Q⟧\sigma = \bot$ , অন্যথায় $⟦P⟧\sigma \cup ⟦Q⟧\sigma$
$⟦P; Q⟧\sigma = \bot$ যদি বা কিছু জন্য , অন্যথায় $⟦P⟧\sigma = \bot$ $⟦Q⟧\tau = \bot$ $\tau \in ⟦P⟧\sigma$ $\bigcup_{\tau \in ⟦P⟧\sigma} ⟦Q⟧\tau$

একটা নির্দেশ সম্পূর্ণ আংশিক অর্ডার , যেখানে কোন এবং উভয় এবং সঠিক সেট এবং হয় , এবং আমরা এই ফাংশন প্রসারিত করতে পারেন থেকে থেকে pointwise: যদি জন্য প্রতি , এবং হ'ল ফাংশন যা প্রতি রাজ্যের মানচিত্রকে । $\sqsubseteq$ $\bot \sqsubseteq S'$ $S' \in {\cal P}(S)_\bot$ $S_1 \sqsubseteq S_2$ $S_1$ $S_2$ $S_1 \supseteq S_2$ $f$ $S$ ${\cal P}(S)_\bot$ $f_1 \sqsubseteq f_2$ $f_1(\sigma) \sqsubseteq f_2(\sigma)$ $\sigma$ $f_\bot$ $\bot$

অর্থ উপরের প্রান্ত , যেখানে if , অন্যথায় যদি বা কিছু , অন্যথায় । (এই সংজ্ঞা ধরে নেয় যে আমি শুধু সংজ্ঞায়িত স্কট একটানা, কিন্তু আমি মনে করি এটা যে সরাইয়া ছেড়ে নিরাপদ।) $⟦\mathbf{while}~E~\mathbf{do}~P⟧\sigma$ $f_\bot \sqsubseteq f(f_\bot) \sqsubseteq f(f(f_\bot)) \sqsubseteq \ldots$ $f(g)(\sigma) = \{\sigma\}$ $⟦E⟧(\sigma) = \mathit{false}$ $\bot$ $⟦P⟧\sigma = \bot$ $g(\tau) = \bot$ $\tau \in ⟦P⟧\sigma$ $\bigcup_{\tau \in ⟦P⟧\sigma}g(\tau)$ $f$

প্রশ্ন

এই প্রোগ্রামটি বিবেচনা করুন:

$x := 0;$
$b := \mathsf{true};$
$\mathbf{while}~b~\mathbf{do}$
$\qquad x := x + 2;$
$\qquad b := \mathsf{false} \circledast b := \mathsf{true}$

স্বজ্ঞাতভাবে, এটি এমন একটি লুপ যা কোনও ধনাত্মক এমনকি সংখ্যার ফিরিয়ে দিতে পারে বা শেষ করতে পারে না, এবং এটি দুর্বলতম উদার পূর্বশর্তটি ব্যবহার করে এই লুপটি সম্পর্কে আমরা কী প্রমাণ করতে পারি তার সাথে মিলে যায় (এটি প্রদর্শিত সম্ভব যে একটি লুপ) পরিবর্তিত)। তবে, লুপটি শেষ না করার ক্ষমতা রয়েছে (আমরা প্রোগ্রামটি যে সবসময় ডান হাতের শাখা গ্রহণ করি তা দ্বারা অ-নিরস্তকর পছন্দকে পরিমার্জন করতে পারি), কোনও প্রাথমিক অবস্থায় প্রদত্ত এই প্রোগ্রামটির অর্থ হ'ল । (কম অনানুষ্ঠানিকভাবে: ফাংশন যা কোনও রাষ্ট্রকে মানচিত্র করে যেখানে নিজেই মিথ্যা এবং যে কোনও রাষ্ট্র যেখানে সত্য , লুপটি সংজ্ঞায়িত করতে এর একটি নির্দিষ্ট বিন্দু হয় ।) $\exists n. x = 2n$ $\bot$ $b$ $b$ $\bot$ $f$

