কতজন ডিএফএ দুটি প্রদত্ত স্ট্রিং গ্রহণ করে?

একটি পূর্ণসংখ্যা ত্রুটিমুক্ত এবং বর্ণমালা । সংজ্ঞায়িত করুন প্রারম্ভিক রাষ্ট্রের সাথে রাজ্যগুলিতে সমস্ত সসীম-রাষ্ট্রীয় অটোমাতার সংগ্রহ হতে We আমরা সমস্ত ডিএফএ বিবেচনা করছি (কেবল সংযুক্ত, ন্যূনতম বা অবনমিত নয়); এইভাবে, । $n$ $\Sigma=\{0,1\}$ $DFA(n)$ $n$ $|DFA(n)| = n^{2n}2^n$

এখন দুটি স্ট্রিং বিবেচনা এবং সংজ্ঞায়িত উপাদানের সংখ্যা হতে সেটা মানবে উভয় এবং । $x,y\in\Sigma^*$ $K(x,y)$ $DFA(n)$ $x$ $y$

প্রশ্ন: গণনার জটিলতা কত ? $K(x,y)$

এই প্রশ্নের জন্য বিষয় রয়েছে মেশিন লার্নিং ।

সম্পাদনা: এখন যে এই প্রশ্নে অনুগ্রহ আছে, আমি অনুমান করি যে সূত্রটিতে কিছুটা আরও নির্ভুলতা ঠিক আছে। জন্য $n\ge1$ যাক $DFA(n)$ সংগ্রহ করা $n^{2n}2^n$ , অটোমাটা উপরের হিসাবে সংজ্ঞায়িত। জন্য $x,y\in\{0,1\}^*$ , নির্ধারণ $K_n(x,y)$ মধ্যে অটোমাটা সংখ্যা হতে $DFA(n)$ সেটা মানবে উভয় $x$ এবং $y$ । প্রশ্ন: $K_n(x,y)$ সময় গণনা করা যায় $poly(n,|x|,|y|)$ ?

— Aryeh
সূত্র

আপনি যদি চূড়ান্ত রাজ্যগুলি স্থির না করে কোনও ডিএফএ স্থির করেন, তবে এটি এক্স এবং y একই রাজ্যের মানচিত্র করে, এক্ষেত্রে একমাত্র সীমাবদ্ধতা হ'ল রাজ্যটি চূড়ান্ত হতে হবে, অথবা এটি দুটি পৃথক রাজ্যে মানচিত্র তৈরি করে, এক্ষেত্রে একমাত্র সীমাবদ্ধতা হ'ল তাদের উভয়ই চূড়ান্ত হতে হবে। সুতরাং, আমি আপনার সমস্যাটিকে "কতগুলি ডিএফএ ম্যাপ এক্স এবং ওয়াই বিভিন্ন রাজ্যে ম্যাপ করব?" হিসাবে উল্লেখ করব।

— a3nm

আরেহ, আপনি

গণনা ব্যাখ্যা করতে পারেন

n^{2 n} 2^{n}

$n^{2n} 2^n$ ? আমি

2^{n}

$2^n$ ফ্যাক্টর পেতে পারি না । যুক্ত: উফ, আমি চূড়ান্ত রাজ্যগুলি নির্দিষ্ট করতে ভুলে গেছি। যাইহোক, অন্যের স্বার্থে, এখানে গণনা কীভাবে চলে যায় তা এখানে। প্রতিটি রাজ্যের জন্য, ইনপুট

0

$0$ এবং

কোথায় যেতে হবে তা নির্দিষ্ট করুন

1

$1$ ; যে

জন্য অ্যাকাউন্ট

n^{2 n}

$n^{2n}$ । চূড়ান্ত রাজ্যের সেট নির্দিষ্ট করুন; এটি

2^{n}

$2^n$ ।

— শ্রীভাতসান নারায়ণন

প্রকৃতপক্ষে, আমি

এবং

ব্যতীত অন্য স্ট্রিংগুলির সাথে কী হয় সেদিকে খেয়াল

। আমার ধারণা অনুগ্রহ শুরু করার জন্য একটি নির্দিষ্ট পরিমাণের পয়েন্ট দরকার?

