চেরনফ বাউন্ডের একটি এক্সটেনশন

Question

চেরনফের নিম্নোক্ত সম্প্রসারণের জন্য আমি একটি রেফারেন্স (একটি প্রমাণ নয়, যা আমি করতে পারি) সন্ধান করছি।

যাক $X_1,..,X_n$ বুলিয়ান র্যান্ডম ভেরিয়েবল হতে হবে, অগত্যা স্বতন্ত্র নয় । পরিবর্তে, এটি গ্যারান্টিযুক্ত যে $Pr(X_i=1|C)<p$ প্রতিটি $i$ এবং প্রতিটি ইভেন্ট $C$ কেবলমাত্র $\{X_j|j\neq i\}$ ।

$\Pr\left(\sum_{i\in[n]}X_i>(1+\lambda)np\right)$

আগাম ধন্যবাদ!

Answer 1

আপনি যা চান তা সাধারণীকরণযোগ্য , যা কেবলমাত্র পরিবর্তনযোগ্য সূচকগুলির কোনও উপসেট এস এর জন্য হিসাবে গ্রহণ করে। পরেরটি আপনার অনুমান থেকে অনুসরণ করে, যেহেতু , q লেক ইম্পাগলিয়াজো এবং কাবানেটস সম্প্রতি চেরনফের আবদ্ধ হওয়ার সাধারণ প্রমাণ সহ একটি বিকল্প প্রমাণ দিয়েছেন। তাদের কাগজে আপনি পূর্ববর্তী কাজের সমস্ত উপযুক্ত রেফারেন্স খুঁজে পেতে পারেন: http://www.cs.sfu.ca/~kabanets/papers/RANDOM2010.pdfএস = { i 1 , … , আই | এস | } পি ( ⋀ i ∈ এস এক্স আই ) = পি ( এক্স আই 1 = 1 ) পি ( এক্স আই 2 = 1 | এক্স আই 1 = 1 ) ⋯ $P(\bigwedge_{i\in S} X_{i}) \leq p^{|S|}$$S=\{i_1,\ldots,i_{|S|}\}$

$$P(\bigwedge_{i\in S} X_{i}) = P(X_{i_1} = 1)P(X_{i_2}=1|X_{i_1}=1)\cdots P(X_{i_{|S|}}=1|X_{i_1},...,X_{i_{|S|-1}}=1)\leq p^{|S|}$$

Comments

স্পষ্টতার জন্য ধন্যবাদ! আসলে, তাদের অবস্থা আমার যা আছে তা এবং নেতিবাচক পারস্পরিক সম্পর্ক দ্বারা উভয়ই জড়িত। সুতরাং, এটি প্রকৃতপক্ষে গুণগত দিক থেকে শক্তিশালী (ভ্যালেন্টাইনের কথা শুনে আমি কোনওভাবেই সেই বিন্দুটি মিস করেছি)। এখন আমার যা প্রয়োজন তার প্রমাণটি এত সংক্ষিপ্ত হয়ে যায়, যে আমি উত্তর দিয়ে আমার প্রশ্নটিকে আনন্দের সাথে চিহ্নিত করলাম, অনেক ধন্যবাদ !!

— কৌতুহল

আপনার ক্ষেত্রে, আপনি কেবল আপনার ভেরিয়েবলগুলির বাইরে একটি উপ-মার্টিংগেল তৈরি করতে পারেন এবং একই প্রভাবের জন্য শাস্ত্রীয় আজুমার অসমতা ব্যবহার করতে পারেন। এটি কাজ করার জন্য আপনার কেবল যা আপনার অনুমান দ্বারা বোঝানো হয়েছে। $Pr[X_i=1|X_1, \ldots, X_{i-1}] < p$

— এমসিএইচ

Answer 2

সাহিত্যে আমি যে নিকটতম বিষয়গুলি সম্পর্কে অবগত রয়েছি তা হ'ল চেরনফের নেতিবাচকভাবে সম্পর্কযুক্ত র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলির সীমাবদ্ধকরণ, উদাহরণস্বরূপ এটি বা এটি দেখুন । সাধারণত, conditionণাত্মক পারস্পরিক সম্পর্ক ছাড়াই আপনার অবস্থা সন্তুষ্ট হতে পারে, তবে ধারণাটি একই।

আপনার সাধারণীকরণ প্রমাণ করা কঠিন না কারণ এটি হতে পারে যে কেউ এটিকে লেখার বিরক্ত করেনি othe

Comments

আপনি ঠিক বলেছেন, এটি আমার কাছে সবচেয়ে কাছের ছিল ("কনসেন্টেশন ... ... অ্যালগরিদমের বিশ্লেষণের জন্য")। বিষয়টি হ'ল আমার পাণ্ডুলিপিটি খুব দীর্ঘ হয়ে যাচ্ছে, আমি যদি সম্ভব হয় তবে আর একটি স্পিন অফ এড়াতে পছন্দ করব। যদি তা না হয় তবে আমার আর কোনও উপায় থাকবে না ...

— কৌতুহল

এই জন্য পরিশিষ্টগুলি :)

— লেভ রেইজিন

ওহে, বন্ধুরা, এটি আগে প্রমাণিত হয়েছিল, এবং আমি আমার উত্তরে একটি রেফারেন্স দিয়েছিলাম (যেখানে আপনি অন্যান্য সমস্ত প্রাসঙ্গিক রেফারেন্সও খুঁজে পেতে পারেন)।

— ডানা মোশকভিত্জ

উফ - দুর্দান্ত আমি কোনওভাবে আপনার উত্তর লক্ষ্য করিনি!

— লেভ Reyzin

Answer 3

বি ডোরের লেমমা ১.১৯ এর বিকল্প রেফারেন্স হতে পারে, র্যান্ডমাইজড অনুসন্ধানের হিউরিস্টিক বিশ্লেষণ করে: সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সরঞ্জামগুলি, র্যান্ডমাইজড সার্চ হিউরিস্টিক্সের থিওরি (এ। অ্যাগার এবং বি। ডোর, এডিএস), ওয়ার্ল্ড সায়েন্টিফিক পাবলিশিং, ২০১১, পৃষ্ঠা -৩- 20।

সহজ কথায়, এটা শো যে যখন সম্ভাব্যতা সঙ্গে কোন ব্যাপার কি আপনি শর্ত উপর, তারপর সন্তুষ্ট সব Chernoff-Hoeffding সীমা যে স্বাধীন জন্য বৈধ বাইনারি র্যান্ডম ভেরিয়েবলগুলি সাফল্যের সম্ভাব্যতা যথাক্রমে। প্রমাণটি প্রাথমিক এবং ফলাফলটি প্রাকৃতিক, সুতরাং আমি অনুমান করি যে এটি লেখার প্রয়োজন কেউ অনুভব করেনি।পি আই এক্স 1 , … , এক্স আই - 1 এক্স 1 , … , এক্স এন ওয়াই 1 , … , ওয়াই এন পি 1 , … , পি $X_i=1$$p_i$$X_1, \dots, X_{i-1}$$X_1, \ldots, X_n$$Y_1, \ldots, Y_n$$p_1, \ldots, p_n$