ছোট সসীম ক্ষেত্রগুলির উপর দ্রুত সমঝোতা

Question

একটি ক্ষুদ্র ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য এর চক্রাকার সমঝোতার জন্য সর্বাধিক পরিচিত পদ্ধতিগুলি কী , যখন ? আমি বিশেষত ধ্রুব আকারের ক্ষেত্রগুলিতে বা এমনকি । সাধারণ অ্যাসিম্পোটিক-দক্ষতার বিবৃতি এবং উল্লেখগুলি অনেক প্রশংসা করা হয়।| এফ | । N এফ = এফ$n$$|\mathbb{F}| \ll n$$\mathbb{F} = \mathbb{F}_2$

পটভূমি: আসুন a ক্ষেত্র হতে দিন, এবং । আমরা দ্বারা স্থানাঙ্ক হিসাবে । n > 0 ইউ ∈ এফ এন জেড$\mathbb{F}$$n > 0$$u \in \mathbb{F}^n$$\mathbb{Z}_n$

(সাইক্লিক) সংবর্তন দৈর্ঘ্যের উপর রূপান্তর নিচ্ছে এবং outputting , দ্বারা সংজ্ঞায়িত ইনডেক্স গাণিতিক সহ ।এফ তোমার দর্শন লগ করা , বনাম ∈ এফ এন ইউ * বনাম ∈ এফ এন ( ইউ * বনাম ) আমি : = Σ ঞ ∈ জেড এন ভি ঞ তোমার দর্শন লগ করা আমি - ঞ , টু Z$n$$\mathbb{F}$$u, v \in \mathbb{F}^n$$u * v \in \mathbb{F}^n$

$$(u * v)_i := \sum_{j \in \mathbb{Z}_n} v_j u_{i - j},$$ $\mathbb{Z}_n$

বৃহত্তর ক্ষেত্রগুলিতে চক্রাকার সমাবর্তন সম্পাদন করার জন্য, একটি জনপ্রিয় পদ্ধতি হ'ল ডিস্ক্রিট ফিউরিয়ার ট্রান্সফর্ম (ডিএফটি) সম্পাদন এবং এফএফটি অ্যালগরিদম ব্যবহার করার ক্ষেত্রে আমাদের সমস্যা হ্রাস করার জন্য কনভলিউশন উপপাদ্যটি ব্যবহার করা।

ছোট সসীম ক্ষেত্রের জন্য, ডিএফটি অপরিজ্ঞাত করা হয়েছে কারণ unityক্যের কোনও প্রাথমিক- মূল নেই। একটি বৃহত্তর সসীম ক্ষেত্রের সমস্যা mbed এম্বেড করে যে কেউ এটি ঘিরে ফেলতে পারে তবে এটি পরিষ্কার নয় যে এটি এগিয়ে যাওয়ার সর্বোত্তম উপায় way এমনকি যদি আমরা এই রুটটি নিয়ে যাই তবে এটি জেনে ভালো লাগবে যে কেউ ইতিমধ্যে বিশদটি নিয়ে কাজ করেছে কিনা (উদাহরণস্বরূপ, কোন বৃহত ক্ষেত্রটি ব্যবহার করতে হবে এবং কোন এফএফটি অ্যালগরিদম প্রয়োগ করতে হবে) তা বেছে নেওয়া উচিত।$n$$^*$

যোগ করা হয়েছে:

$^*$ আমাদের কনভলিউশনটি 'এম্বেড' করার মাধ্যমে, আমি দুটি জিনিসের একটিকে বোঝাতে চাইছি। প্রথম বিকল্প: কেউ একটি এক্সটেনশন ক্ষেত্রে যেতে পারে যেখানে unityক্যের আকাঙ্ক্ষিত আদিম শিকড় সংযুক্ত থাকে এবং সেখানে সমঝোতা করতে পারে।