x

$x$

y

$y$

— আরেহ

ক্ষুদ্রতম যন্ত্রমানব যে গ্রহণ করে

এবং

, একটি একক রাষ্ট্র হয়েছে তাই আমি এটা ভয়ঙ্কর তথ্যপূর্ণ মনে করি না ...

x

$x$

y

$y$

— Aryeh

এখানে একটি ধারণা: আমরা শুধুমাত্র সংখ্যা জানা প্রয়োজন

-state DFAs যার উপর একই অবস্থায় শেষ পর্যন্ত

এবং

। এই সংখ্যাটি

এবং

হতে মোট ডিএফএগুলির সংখ্যা হতে হবে, যেমন

। তারপরে উত্তরটি

n

$n$

x

$x$

y

$y$

m

$m$

M

$M$

M = n^{2 n} 2^{n}

$M=n^{2n}2^{n}$

\frac{1}{2} m + \frac{1}{4} (M - m)

$\frac{1}{2}m + \frac{1}{4}(M-m)$

m

$m$

x

$x$

y

$y$

x = 0^{a}

$x=0^a$

b = 1^{b}

$b=1^b$

l

$l$

max {a, b}

$\max\{a,b\}$

0^{a}

$0^a$

1^{b}

$1^b$

m

$m$

উত্তর:

সুতরাং প্রশ্নটি বেশ সংক্ষিপ্ত তবে খুব আকর্ষণীয়। আমি অনুমান করি যে ইনপুটটি আনারিতে , এবং এবং বাইনারি (বা আমাদের সমস্যা আছে, যেমন কাইয়ের উত্তর দ্বারা নির্দেশিত)। $n$ $x$ $y$

প্রথমত, যদি আপনি প্রায় অনুধাবন করতে আগ্রহী হন তবে আপনি কেবল কয়েকটি এলোমেলো ডিএফএ তৈরি করতে পারবেন এবং এটি আপনাকে (whp) একটি ভাল অনুমান হিসাবে দেবে। (আমি ভাবছি এই জটিলতা শ্রেণীর একটি নাম আছে কিনা।) $K(x,y)$

তারপরে যথাযথভাবে জানলে এটি একটি শক্ত সমস্যার মতো মনে হয়। A3_nm এবং Kaveh এর মন্তব্যে নির্দেশিত হিসাবে, প্রশ্নটি স্বয়ংক্রিয়তার সংখ্যা নির্ধারণের সমতুল্য যার জন্য এবং একই স্থানে যায়। আমি দ্বারা একই রাজ্যে যাওয়ার সম্ভাবনাটি চিহ্নিত করব । $K(x,y)$ $x$ $y$ $p$

আপডেট: আমি এখানে লিখিত কিছু জিনিস সত্য ছিল না, এখন আমি সেগুলি স্থির করেছি।

এটি দেখতে সহজ । আমাদের সমতা আছে, যদি সমস্ত 0 এর হয় এবং এর শেষ বিট ব্যতীত সমস্ত শূন্য হয়, যা 1 হয়। অন্য ক্ষেত্রে আছে কি? আমি জানি না। উদাহরণস্বরূপ, যদি খালি স্ট্রিং এবং , তারপর । $p \ge 1/n$ $x$ $y$ $x$ $y=00$ $p= \frac{n+1}{(n-1)n}$

সমস্যাটি সহজ করার জন্য, আমি এমনকি এবং একসাথে থাকলে কী হয় তা নিয়ে ভাবতে শুরু করি । যদি উভয়ই কমপক্ষে এবং তাদের পার্থক্য দ্বারা বিভাজ্য হয়, তারপর । অ্যানারি সংস্করণের কোনও সাধারণ সূত্র আছে কি? $x$ $y$ $n$ $n!$ $p=1$

— domotorp
সূত্র

আমি সমস্যাটি পরিষ্কার করে দিয়েছি - একটি অ্যালগরিদম পছন্দসই (বা কিছু পরিচিত হার্ড সমস্যা থেকে হ্রাস)। স্যাম্পলিংয়ের আনুমানিকতা কাগজে নিয়োগ করা হয় যেখানে এই কর্নেলটি প্রবর্তিত হয়েছে: portal.acm.org/citation.cfm?id=1577108

p o l y (n, | x |, | y |)

