অনন্য স্ট্যান্ড-সংযোগের জটিলতা

আমি জানতে চাই যে নিম্নলিখিত সমস্যার ( ) এ সিদ্ধান্ত নেওয়া যেতে পারে : $\mathsf{NL}$

একটি নির্দেশ গ্রাফ দেওয়া সঙ্গে দুই বিশিষ্ট ছেদচিহ্ন এবং , সেখানে একটি হল অনন্য থেকে পাথ করার মধ্যে ? $G$ $s$ $t$ $s$ $t$ $G$

আমি মনে করি এটি সম্ভবত হতে হয় যেহেতু আমরা সিদ্ধান্ত নিতে পারেন উভয় যদি একটি হয় - -path এবং যদি এমন কোন পথ। তবুও, এই জাতীয় পাথের সংখ্যা গণনা করা হচ্ছে -হার্ড (ভ্যালেন্ট, 1979)। $\mathsf{NL}$ $s$ $t$ $\mathsf{\sharp P}$

সুতরাং আমার প্রশ্নগুলি: আপনার কি এ সম্পর্কে উল্লেখ রয়েছে? এটা কি পরিষ্কার যে এটি ? নাকি এটি ? $\mathsf{NL}$ $\mathsf{NL}$

reference-request graph-theory

— ব্রুনো
সূত্র

আপনি কি সহজ পাথ বোঝাচ্ছেন? এই প্রসঙ্গে পরিষ্কার নয় Not

— ল্যান্স ফোর্টনও

ভাল বক্তব্য, আমি বলতে চাই সহজ পাথ সত্যই।

— ব্রুনো

দেখে মনে হচ্ছে আপনার সমস্যা । এখানে একটি অ্যালগরিদম রয়েছে। $NL$

প্রথমত, নির্বিঘ্নে থেকে একটি পথ অনুমান করুন । আপনি যদি ভুলভাবে অনুমান করেন তবে প্রত্যাখ্যান করুন । এই অ্যালগরিদম কল করুন । $s$ $t$ $A$

নিম্নলিখিত ননডিটারিস্টিক অ্যালগরিদম বিবেচনা করুন , যা নির্ধারণ করে যে সেখানে কমপক্ষে দুটি পথ রয়েছে কিনা। গ্রাফ এবং প্রদত্ত , এর স্বতন্ত্র প্রান্ত সব বিদ্যমান জোড়া জন্য , থেকে একটি পাথ অনুমান করার যে অন্তর্ভুক্ত কিন্তু , তারপর থেকে একটি পাথ অনুমান করার যে অন্তর্ভুক্ত কিন্তু । অনুমানগুলি সঠিক হলে গ্রহণ করুন । কোন গ্রহণযোগ্যতা সব পছন্দ জন্য পরিস্থিতিতে এবং , প্রত্যাখ্যান । দ্রষ্টব্য $B$ $s,t$ $e,f$ $s$ $t$ $e$ $f$ $s$ $t$ $f$ $e$ $e$ $f$ $B$ ননডিটারনিস্টিক লগস্পেসে প্রয়োগযোগ্য।

এখন, সেট এর সেট - থেকে অন্তত দুই পাথ সঙ্গে গ্রাফ করার । কারণ , সম্পূরক রয়েছেন , অর্থাত্, আমরা যদি নির্ধারণ করতে পারেন এবং আছে কম দুই পথ, nondeterministic logspace হবে। $L(B)$ $s$ $t$ $s$ $t$ $NL = coNL$ $B$ $NL$ $s$ $t$

চূড়ান্ত অ্যালগরিদমটি হ'ল: "চালান । যদি গ্রহণ করে, তবে এর পরিপূরক চালান এবং তার উত্তর আউটপুট দিন" " $A$ $A$ $B$

