সময় এবং ক্যোয়ারী জটিলতার মধ্যে বাণিজ্য বন্ধ

Question

সময়ের জটিলতা বা সার্কিট লোয়ারসীমা নিয়ে সরাসরি কাজ করা ভীতিজনক। সুতরাং, আমরা নিম্ন সীমানায় একটি হ্যান্ডেল পেতে ক্যোয়ারী জটিলতা (বা সিদ্ধান্ত-গাছের জটিলতা) এর মতো সরঞ্জামগুলি বিকাশ করি। যেহেতু প্রতিটি ক্যোয়ারী কমপক্ষে একটি ইউনিট পদক্ষেপ নেয়, এবং প্রশ্নের মধ্যে গণনাগুলি নিখরচায় গণনা করা হয়, তাই সময় জটিলতা কমপক্ষে কোয়েরি জটিলতার চেয়ে কম। যাইহোক, আমরা বিচ্ছেদ সম্পর্কে কিছু বলতে পারি?

আমি শাস্ত্রীয় বা কোয়ান্টাম সাহিত্যে কাজ সম্পর্কে আগ্রহী, তবে আমি বেশি পরিচিত বলে কিউসি থেকে উদাহরণ সরবরাহ করি।

কিছু বিখ্যাত অ্যালগরিদম যেমন গ্রোভারের অনুসন্ধান এবং শর এর পিরিয়ড সন্ধান, সময় জটিলতা কোয়েরি জটিলতার বহু-লগারিদমিক কারণগুলির মধ্যে। অন্যদের জন্য যেমন লুকানো সাবগ্রুপ সমস্যা, আমাদের কাছে বহুপদী কোয়েরি জটিলতা রয়েছে , তবুও বহুপাক্ষিক সময়ের আলগোরিদিমগুলি জানা যায় না।

যেহেতু সময় এবং ক্যোয়ারী জটিলতার মধ্যে একটি ফাঁক সম্ভাব্যভাবে বিদ্যমান, তাই এটি পরিষ্কার নয় যে একটি সর্বোত্তম সময় জটিলতা অ্যালগরিদমটির সর্বোত্তম ক্যোয়ারী জটিলতা অ্যালগরিদমের মতো একই ক্যোয়ারী জটিলতা থাকতে হবে।

সময় এবং ক্যোয়ারী জটিলতার মধ্যে ট্রেড-অফের উদাহরণ রয়েছে?

এমন কি সমস্যা আছে যেখানে সর্বাধিক পরিচিত সময় জটিলতা অ্যালগরিদমের সর্বাধিক পরিচিত ক্যোয়ারী জটিলতা অ্যালগরিদমের চেয়ে আলাদা ক্যোয়ারী জটিলতা রয়েছে? অন্য কথায়, আমরা কি জিজ্ঞাসার ক্রিয়াকলাপকে আরও সহজ করার জন্য আরও অনুসন্ধান করতে পারি?

বা এমন কোনও যুক্তি রয়েছে যা দেখায় যে সর্বদা অসম্প্রদায়িকভাবে সর্বোত্তম সময়-জটিলতার সাথে বাস্তবায়ন করে এমন একটি অসমোহিত সর্বোত্তম ক্যোয়ারী অ্যালগরিদমের সংস্করণ রয়েছে?

Comments

আপনি কি প্রাকৃতিক সমস্যা চান বা কোনও কৃত্রিম সমস্যাও ঠিক আছে?

— রবিন কোঠারি

প্রাকৃতিক সমস্যাগুলি অগ্রাধিকার দেওয়া হয়, তবে কোনও উত্তর না দিয়ে কৃত্রিম সমস্যাগুলি ভাল।

— আর্টেম কাজনাটচিভ

Answer 1

নিম্নলিখিত সম্পত্তি সহ একটি কৃত্রিম ফাংশন তৈরি করার চেষ্টা এখানে:

• ক্যোয়ারী দিয়ে সমস্যাটি সমাধান করা যেতে পারে তবে এর জন্য এক্সপ ( এন ) সময় প্রয়োজন।$O(\log n)$$\exp(n)$
• সমস্যাটি সময় দিয়ে সমাধান করা যেতে পারে তবে এর জন্য ও ( এন ) প্রশ্নের প্রয়োজন$O(n)$$O(n)$

ইনপুট আকারটি । প্রথম লগ এন বিটসকে (আসুন এই স্ট্রিং এক্স বলুন) ইইক্সপি-র জন্য সম্পূর্ণ সমস্যাটিতে ইনপুট এনকোড করুন। পরের $n + \log n$$\log n$$n$ বিটস (যাক এই স্ট্রিংকে y বলুন) এর বৈশিষ্ট্যটি হ'ল এগুলি সমস্ত শূন্য হয় এবং কেবলমাত্র x যদি EEXP- সম্পূর্ণ সমস্যার কোনও উদাহরণ না হয়।