এর অর্থ হ'ল আমি যে নির্দোষ শব্দার্থতাকে প্রস্তাব করেছি তা প্রোগ্রামগুলির সাথে যুক্তি করতে সক্ষম হবেন বলে আমি আশা করি না correspond আমি আমার শব্দার্থবিজ্ঞানকে দোষ দিচ্ছি, তবে কীভাবে সেগুলি ঠিক করব।

reference-request denotational-semantics

— রব সিমন্স
সূত্র

আমি মনে করি যে কোনও প্রোগ্রামের অর্থের কোডোমেন হিসাবে ব্যবহার করে আপনি কার্যকরভাবে কোনও প্রোগ্রামের বিষয়ে কিছু যুক্তি কার্যকরভাবে ছেড়ে দিয়েছেন যা ডাইভারেজ করতে পারে। একটি নির্লজ্জ চিন্তায় use) ব্যবহার করা হয় তবে আমি জানি না যে এটি অন্য কোনও সমস্যার পরিচয় দেবে কিনা।

{⊥} \cup P (S)

$\{ \bot \} \cup \mathcal{P}(S)$

P (S \cup {⊥})

$\mathcal{P}(S \cup \{ \bot \})$

— সোসোশি ইতো

হ্যাঁ, আপনি একদম ঠিক বলেছেন যে সেট দিকে তাকানো এটি ইতিমধ্যে সুস্পষ্ট যে আমাদের উদাহরণটি পাওয়ার আগেই আশা হারিয়ে গেছে। আপনার পরামর্শটি আমার কাছেও ঘটেছিল, তবে আমি মনে করি আপনি এই উদাহরণে একই সমস্যাটি শেষ করবেন যতক্ষণ না সম্ভাব্য অ-সমাপ্তি নয় দ্বারা মডেল করা হয় , এবং যদি আমরা পরবর্তীটি বেছে নিয়েছিলাম এটি একটি লুপকে স্বাভাবিক উপায়ে কমপক্ষে নির্দিষ্ট পয়েন্ট হিসাবে অর্থ দেওয়ার আমাদের ক্ষমতাকে হস্তক্ষেপ করবে।

{⊥} \cup P (S)

$\{ \bot \} \cup \mathcal P(S)$

S \cup {⊥}

$S \cup \{ \bot \}$

{⊥}

$\{ \bot \}$

— রব সিমন্স

আপনি ডায়নামিক লজিকের দিকে নজর রেখেছেন? শব্দার্থতত্ত্বগুলি রাজ্য থেকে রাজ্যগুলির মধ্যে সম্পর্কের ক্ষেত্রে দেওয়া হয়, এবং আপনি আংশিক এবং সম্পূর্ণ সঠিকতা সম্পর্কে যুক্তি যুক্তিটি ব্যবহার করতে পারেন, যা বলা হয় যে গণনাগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি সমাপ্ত হয় এবং সমস্ত গণনা একটি প্রদত্ত সম্পত্তি দিয়ে সমাপ্ত হয়।

— ডেভ ক্লার্ক

আমি এই সেটিংটিতে গতিশীল যুক্তি সম্পর্কে ভাবি নি, তবে আমি দেখতে পাচ্ছি যে এটি কীভাবে প্রাসঙ্গিক হতে পারে - আমি পিটসবার্গে ফিরে আসার সময় প্ল্যাটজার এবং তার ছাত্ররা কী ভাববে তা আমি দেখতে পাব।

— রব সিমন্স

[DB80] হিচককের এবং পুনরাবৃত্তির পরিসমাপ্তি বৈশিষ্ট্য পার্ক এর বিশ্লেষণ মধ্যে সম্পর্ক [Egl75, Plo76] তথাকথিত Egli-মিলনার ব্যাখ্যা, যা প্রকাশ উপর ভিত্তি করে একটি শব্দার্থিক বিশ্লেষণ মিলা প্রমাণিত হয় লক্ষ্যভ্রষ্ট nondeterminism। এই ধারণাটি ধারণ করে যে সম্পর্কের একটি ননডেটরিস্টিনিস্টিক ইউনিয়ন সঠিক হয় যদি এটি কমপক্ষে একটি গণনা উত্পন্ন করে যা একটি কাঙ্ক্ষিত ফলাফলের দিকে পরিচালিত করে (এমনকি একটি নির্বিঘ্ন গণনার উপস্থিতিতেও)। এটি আপনি যা করার চেষ্টা করছেন তার সাথে মিল রয়েছে বলে মনে হয়।