আমি কোন রেফারেন্স জানি না।

আপডেট: আপনি যদি সত্যিই কোনও রেফারেন্স চান তবে এই কাগজের 3 নং অনুচ্ছেদে প্রথম অনুচ্ছেদটি দেখুন । তবে সম্ভবত এই অনেকগুলি রেফারেন্সের মধ্যে একটিই এই পরিণতির উদ্ধৃতি দেয়। কোনও কাগজের উল্লেখ করার পরিবর্তে ফলাফলটিকে "লোককাহিনী" বলা আরও যুক্তিসঙ্গত হবে।

আপডেট 2: আসুন ধরুন আপনি কোনও অনন্য সরল পথ আছে কিনা তা নির্ধারণ করতে চান। সেক্ষেত্রে অ্যালগরিদম পরিবর্তন করতে হবে না: যদি কোনও পথ থাকে তবে সরল পথ রয়েছে। আমি বিশ্বাস করি যে নিম্নলিখিত পরিবর্তনগুলি অ্যালগরিদম জন্য কাজ করবে । $A$ $B$

আমরা অ্যালগরিদম পুনরায় লিখতে চাই যাতে কমপক্ষে দুটি সহজ পাথ থাকে তবে এটি এটি গ্রহণ করে। $B$

সমস্যার জন্য প্রথমে নিম্নলিখিত বহু-কালীন অ্যালগরিদম বিবেচনা করুন। একটি সংক্ষিপ্ত পথ খুঁজুন থেকে করার । প্রত্যেক প্রান্ত মধ্যে , চেক যদি সেখানে হয় অন্য - পথ যা মধ্য দিয়ে যেতে না । যদি এমন কোনও পথ খুঁজে পান তবে গ্রহণ করুন । যদি আপনি আর কোনও পথ না পান তবে প্রত্যাখ্যান করুন । কারণ সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত, এটির একটি চক্র নেই, এবং যদি অন্য কোনও পথ থাকে যা কিছু প্রান্ত ব্যবহার করে না , তবে অন্য পথ রয়েছে যা সহজ এবং কিছু প্রান্ত ব্যবহার করে না $P$ $s$ $t$ $e$ $P$ $s$ $t$ $e$ $P$ $P$ $P$ । (এই অ্যালগরিদমটি "দ্বিতীয় সংক্ষিপ্ততম পাথ" সমস্যার জন্য ব্যবহৃত হয়))

আমরা এ এই অ্যালগরিদম বাস্তবায়ন করব । আমরা যদি একটি ছিল প্রান্ত অনুসন্ধানের জন্য অ্যালগরিদম একটি নির্দিষ্ট পাথ , আমরা nondeterministic logspace উপরে বাস্তবায়ন পারে: মাধ্যমে প্রান্ত iterating মধ্যে , একটি অনুমান - পাথ এবং চেক করুন যে বরাবর পরিদর্শন প্রত্যেক প্রান্ত জন্য উপায়, তাদের কোনটিই সমান । $NL$ $NL$ $e$ $P$ $e$ $P$ $s$ $t$ $e$

সুতরাং আমাদের যা দরকার তা হল "পাথ ওরাকল", সম্পত্তি সহ একটি অ্যালগরিদম: প্রদত্ত প্রতিটি গতিপথের অ্যালগরিদম হয় নির্দিষ্ট নির্দিষ্ট - পাথের উপর তীর প্রান্তটি রিপোর্ট করে , বা প্রত্যাখ্যান । অভিধানের প্রথম পাথটিকে আলাদা করতে আমরা ব্যবহার করে একটি পাথ ওরাকল পেতে পারি le $NL$ $i=1,\ldots,n$ $i$ $s$ $t$ $NL=coNL$

এখানে পথের ওরাকেলের একটি স্কেচ দেওয়া আছে।

এই থেকে সবচেয়ে কম পথের দৈর্ঘ্য করার , চেষ্টা করে সব এবং ব্যবহার । $k$ $s$ $t$ $k=1,\ldots,n$ $NL=coNL$