দ্বিতীয় বিকল্প: যদি আমাদের শুরু ক্ষেত্রটি চক্রীয় হয় তবে একটি চক্রাকার ক্ষেত্র larger বৃহত্তর বৈশিষ্ট্যটিতে যেতে পারে - এটি যথেষ্ট পরিমাণে যদি আমরা আমাদের ভেক্টরগুলিকে in পড়ে আছে বলে বিবেচনা করি , কোনও "মোড়ক" দেখা দেয় না। (আমি অনানুষ্ঠানিক হয়েছি, তবে কীভাবে উপর কোনও সমঝোতা গণনা করতে হবে সে সম্পর্কে কেবল চিন্তা করুন , আমরা পরিষ্কারভাবে just over এর উপর একই সমঝোতা করতে পারি , এবং তারপরে উত্তরগুলি মোড 2 নিতে পারি)) F p ′ F 2 $\mathbb{F}_{p'}$$\mathbb{F}_{p'}$
$\mathbb{F}_2$$\mathbb{Z}$

যোগ করা হয়েছে:

এফএফটি এবং সম্পর্কিত সমস্যাগুলির জন্য অনেক অ্যালগরিদম বিশেষত 'সুন্দর' মানগুলির জন্য ভাল কাজ করে (এবং আমি পরিস্থিতিটি আরও ভাল করে বুঝতে চাই)। $n$

তবে যদি কেউ এর বিশেষ মানগুলির সদ্ব্যবহার করার চেষ্টা না করে তবে চক্রাকার সমঝোতার সমস্যাটি মূলত সমান ( মধ্যে রৈখিক ব্লো-আপ জড়িত সহজ হ্রাস দ্বারা ) সাধারণ সমাবর্তনের সাথে সমান ; এটি পরিবর্তে সহগের সাথে সমান । $n$$n$$\mathbb{F}_p$

এই সমতার দ্বারা, কেউ ফলাফল ব্যবহার করতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, ভন জুর গাথেন এবং গার্ডার্ড (ক্যান্টোরের কাজ নিয়ে বিল্ডিং) এর এই কাগজ , যারা একটি সার্কিট জটিলতার সীমাবদ্ধ করতে একটি এক্সটেনশন-ফিল্ড পদ্ধতির ব্যবহার করে । তারা নির্দিষ্টভাবে আইএমও-তে তাদের সীমানা বর্ণনা করে না, তবে এই চেয়েও খারাপ even এমনকি । কেউ কি আরও ভাল করতে পারে?$\tilde{O}_p(n)$$n \cdot \log^2 n$$\mathbb{F}_2$

Comments

টড ম্যাটারের থিসিসে আপনি দরকারী কিছু খুঁজে পেতে পারেন ।

— jp

আমি ম্যাথওভারফ্লোতে স্বেচ্ছাসেবী সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রগুলির উপর ডিএফটি গণনার জন্য খুব অনুরূপ প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করেছি ; আপনি উত্তর প্রাসঙ্গিক খুঁজে পেতে পারেন।

— বিল ব্র্যাডলি

Answer 1

আলেক্সি পসপেলভের সাম্প্রতিক একটি গবেষণাপত্রে শিল্পের অবস্থা প্রমানিত হয়েছে। (আমি যে উদ্ধৃতিগুলি উদ্ধৃত করব তা অর্জন করা প্রথম নয়, তবে এটি স্বেচ্ছাসেবী ক্ষেত্রের জন্য একীভূতভাবে তাদের অর্জন করেছে এবং সমান গুরুত্বপূর্ণ, এটি সীমাটি পরিষ্কারভাবে জানিয়েছে, পৃষ্ঠা ৩ দেখুন।)