কথায় কথায়, প্রথম বিট একটি কঠিন সমস্যা এনকোড করে এবং পরবর্তী এন বিটগুলি সমস্যার সমাধান সম্পর্কে একটি সূত্র দেয়। যাইহোক, এ খুঁজছেন দ্বারা সমাধান জিনিসটা এন বিট স্ট্রিং আপনি করতে Ω ( ঢ ) প্রশ্নের।$\log n$$n$$n$$\Omega(n)$

সুতরাং এই সমস্যাটি হয় কেবলমাত্র প্রথম বিটগুলি পড়ে এবং এক্সপ্রেস (এন) সময় ব্যয় করে বা এন বিটগুলি পড়ে এবং কেবল লিনিয়ার সময় ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে ।$\log n$$n$

কোয়ান্টাম ক্যোয়ারী জটিলতার জন্য একই ফাংশনটি চলে .. যেখানে প্রয়োজন সেখানে বর্গমূলের চিহ্নগুলি প্রবেশ করান।

Answer 2

রবিনের উদাহরণের আরও চরম সংস্করণ:

প্রথম ট্যুরিং মেশিন টি x এনকোডিং করে প্রথম এন - 1 বিটস (এই স্ট্রিং এক্সকে কল করুন ) এর সাথে ইনপুট আকারটি হতে দিন । ত্রুটিমুক্ত কিছু ফাংশন চ ( এন ) । টিউরিং মেশিন টি এক্স এফ ( এন ) পদক্ষেপের চেয়ে কম স্টেপগুলিতে স্ট্রিংয়ের শেষ বিটটি 1 হতে দিন । সমস্যাটি তখন নির্ধারণ করা হয় যে টি x টি f ( n ) পদক্ষেপের চেয়ে কম এবং x এর সমতা বন্ধ করে$n$$n-1$$x$$T_x$$f(n)$$1$$T_x$$f(n)$$T_x$$f(n)$$x$ কিনা।

সুতরাং, করে প্রশ্নের সমস্যা সময় সমাধান করা যেতে পারে হে ( চ ( এন ) ) , করে যখন এন প্রশ্নের, সমস্যা সময় সমাধান করা যেতে পারে হে ( ঢ ) ।$n-1$$O(f(n))$$n$$O(n)$

Comments

আপনি সম্ভবত বোঝাতে চেয়েছিলেন যে শেষ বিটটি x এর সমতা হ'ল এমনকি যদি টিউরিং মেশিন সময়মত বন্ধ থাকে (অন্যথায় প্রশ্নের কেবল একটি প্রশ্নের প্রয়োজন হয়;))। এটি দুর্দান্ত এবং সময় এবং ক্যোয়ারির মধ্যে আমরা চাই কোনও প্রকারের বিচ্ছেদ দিতে সংশোধন করা যেতে পারে। যে কোনও ফাংশন এবং g ( n ) < n কে বিবেচনা করুন , তারপরে x এর প্রথম g ( n ) বিটগুলি টার্নিং মেশিনের বর্ণনা হয়ে উঠুক। যাক অন্যান্য এন - ছ ( এন ) এর $g(n) = \omega(1)$$g(n) < n$$g(n)$$x$$n - g(n)$$x$বিটগুলি এমন হতে পারে যে সমতা এমনকি iff টি x f ( n ) > n পদক্ষেপের চেয়ে কম স্থানে থাকে । তারপরে আমাদের সময়ে একটি জি ( এন ) বনাম এন কোয়েরি Θ ( এফ ( এন ) ) বনাম এন এর ব্যয় হয়। $x$$T_x$$f(n) > n$$g(n)$$n$$\Theta(f(n))$$n$

— আর্টেম কাজনাটচিভ

আমার আগের মন্তব্যের প্রথম বাক্যটি উপেক্ষা করুন।

— আর্টেম কাজনাটচিভ

Answer 3

আমি রবিন কোঠারীর উত্তর এবং জো ফিটসিমনসের পরিবর্তন পছন্দ করি। তাদের জবাবগুলির সুস্পষ্ট বর্ধনে তারা ছোট এবং বড় ক্যোরিয়াস জটিলতা এবং বড় এবং ছোট সময়ের জটিলতার মধ্যে কোনও বিচ্ছিন্নতা অনুপাত (ধ্রুবক-বনাম-অ-ধ্রুবক ছাড়া) অর্জন করতে পারে। তবে তাদের কাজগুলি অ-আংশিক করার কোনও সুস্পষ্ট উপায় নেই। আমি একটি প্রাকৃতিক সমস্যাটি উল্লেখ করতে চাই যেখানে আমাদের পৃথকীকরণ রয়েছে এবং এটি দেখাতে চাই যে মোট ফাংশনগুলির জন্য বড় বিচ্ছেদগুলি আরও শক্ত।