এরপরে একটি বিবৃতি এর অর্থের বৈশিষ্ট্য হিসাবে চিহ্নিত করা হবে যে প্রতিটি প্রাথমিক অবস্থা each কিছু রাজ্যের কিছু ম্যাপিং করতে পারে, সম্ভবত , যেমন এই অর্থে কঠোর যে । বিবৃতি মধ্যে nondeterministic পছন্দ এবং ফাংশন ম্যাপিং দ্বারা বর্ণিত প্রতিটি প্রাথমিক অবস্থায় হয় ব্যক্তিগত ফলাফল ইউনিয়ন করার । সুতরাং, যখনই বা $S$ $f_S$ $\sigma$ $\bot$ $f_S$ $f_S(\bot) = \{\bot\}$ $S_1$ $S_2$ $\sigma$ $f_{S_1} (\sigma) \cup f_{S_2} (\sigma)$ $S_1$ $S_2$ একটি অনাকাঙ্ক্ষিত ফলাফল উত্পাদন করার ননডেটেরিস্টেমিক সম্ভাবনা রয়েছে, তারপরে তাদের অদ্বিতীয়তাবাদী পছন্দও তাই করে। এই বিশ্লেষণে চূড়ান্ত রাষ্ট্রগুলির ফলাফলগুলি সেট হিসাবে একটি তথাকথিত এগলি-মিলনার শক্তিগুলির রাজ্যগুলির:

${\cal P}_{\text{E--M}}(S) = \{ ~s\subseteq S_\bot ~|~ s$ সীমাবদ্ধ এবং মজাদার নয়, বা এতে contains রয়েছে $\bot\}$

এর অসীম উপগ্রহগুলিকে এই মডেলটিতে চূড়ান্ত রাজ্যের সম্ভাব্য সেটগুলি বিবেচনা করা হয় না? এই অনুমানের অধীনে যে সম্পর্কীয় পদগুলির সমস্ত বুনিয়াদি ব্লকগুলি কেবল সীমাবদ্ধ, সম্ভাব্য চূড়ান্ত রাজ্যের কিছু নয়, সম্ভাব্য চূড়ান্ত রাজ্যের একটি অসীম সেট কেবল তখনই তৈরি করা যায় যখন অসীম গণনা সম্ভব হয় generated এটি নিম্নলিখিত হিসাবে দেখা যায়। মূল সহ একটি গাছ হিসাবে একটি নির্দিষ্ট অবস্থায় শুরু হওয়া এবং হিসাবে সমস্ত সম্ভাব্য গণনার সেটকে কাঠামো করুন । পাতাগুলির সেটটি ঠিক তখনই final থেকে বাদে সম্ভাব্য চূড়ান্ত অবস্থাগুলির সেট set $S$ $\sigma_0$ $\sigma_0$ $\sigma_0$ $\bot$ , যা পাতাগুলির মধ্যে নিখোঁজ হতে পারে তবে গাছের মধ্যে একটি অসীম পথ রয়েছে এই বিষয়টি দ্বারা চূড়ান্ত রাজ্যের সেটগুলিতে প্রতিনিধিত্ব করা হয়। উপরের অনুমানের দ্বারা এবং যেহেতু কেবল সীমাবদ্ধ নন-নির্ধারিত পছন্দ উপলব্ধ রয়েছে, তাই এই গাছটি চূড়ান্তভাবে শাখা প্রশাখা করছে। সুতরাং, যে কোনও নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধতায় কেবলমাত্র সীমাবদ্ধ পাতার সংখ্যা রয়েছে। ফলস্বরূপ সম্ভব অসীম সংখ্যার সম্ভাব্য চূড়ান্ত রাজ্যগুলি কেবল একটি অসীম গণনার উপস্থিতিতে তৈরি করা যায় (কনিগের লেমা [ক্যান 32] এর প্রয়োগ)।

$({\cal P}_{\text{E--M}}(S),\sqsubseteq_{\text{E--M}})$ একটি দ্বারা সংজ্ঞায়িত: জন্য , $\sqsubseteq_{\text{E--M}}$ $s,t\in{\cal P}_{\text{E--M}}(S)$

$s\sqsubseteq_{\text{E--M}} t\quad = \quad (\bot\in s \land s\setminus\{\bot\}\subseteq t) \lor (\bot\notin s \land s=t)~.$