ভেরিয়েবলগুলি সেট করুন , , । $u:=s$ $x:=1$ $j:=k$

আপনার প্রতিবেশী কাছে কাছে অভিধানের ক্রমে, $v$ $u$

নির্ধারণ হোক বা না হোক সেখান থেকে একটি পথ করার দৈর্ঘ্যের (ফলাফলের ব্যবহার )। আরও স্পষ্টভাবে, - সংযোগের জন্য দৈর্ঘ্য জন্য অবিচ্ছিন্ন অ্যালগরিদম এবং পরিপূরক জন্য একযোগে অ্যালগরিদম চালান । যখন তাদের কেউ গ্রহণ করে, তার উত্তরটি দিয়ে যান (এটি অবশ্যই সঠিক হতে হবে; উভয়ই গ্রহণ করতে পারে না)। যদি উভয়ই প্রত্যাখ্যান করে তবে প্রত্যাখ্যান করুন । $v$ $t$ $j-1$ $NL=coNL$ $s$ $t$ $j-1$

যদি কোনও পথ না থাকে তবে পরবর্তী প্রতিবেশীর দিকে এগিয়ে যান। আপনি যদি সমস্ত প্রতিবেশী ক্লান্ত হয়ে পড়ে থাকেন তবে প্রত্যাখ্যান করুন ।

যদি একটি পাথ, তারপর যদি , আউটপুট যেমন তম থেকে পথে প্রান্ত করার । অন্যথায় ইনক্রিমেন্ট , হ্রাস , সেট করুন এবং হলে আবার লুপ শুরু করুন । $x=i$ $(u,v)$ $i$ $s$ $t$ $x$ $j$ $u := v$ $v \neq t$

যদি আউটপুট পৌঁছানোর পরে খারাপ হয় (প্রদত্ত খুব বড় ছিল)। $x < i$ $t$ $i$ $i$

প্রদত্ত , এই অ্যালগরিদম পারেন আউটপুট lexicographically সবচেয়ে কম পথে তম প্রান্ত থেকে করার , অথবা প্রত্যাখ্যান করে। $i$ $i$ $P$ $s$ $t$

— রায়ান উইলিয়ামস
সূত্র

আমি অনুরূপ কিছু ভেবেছিলাম তবে এটি লিনিয়ার স্পেস ব্যবহার করে। আপনার উত্তরের জন্য ধন্যবাদ!

— ব্রুনো

আমি সত্যিই এটি লোককাহিনী সম্মত। এটি

স্তরক্রমের পতনের তাত্ক্ষণিক পরিণতি । এছাড়াও, # পি-সম্পূর্ণরূপে গণনা সমস্যা। এটি # এল-এ রয়েছে, যা পরিবর্তিতভাবে

N L

$NL$

N C^{2}

$NC^2$

— ভি বিনয়

হ্যাঁ, আমি উপরে যেমন বলেছি, অ্যালগরিদম চক্র সহ সরল পথ এবং পাথের মধ্যে পার্থক্য করে না।

— রায়ান উইলিয়ামস

@ ভি বিনয়: এই গবেষণাপত্রে লেখকরা ভ্যালেন্টের কাগজকে সমস্যার

জটিলতা প্রমাণ করার হিসাবে

এবং নির্ভরযোগ্যতার সমস্যার জটিলতা উল্লেখ করেছেন । আমি স্রেফ ভ্যালিয়েন্টের কাগজে যাচাই করেছিলাম এবং এটি সমস্যা 14 (p414)। আমি কি কিছু ভুল বুঝছি? হতে পারে আপনি অ-সরল পথগুলি সম্পর্কে কথা বলেছিলেন, এবং এই ক্ষেত্রে জটিলতা নাটকীয়ভাবে পরিবর্তিত হয়েছে? ধন্যবাদ!

♯ P

$\sharp\mathsf P$

— ব্রুনো

বিটিডব্লিউ, অ্যালেন্ডার এবং ল্যাঞ্জের মন্তব্য সরাসরি উপসংহারে যথেষ্ট।

— ব্রুনো