---

একটি প্রাকৃতিক সমস্যা

বেন রিচার্ড সূত্র-মূল্যায়ন সমস্যা ইমেল দ্বারা নির্দেশিত। ভেরিয়েবলগুলিতে একটি সাধারণ পঠন ও একবার-ওআর সূত্রের মূল্যায়নের জন্য কোয়ান্টাম কোয়েরি জটিলতা হ'ল Θ ( √ ) $n$। তবেও($\Theta(\sqrt{n})$$O(\sqrt{n})$ -উইগরি অ্যালগরিদম সময় সাশ্রয়ী নয়। এখানে , দ্রুততম পরিচিত অ্যালগরিদমকে ও ( √) করতে দেখানো হয়েছে √ ক্যালোরিগুলি অনুসন্ধান করুন এবং সময়কালে পলিউগ্রাথারিমেজিকভাবে আরও খারাপ। সুতরাং আমাদের একটি প্রাকৃতিক মোট সমস্যা আছে যেখানে একটি পরিচিত বিচ্ছেদ রয়েছে। যদিও এই বিচ্ছেদ বিদ্যমান আছে তার কোনও প্রমাণ নেই।$O(\sqrt{n}\log{n})$

মোট ফাংশন পৃথক করা কঠিন?

আমার কাছে, মনে হচ্ছে প্রমাণযোগ্য বিভাজন সহ মোট ফাংশনগুলি খুঁজে পাওয়া শক্ত is মোট এবং আংশিক ফাংশনগুলির ক্ষেত্রে কেস আলাদা তা দেখানোর জন্য, আমি মোট ফাংশনের জন্য ক্যোয়ারী-অনুকূল এবং সময়-অনুকূল আলগোরিদিমগুলির ক্যোয়ারী জটিলতার মধ্যে বৃহত্তম বিভাজন সম্পর্কে একটি যুক্তি সরবরাহ করব।

সাইমন এর [1] লোয়ার বাউন্ড ব্যবহার করে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে কোনও ফাংশন যদি তার ভেরিয়েবলের উপর নির্ভর করে তবে আমাদের তাদের কমপক্ষে কমপক্ষে Ω ( লগ এম ) নিয়ে জিজ্ঞাসা করতে হবে । অন্যদিকে, সর্বাধিক আমরা কোয়েরি করবো মি । নোট করুন যে সমস্ত এন ভেরিয়েবলগুলি জিজ্ঞাসা করার কোনও কারণ নেই , কারণ আউটপুট তাদের মধ্যে n - m এর থেকে পৃথক (সেই মৃত বিটগুলি কল করুন) এবং মোট ফাংশনের জন্য কোনও মৃত বিট দেখে কোনও গোপন কাঠামো প্রকাশিত হবে না। সুতরাং, মোট ফাংশনের জন্য সর্বাধিক সময়-অনুকূল অ্যালগরিদমকে কেবলমাত্র মৃত বিটগুলি সব 0 বলে ধরে ধরে বেশিরভাগ মি- ক্যোয়ারিতে ব্যবহার করতে পরিবর্তন করা যেতে পারে ।$m$$\Omega{(\log m)}$$m$$n$$n - m$$m$$0$

অতএব আমরা যদি লিখি , তারপর মোট ফাংশন, জটিলতা সঙ্গে ক্যোয়ারী-অনুকূল অ্যালগরিদম দেওয়া ( কুই 1 ( এন ) , T 1 ( এন ) ) , সেখানে জটিলতা সঙ্গে একটি সময় অনুকূল আলগোরিদিম ( কুই 2 ( এন ) , T 2 ( ঢ ) ) সঙ্গে কুই 2 ( এন ) ≤ চ ( কুই 1 ( এন ) ) এবং চ ( এন $(\text{query complexity}\; , \; \text{time complexity})$$(q_1(n),t_1(n))$$(q_2(n),t_2(n))$$q_2(n) \leq f(q_1(n))$$f(n) = O(2^n)$

[1] এইচইউ সাইমন, "একটি টাইট জেড (লগলগন) - সমান্তরাল র‌্যামের জন্য অ-অবনমিত বুলিয়ান ফাংশনগুলি গণনা করার জন্য সময় বেঁধে", সিম্পে। গণনা তত্ত্বের ভিত্তি, কম্পিউটার বিজ্ঞানে বক্তৃতা নোট, খণ্ড। 158, স্প্রিংগার, বার্লিন, 1983, পৃষ্ঠা 439–444।