সিদ্ধান্ত গাছগুলি অনুকূলকরণের জন্য অ্যালগরিদম

Question

পটভূমি

একটি বাইনারি সিদ্ধান্ত গাছ $T$ একটি মূলযুক্ত গাছ যেখানে প্রতিটি অভ্যন্তরীণ নোড (এবং মূল) একটি সূচক দ্বারা লেবেলযুক্ত । । । , এন $j \in \{1,..., n\}$ যেমন যে গাছের পাতা রুট থেকে কোনো পথ একটি সূচক পুনরায় সৃষ্টি পাতায় আউটপুট দ্বারা লেবেলযুক্ত $\{A,B\}$ , এবং প্রতিটি প্রান্ত দ্বারা লেবেল করা $0$ বাম শিশু এবং জন্য $1$ ডান সন্তানের জন্য। ইনপুট একটি গাছ প্রয়োগ করতে $x$:

1. মূল থেকে শুরু করুন
2. আপনি যদি পাতায় থাকেন তবে আপনি পাতার লেবেল $A$ বা আউটপুট $B$এবং সমাপ্ত করবেন
3. আপনার বর্তমান নোডের লেবেল পড়ুন , যদি x j = 0 হয় তবে বাম সন্তানের দিকে যান এবং যদি x j = 1 হয় তবে ডান সন্তানের দিকে যান।$j$$x_j = 0$$x_j = 1$
4. পদক্ষেপে লাফ দিন (2)

গাছ, একটি উপায় ফাংশন নির্ণয় করা হিসাবে ব্যবহার করা হয় বিশেষ করে আমরা বলতে একটি গাছ মোট ফাংশন প্রতিনিধিত্ব করে চ প্রত্যেকের জন্য যদি এক্স ∈ { 0 , 1 } এন আমরা আছে টি ( X ) = চ ( এক্স ) । গাছের ক্যোয়ারী জটিলতা হ'ল তার গভীরতা এবং কোনও ফাংশনের ক্যোয়ারী জটিলতা হ'ল এটিই ক্ষুদ্রতম গাছের গভীরতা।$T$$f$$x \in \{0,1\}^n$$T(x) = f(x)$

---

সমস্যা

একটি বাইনারি সিদ্ধান্ত ট্রি টি দেওয়া হয়েছে আউটপুট একটি বাইনারি সিদ্ধান্ত গাছ টি 'ন্যূনতম গভীরতার যেমন টি এবং টি একই ফাংশনকে উপস্থাপন করে।

প্রশ্ন

এটির জন্য সর্বাধিক পরিচিত অ্যালগরিদম কী? কোন নিম্ন সীমানা জানা হয়? যদি আমরা জানি যে ? আমাদের যদি প্রায় ন্যূনতম গভীরতার জন্য টি -র প্রয়োজন হয় তবে কী হবে?$\text{depth}(T') = O(\log \text{depth}(T))$$T'$

---

নিষ্পাপ পদ্ধতির

সাদাসিধা পদ্ধতির দেওয়া হয় যাও recursively গভীরতা সব বাইনারি সিদ্ধান্ত গাছ গনা ঘ - 1 যদি তারা একই জিনিস মূল্যায়ন পরীক্ষা করার সময় টি । এটির জন্য হে ( ডি 2 এন এন) লাগবে $d = \text{depth}(T)$$d - 1$$T$পদক্ষেপ (ধরে নিচ্ছেন যেটি(এক্স)একটি নির্বিচারx এরজন্য মূল্যায়ন করেকিনা তা পরীক্ষা করতেdপদক্ষেপনেয়)। একটি ভাল পদ্ধতির আছে কি?$O(\frac{d 2^n n!}{(n - d)!})$$d$$T(x)$$x$

