যার সংকোচনে গ্রাফের আরাক্সের সংখ্যা হ্রাস করে এমন একটি মিল খুঁজে পাওয়া

একটি মিশ্র গ্রাফ দেওয়া সঙ্গে প্রান্ত এবং পরিধির মধ্যে , একটি ম্যাচিং খুঁজে যে ছোট মধ্যে পরিধির মধ্যে সংখ্যা , যেখানে থেকে প্রাপ্ত হয় মিলেছে ছেদচিহ্ন চুক্তিবদ্ধ করেছে এবং সরিয়েছে দ্বারা সমান্তরাল আরকস $G=(V,E,A)$ $E$ $A$ $E$ $G/M$ $G/M$ $G$

(সিদ্ধান্তের সংস্করণ) এই সমস্যাটি কি এনপি-সম্পূর্ণ? এটি কি সাহিত্যে অধ্যয়ন করা হয়েছে?

cc.complexity-theory reference-request graph-theory

— মার্কাস রিট
সূত্র

আপনার কাছে আরকস রয়েছে কি না তা বিবেচ্য নয়?

— সুরেশ ভেঙ্কট

@ সুরেশ: আসলে না,

কে পুনর্নির্দেশ দেওয়া

A

$A$ যেতে পারে। মুল বক্তব্যটি হ'ল এক প্রান্তটি নির্ধারণ করে যে কোনটি শীর্ষে মিলে যায় এবং মিলটি অন্য প্রান্তে সংকোচনের পরে প্রান্তটি সংখ্যা হ্রাস করে।

— মার্কাস রিট

আহ, ঠিক আছে. সুতরাং সত্যই প্রশ্নটি সহজতর করা যেতে পারে কেবল একটি অনির্দেশিত গ্রাফ জি, দুটি সেট ই এবং এ ছাড়াই

— সুরেশ ভেঙ্কট

আমি নিশ্চিত নই. যখন প্রান্তগুলি পুনঃনির্দেশিত হয়, তখন আমরা প্রতিটি প্রান্ত দুটি করে নির্দেশক দ্বারা প্রতিস্থাপন করে নির্দেশিত ক্ষেত্রে সমস্যাটি হ্রাস করতে পারি; তবে নির্দেশিত ক্ষেত্রে, সংকোচন হওয়ার পরে আর্কগুলির সংখ্যা তাদের দিকের উপর নির্ভর করে, যেহেতু একই উল্লম্বের মধ্যে দুটি আরাক সমান্তরাল হওয়া প্রয়োজন না। সুতরাং সহজভাবে আরাক্সের দিকটি উপেক্ষা করে অনুকূল মেলাই আলাদা হতে পারে।

— মার্কাস রিট

আপনার অভিপ্রায় মধ্যে undirected প্রান্ত করার অনুমতি হলে আমি জানি না ই এবং পরিধির মধ্যে একটি সমান্তরাল বা না হতে, কিন্তু এটা শেষ কোন ব্যাপার না। এই উত্তরে, আমরা ধরে নিই যে আপনি প্রান্ত এবং আরকগুলি সমান্তরাল হতে দেবেন না।

একটি বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন যেখানে এ , এ-এর প্রতিটি চাপের জন্য বিপরীত দিকটিতেও চাপ থাকে। এই ক্ষেত্রে, আমরা তোরণগুলির অগ্রযাত্রাকে অগ্রাহ্য করতে এবং সেগুলি পুনঃনির্দেশিত বলে বিবেচনা করতে পারি। আমরা E কালো প্রান্তে প্রান্তগুলি এবং একটি লাল প্রান্তে প্রান্তগুলি বলি ।

এমনকি এই দুটি বিধিনিষেধের অধীনে, সমস্যাটি ম্যাক্স -2 এসএটি থেকে হ্রাস করে এনপি-সম্পূর্ণ। যাক φ একটি 2CNF সূত্র হতে এন ভেরিয়েবল সঙ্গে মি ক্লজ। 3 এন উল্লম্ব সহ একটি গ্রাফ জি তৈরি করুন । জি আছে 2 $x_1,\dots,x_n$ $v_1,\dots,v_n,x_1,\dots,x_n,\bar{x}_1,\dots,\bar{x}_n$ এন কালো প্রান্ত: এবং জন্য আমি = 1, ..., এন । জি এর লাল প্রান্ত রয়েছে। প্রথমত, কানেক্ট এবং জন্য আমি ≠ ঞ একটি লাল প্রান্ত দ্বারা। এরপরে, প্রতিটি স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলের জন্য এবং , চার জোড়া বিবেচনা করুন । আক্ষরিক সংযুক্ত করুন $(v_i,x_i)$ $(v_i,\bar{x}_i)$ $5\binom{n}{2}-m$ $v_i$ $v_j$ $x_i$ $x_j$ $(l,l')=(x_i,x_j),(x_i,\bar{x}_j),(\bar{x}_i,x_j),(\bar{x}_i,\bar{x}_j)$ $l$ এবং একটি লাল প্রান্ত দ্বারা যদি এবং কেবল যদি দফা মধ্যে প্রদর্শিত হবে না φ । $l'$ $(\bar{l}\vee\bar{l}')$

এটি স্পষ্ট যে সংকোচনের পরে লাল প্রান্তের সংখ্যা হ্রাস করার জন্য আমাদের কেবল কালো প্রান্তগুলিতে সর্বাধিক মিলগুলি বিবেচনা করতে হবে। এছাড়া স্পষ্ট যে প্রতি সর্বোচ্চ মেলা এম কালো প্রান্ত মধ্যে নিয়ে গঠিত এন সংযোগ প্রান্ত করার জন্য আমি = 1, ..., এন । এই সর্বোচ্চ ম্যাচিং সনাক্ত এম সত্য নিয়োগ দিয়ে । এম এর সাথে চুক্তি করার পরে এবং সমান্তরাল প্রান্তগুলি সরিয়ে নেওয়ার পরে , গ্রাফের ঠিক k লাল প্রান্ত রয়েছে, যা কে $v_i$ $l_i\in\{x_i,\bar{x}_i\}$ $\{l_1,\dots,l_n\}$ $4\binom{n}{2}-k$ এই সত্য কার্যনির্বাহী দ্বারা সন্তুষ্ট নম্বরগুলির সংখ্যা। সুতরাং, কালো প্রান্তগুলিতে একটি মিলের চুক্তি করার পরে লাল প্রান্তের সংখ্যা হ্রাস করা সন্তুষ্ট ধারাগুলির সংখ্যা সর্বাধিক করার সমতুল্য।

— সোসোশি ইতো
সূত্র

ধন্যবাদ! (টাইপো: ধারাটি হওয়া উচিত ))

(\bar{l} \lor \bar{l^{'}})

$(\bar{l}\lor\bar{l'})$

— মার্কাস রিট

@ মার্কাস: আপনাকে স্বাগত জানাই, টাইপটিকে নির্দেশ করার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ।

— সোসোশি ইতো