$\bullet$ আমরা যা করতে পারেন সংখ্যাবৃদ্ধি দুই degree- একটি অবাধ ক্ষেত্রের উপর polynomials এফ ব্যবহার হে ( ঢ লগ ইন করুন এন ) এফ হে ( ঢ লগ ইন করুন এন লগ ইন করুন লগ এন $n$$\mathbb{F}$$O(n \log n)$ মধ্যে multiplications এবং মধ্যে সংযোজন এফ । এই মূলত Schonhage-Strassen কারণে (গৃহস্থালির কাজ জন্য। ≠ 2 ) এবং গৃহস্থালির কাজ জন্য Schonhage। ২. যেমনটি আমি উল্লেখ করেছি, এটি চক্রীয় সমঝোতার জন্য একই সীমাটিকে বোঝায়। পসপেলভ আরও বলেছে, "আমরা বর্তমানে [উপরের] উপরের সীমানাযুক্ত এমন কোনও অ্যালগোরিদম সম্পর্কে অবগত নই যা ধারাবাহিক ডিএফটি অ্যাপ্লিকেশনগুলির উপর ভিত্তি করে না ..."$\mathbb{F}$$O(n \log n \log \log n)$$\mathbb{F}$$\neq 2$

ক্যান্টর এবং কাল্টোফেন এই ফলাফলগুলিকে সাধারণীকরণ করে, স্বেচ্ছাসেবীর বীজগণিত (কেবল ক্ষেত্র নয়) দেখায়।$\bullet$

তাহলে এফ বিচ্ছিন্ন ফুরিয়ার উপযুক্ত অর্ডার, যে, যদি এর ট্রান্সফর্ম সমর্থন এফ একটি আদিম হয়েছে$\bullet$$\mathbb{F}$$\mathbb{F}$$N$ ঐক্যের -th রুট যেখানে বৃহৎ যথেষ্ট (আমি বিশ্বাস করি এন = হে ( ঢ ) যথেষ্ট) এবং এন 2 অথবা 3 একটি শক্তি , তারপরে আমরা ও ( এন ) গুণন এবং ও ( এন লগ এন ) সংযোজনগুলির মাধ্যমে বহুবচন গুণ করতে পারি । অন্যান্য বিশেষ বৈশিষ্ট্যযুক্ত ক্ষেত্রগুলির জন্য বিভিন্ন অন্যান্য উন্নতি সম্ভব।$N$$N = O(n)$$N$$O(n)$$O(n \log n)$

এটি চূড়ান্ত বলে মনে হচ্ছে, তবে অজানা,সুনির্দিষ্ট ক্ষেত্রগুলি বলছে,ফুিউরেরপূর্ণসংখ্যার গুণমানের (ডি এট আল দ্বারা ভিন্ন উপায়েতিরস্কার করা)উন্নতিকিনা তা বহুগুণীয়বহুগুণ অ্যালগরিদমকে দ্রুততর করতে সাহায্য করতে পারে say কেউ মন্তব্য করতে পারেন?$\bullet$

টড ম্যাটারের থিসিসটি এফএফটি সাহিত্য এবং বহুত্ববৃত্তিক গুণ (অ্যাপ্লিকেশন জগ!) এর অ্যাপ্লিকেশনগুলি বোঝার জন্য একটি দুর্দান্ত উত্স বলে মনে হয়; তবে আপনি যা খুঁজছেন তা খুঁজতে আপনাকে আরও খনন করতে হবে।

Comments

আমি মনে করি আপনি ফিউর এবং ডি তে ঠিক আছেন। ডি এফএফটি-র জটিল সংস্করণ ব্যবহার করে না এবং প্রযুক্তিগতভাবে আরও সহজ বলে মনে হচ্ছে যদিও উভয় অ্যালগরিদম ধারণাগতভাবে একই রকম।

— বনাম

আপনি যদি লগ ফ্যাক্টরগুলি সম্পর্কে উদ্বিগ্ন হন তবে আপনাকে মেশিনের মডেল সম্পর্কে সতর্কতা অবলম্বন করা উচিত। ফুরারের সাম্প্রতিক উন্নতি বিশেষত টুরিং মেশিনগুলির জন্য। এক ইউনিট ব্যয় র‌্যাম মডেলের জন্য (এমনকি গুণ ছাড়াও ধ্রুবক সময় অনুসন্ধানের সাথে) আপনি বি এন প্যাকিং এবং ক্লাসিক কৌশলগুলি ব্যবহার করে দুটি এন বিট সংখ্যাগুলি এবং F_2 এর চেয়ে বহুগুণে কম সময়ে জটিলতার জন্য ও (এন) সময় পান।

— রাফেল