প্রেরণা

এই প্রশ্নটি ক্যোয়ারী জটিলতা এবং সময়ের জটিলতার মধ্যে বাণিজ্য বন্ধের আগের প্রশ্ন দ্বারা অনুপ্রাণিত হয় । বিশেষত, লক্ষ্যটি হ'ল মোট ফাংশনের জন্য সময় বিচ্ছেদকে আবদ্ধ করা। আমরা একটি গাছ করতে পারেন সময় অনুকূল আলগোরিদিম সঙ্গে রানটাইম থেকে টি এবং তারপর আমরা এটি একটি বৃক্ষ, রূপান্তর চাই টি ' একটি ক্যোয়ারী অনুকূল অ্যালগরিদম জন্য। দুর্ভাগ্যক্রমে, যদি t ∈ O ( n ! / ( N - d ) ! ) (এবং প্রায়শই d ∈ Θ ( n $T$$t$$T'$$t \in O(n!/(n - d)!)$$d \in \Theta(n)$) বাধা হ'ল রূপান্তর। আমরা প্রতিস্থাপন করতে পারে যদি এটা ভাল হবে ! / ( এন - ডি ) ! 2 ডি এর মতো কিছু দ্বারা ।$n!/(n - d)!$$2^d$

Comments

অনুকূল সিদ্ধান্ত গাছ সন্ধান করা এনপি-সম্পূর্ণ। আমাকে শিখানো হয়েছিল যে ডিসিশন তত্ত্ব এবং ডেটা মাইনিং ক্লাসগুলিতে, তবে সেগুলি নোটের উপর ভিত্তি করে ছিল এবং ফলাফলটি প্রবর্তিত মূল কাগজ সম্পর্কে আমি অবগত নই।

— চিজিসপ

@ চাজিসপ দুর্দান্ত, ধন্যবাদ আমার পক্ষে এটি সুস্পষ্ট নয় যে অনুকূল সিদ্ধান্ত গাছটি এনপি-তে রয়েছে, তবে আমি এটি সম্পর্কে আরও চিন্তা করব / এর জন্য আরও কিছু অনুসন্ধান করব। কখনও কখনও তাত্ত্বিক বিবৃতি জানা এটি প্রমাণ করার অর্ধেক পথ: ডি।

— আর্টেম কাজনাটচিভ

আমি মনে করি এর প্রথম দিকের রেফারেন্স হ'ল: সিদ্ধান্তের তালিকা এবং গাছগুলি শেখার উপর নিম্নতর সীমাগুলি। (। হানকোক এট 1994) cs.uwaterloo.ca/~mli/dl.ps

— লেভ Reyzin

অনুকূল সিদ্ধান্ত গাছটি এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা হ'ল প্রমাণটি লরেন্ট হায়াফিল এবং রোনাল্ড এল রিভেস্ট অনুকূল বাইনারি সিদ্ধান্ত গাছ তৈরির ক্ষেত্রে দিয়েছিলেন এনপি-সম্পূর্ণ (1976)। রেফারেন্স: এখানে

— এন্টোইন

Answer 1

আমার কাছে 3 টি উত্তর রয়েছে, যা কিছু আলাদা করে দেয় কঠোরতার ফলাফল।

আসুন $f: \{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$ কিছু ফাংশন হবে।

উত্তর 1

একটি সিদ্ধান্ত গাছ কম্পিউটিং এফ এবং একটি নম্বর দেওয়া, এটি NP- হার্ড যে সেখানে একটি সংখ্যা ট্রি T ′ কম্পিউটিং চ মাপের সর্বাধিক সংখ্যার আকারের আছে কিনা তা বলা শক্ত । $T$$f$$T'$$f$( জ্যান্তেমা এবং বোডেলার) '00 )

উত্তর 2

একটি সিদ্ধান্ত গাছ কম্পিউটিং এফ দেওয়া , কোনও ধ্রুবক ফ্যাক্টরের সাথে ক্ষুদ্রতম সিদ্ধান্ত গাছের কম্পিউটিং এফ অনুমান করা শক্তিশালী এনপি । $T$$f$$f$( সিলিং '08) )

উত্তর 3

যাক ক্ষুদ্রতম সিদ্ধান্ত গাছ কম্পিউটিং আকার হওয়া চ । একটি সিদ্ধান্ত গাছ দেওয়া টি কম্পিউটিং চ অভিমানী এন পি ⊊ ডি টি আমি এম ই ( 2 এন ε ) কিছু ε < 1 , এক একটি সমতুল্য সিদ্ধান্ত গাছ খুঁজে পাচ্ছি না টি ' আকারের গুলি ট কোন ট ≥ 0 ।$s$$f$$T$$f$$NP \subsetneq DTIME(2^{n^\epsilon})$$\epsilon < 1$$T'$$s^k$$k \ge 0$