$poly(n,|x|,|y|)$

— আরেহ

অ্যানারি সংস্করণ হিসাবে: কেবলমাত্র বহু-বহুসংখ্যক -স্টেট রয়েছে, তাই আমি বাজি এই ক্ষেত্রে গণনা করার জন্য একটি বহু-কালীন অ্যালগরিদম রয়েছে ।

n

$n$

K_{n} (x, y)

$K_n(x,y)$

— আরেহ

প্রকৃতপক্ষে, আপনি একেবারেই ঠিক বলেছেন যে আনরি সংস্করণটি গণনাযোগ্য। আমি এখনও অবাক হয়েছি যে প্রদত্ত x এবং y এর জন্য সূত্রটি কতটা সহজ।

— ডোমোটরপ

আপনি যে হ্রাসটি ব্যবহার করেছেন তা বগি: x এবং y একই অটোমেটা দ্বারা গৃহীত হতে পারে এবং সম্পূর্ণ ভিন্ন রাজ্যে শেষ হতে পারে, বাস্তবে, তারা কেবল তাদের পথগুলিতে সূচনা করতে পারে যা সমস্ত স্ট্রিংয়ের ক্ষেত্রে সত্য।

— amnn

@ এমএনএন: আমি এটি লেখার পরে তিন বছর হয়ে গেছে, তবে আমার উত্তরের তৃতীয় অনুচ্ছেদে কী ব্যাখ্যা করা হচ্ছে না যে আমি কেন একই অবস্থাতেই শেষ করব?

— ডোমোটরপ

আমি পয়েন্টটি খুব ভালভাবে অনুপস্থিত হতে পারি তবে আপনি বলেছিলেন যে স্থির হয়েছে, সুতরাং সেই আকারের সমস্ত ডিএফএ প্রাক্পম্পিউটেড হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে এবং সহজেই সিমুলেটেবল ফর্ম্যাটে সংরক্ষণ করা যেতে পারে। নিম্নলিখিত হিসাবে গণনা : $n$ $K$

ইনপুট , যেখানে $x$ $y$ $x,y\in\Sigma^*$

স্টোর এবং $x$ $y$
আরম্ভ কাউন্টার করতে $c$ $0$
আপনার প্রতিটি ডিএফএ এর জন্য $n^{2n} 2^n$
ক। উভয় শব্দের উপর এটি অনুকরণ করুন (এই পদক্ষেপটি ) $\mathcal{O}(|xy|)$

খ। উভয় সিমুলেশন রান যদি গ্রহণ করে তবে ইনক্রিমেন্ট $c$
আউটপুট $c$

সামগ্রিকভাবে, গণনায় রৈখিক জটিলতা রয়েছে। উত্তরটি জন্য একেবারেই আলাদা । $K(n,x,y)$

— কাই
সূত্র

স্পষ্টত চেষ্টা করে সমস্ত মেশিন কাজ করবে। আরেহ জানতে চায় যে সম্ভবত আছে, একটি বহু-কালীন অ্যালগরিদম বা অন্যথায় কিছু দৃness়তার ফলস্বরূপ।

— লেভ রেইজিন

কড়া কথা বলতে গেলে ইনপুটটিতে বহুপদী সময় বলা হয়, যদি এন ইনপুটটির অংশ না হয়, তবে কাই বলছিলেন। তবে প্রশ্নটি স্পষ্টভাবে আলাদা।

— ডোমোটরপ

আচ্ছা বুঝলাম. "ফিক্স " এর অর্থ তিনি এটাই বোঝেন বলে আমি মনে করি না । আমি মনে করি যে সমস্যার প্রাকৃতিক ব্যাখ্যা এটি তুচ্ছ করে না is

n

$n$

— লেভ রেইজিন

ঠিক আছে, লুফোলটি দেখানোর জন্য ধন্যবাদ, কাই। এটি ঠিক করা হয়েছে :)

— আরেহ