এখানে, একটি স্থানধারক, যার মাধ্যমে হিসেবে দেখা যেতে পারে -greater সেট পরিবর্তে আরো রাজ্যের ঢোকাতে দ্বারা উত্পন্ন করা যেতে পারে । অতএব, হ'ল সর্বনিম্ন উপাদান । তদ্ব্যতীত, পোসেট শৃঙ্খলার জন্য লাবের অধিকারী। একইভাবে, কঠোর ফাংশন থেকে থেকে আংশিকভাবে এর pointwise এক্সটেনশান দ্বারা আদেশ হয় । তদুপরি, কমপক্ষে যেমন ফাংশন হয় $\bot$ $\sqsubseteq_{\text{E--M}}$ $\bot$ $\{\bot\}$ $({\cal P}_{\text{E--M}}(S),\sqsubseteq_{\text{E--M}})$ $({\cal P}_{\text{E--M}}(S),\sqsubseteq_{\text{E--M}})$ $\omega$ $S\cup\{\bot\}$ ${\cal P}_{\text{E--M}}(S)$ $\sqsubseteq_{\text{E--M}}$ $\lambda\sigma.\{\bot\}$ ot এবং লুবসের of -এর মতো ফাংশনগুলির শৃঙ্খলাগুলিও বিদ্যমান। $\omega$

[dB80] জেডাব্লু ডি বাক্কার। প্রোগ্রামের সঠিকতার গাণিতিক তত্ত্ব । প্রেন্টিস হল, 1980

[Egl75] এইচ ডিমলি। ননডিটারনিস্টিক গণনাগুলির জন্য একটি গাণিতিক মডেল। প্রযুক্তিগত প্রতিবেদন, ETH জুরিখ, 1975।

[Kön32] ডি কনিগ। থিওরি ডের এন্ডলিকেন আন আনড্ল্যাচেন গ্রাফেন। প্রযুক্তিগত প্রতিবেদন, লাইপজিগ, 1932।

[Plo76] জিডি প্লটকিন। একটি পাওয়ারডোমেন নির্মাণ। গণনা সম্পর্কিত সিয়াম জার্নাল , 5 (3): 452-487, 1976।

দাবি অস্বীকার: আমি একবার সহ-রচনা করা একটি বই থেকে এটি প্রায় ভারব্যাটিম নেওয়া হয়েছে:

ডব্লিউপি ডি রোভার এবং কে এঞ্জেলহার্ট। ডেটা পরিশোধন: মডেল-ওরিয়েন্টেড প্রুফের পদ্ধতি এবং তাদের তুলনা । কেমব্রিজ বিশ্ববিদ্যালয় প্রেস, 1998

— কাই
সূত্র

"এটি আমি একবার সহ-রচিত একটি বই থেকে প্রায় ভার্চিয়ম নেওয়া হয়েছে" এই বাক্যাংশটি সম্ভবত "অতিরিক্ত অসাধারণতা:" "অস্বীকৃতি:" নয়: - ডি সহ উপস্থাপিত হওয়া উচিত। ধন্যবাদ, এটি খুব সহায়ক।

— রব সিমন্স

Nondeterminism দেখার ওয়ান ওয়ে (এবং আমি এটি তাকান চান) এটি একটি ফর্ম হয় underspecification একটি nondeterministic পছন্দ সঙ্গে একটি প্রোগ্রাম করা হয় - পরিশ্রুত , প্রোগ্রাম যা সবসময় প্রথম পছন্দ লাগে দ্বারা সবসময় দ্বিতীয় পছন্দ লাগে বা (এই নির্দিষ্ট অঞ্চলে ম্যাকআইভার এবং মরগানের বিস্তৃত কাজ দেখুন) প্রোগ্রামটি সম্ভাব্যতার সাথে একটি পছন্দ বা অন্যটি গ্রহণ করে । সুতরাং অ-নিরঙ্কুশভাবে শেষ না হওয়া লুপটি কখনই শেষ হয় না এমন লুপ দ্বারা পরিশ্রুত হয় এবং আপনার মুদ্রা-ফ্লিপ লুপও যে সমাপ্ত হয় (সম্ভাব্যতা 1)

— রব সিমন্স