আমি মনে করি যে এই দৃ answer় উত্তরটি (একটি দুর্বল অনুমানের উপর নির্ভর করে) নিম্নলিখিত বৃত্তের মাধ্যমে সিদ্ধান্ত গাছের জন্য ওসাম অ্যালগরিদমের শেখার তত্ত্বের জ্ঞাত ফলাফল থেকে তৈরি করা যেতে পারে :

1. N লগ- এর সময় অনুসারে ভেরিয়েবলের বিষয়ে সিদ্ধান্তের গাছটি পাওয়া কি সম্ভব , যেখানে গুলি হল বিতরণ (পিএসি মডেল) এর উদাহরণগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ ক্ষুদ্রতম সিদ্ধান্ত গাছ। ( ব্লাম '92 ) $n$$n^{\log s}$$s$
2. ধরে নেওয়া যাক কিছু ε < 1 , আমরা পিএসি আকার শিখতে পারি গুলি সিদ্ধান্ত গাছ আকার দ্বারা গুলি ট কোন সিদ্ধান্ত গাছ ট ≥ 0 । ( আলেখনোভিচ এট আল .07 )$NP \subsetneq DTIME(2^{n^\epsilon})$$\epsilon < 1$$s$$s^k$$k \ge 0$

এই দুটি ফলাফল আপনার সমস্যার জন্য কঠোরতার ফলাফলকে বোঝায়। একদিকে (1), আমরা একটি বড় সিদ্ধান্ত গাছ খুঁজে পেতে পারি; অন্যদিকে (2) উপর, আমরা আকারের, একটি সমতুল্য "ছোট" এক পেতে এটাকে কমানোর জন্য সক্ষম হবে না , এমনকি যখন এক সাইজ বিদ্যমান গুলি ।$s^k$$s$

Comments

(আমি এই উত্তরটি থেকে আপনার উত্তর পেয়েছি , যা এক ঘন্টারও কম সময় আগে পোস্ট করা হয়েছিল))$\:$এটা তোলে মত "দেখায় " "পজিটিভ সঙ্গে প্রতিস্থাপিত হতে পারে ε , যেহেতু কমে ε সংবরণ এর ডানদিকের সাইড তোলে ছোট ।$\epsilon < 1$$\epsilon$$\epsilon$$\:$ এছাড়াও, সেই কাগজে কোথায় 2 দেখানো হয়েছে? $\;\;\;\;$

এখানে বিমূর্তির বুলেট পয়েন্ট # 2 দেখুন:

— গবেষক.ওয়াটসন.আইবিএম.com

(রিকি ডেমার হিসাবে একই উত্তর থেকে আসা) আপনি কীভাবে আরও 1 টি পয়েন্ট 1 এবং 2 থেকে "উত্তর 3" পাবেন তা আরও বিশদভাবে জানাতে পারেন? আমি শেখার তত্ত্বের সাথে খুব বেশি পরিচিত নই এবং অংশগুলি সংযোগ করতে খুব কঠিন সময়

— মার্ক

এই ধারাবাহিকতা সমস্যা এবং শেখার ক্ষমতা ওসামের রেজারের সাথে খুব ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত। ধারণাটিটি হ'ল যদি আপনি একটি ছোট সেট থেকে ধারাবাহিক ফাংশনটি খুঁজে পান তবে আপনি পিএসি শেখার ক্ষেত্রে সাফল্য অর্জন করতে পারেন। সুতরাং শেখার ফলাফলের কঠোরতা "ধারাবাহিকতার কঠোরতা" ফলাফলকে বোঝায়। আমি কোনও মন্তব্যে আরও কতটা ব্যাখ্যা করতে পারি তা নিশ্চিত নই ...

— লেভ রেইজিন

যতদূর আমি এটা বুঝি, অ্যালগরিদম 1. জন্য evoked সময় চলে না হিসাবে যা প্রবন্ধে 2. (সুনির্দিষ্ট ফলাফল নিয়ে একটি অসঙ্গতি পেতে প্রয়োজনীয় হবে যদি আমি এটি সঠিকভাবে পেয়েছিলাম বলে যে সিদ্ধান্তের গাছগুলির জন্য কোনও পলটাইম শেখার অ্যালগরিদম নেই)। সুতরাং আপনার যুক্তি নিয়ে কোনও সমস্যা হতে পারে। $Poly(n,s)$

— মার্ক