সর্বনিম্ন বিন্দু পণ্য প্রশ্নের জন্য একটি ডেটা কাঠামো

$\mathbb{R}^n$ $\langle \cdot, \cdot \rangle$ $m$ $v_1, v_2, \ldots, v_m$ $x \in \mathbb{R}^n$ $\min_i \langle x, v_i \rangle$ $O(nm)$ $n = 2$ $O(\log^2 m)$

কেবলমাত্র আমি যে জিনিসটি সামনে আসতে পারছি তা হল নীচে। জনসন-লিন্ডেনস্ট্রাস লিমার তাৎক্ষণিক পরিণতি হ'ল প্রতি এবং একটি বিতরণ উপর রৈখিক ম্যাপিং (যা সময়ে মূল্যায়ন করা যায় ) যেমন । সুতরাং, সময়ের মধ্যে আমরা গণনা করতে পারি $\varepsilon > 0$ $\mathcal{D}$ $\mathbb{R}^n$ $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{O(\log m)}$ $O(n \log m)$ $\mathrm{Pr}_{x \sim \mathcal{D}}\left[\forall i \quad \langle x, v_i \rangle - \varepsilon (\|x\| + \|v_i\|)^2 \leq \langle f(x), f(v_i)\rangle \leq \langle x, v_i \rangle + \varepsilon (\|x\| + \|v_i\|)^2 \right] \geq 1 - \varepsilon$ $O((n + m) \log m)$ এমন কিছু যা কিছু অর্থে $\min_i \langle x, v_i \rangle$ সর্বাধিক $x$ এর জন্য (কমপক্ষে যদি নিয়মগুলি $\|x\|$ এবং $\|v_i\|$ ছোট হয়) হয়

ইউপিডি যদি আমরা লোকালটি-সংবেদনশীল হ্যাশিং ব্যবহার করি তবে উপরের বর্ণনাকারী সীমাটি কোয়েরি টাইম থেকে কিছুটা তীক্ষ্ণ করা যেতে পারে $O(n + m)$ । আরও স্পষ্টভাবে, আমরা $k := O(\frac{1}{\varepsilon^2})$ স্বতন্ত্র গাউসিয়ান ভেক্টরগুলি $r_1, r_2, \ldots, r_k$ । তারপরে আমরা মানচিত্রটি $\mathbb{R}^n$ থেকে $\{0,1\}^k$ follows কে নিম্নরূপে : $v \mapsto (\langle r_1, v \rangle \geq 0, \langle r_2, v \rangle \geq 0, \ldots, \langle r_k, v \rangle \geq 0)$ । তারপর আমরা একটি যুত ত্রুটি থাকা দুটি ভেক্টর মধ্যে কোণ অনুমান করতে পারেন $\varepsilon$ কম্পিউটিং দ্বারা $\ell_1$ এই ম্যাপিং ছবিতে -distance। সুতরাং, আমরা একটি অ্যাডিটিভ ত্রুটির মধ্যে ডট পণ্যগুলি অনুমান করতে পারি $\varepsilon \|x\| \|v_i\|$ মধ্যে সময়। $O(\frac{1}{\varepsilon^2})$

— ilyaraz
সূত্র

এটি কাজ করে বা সহায়তা করে কিনা আমি নিশ্চিত নই তবে আপনার সমস্যাটি (সর্বাধিকীকরণে রূপান্তরিত করতে v_i এর চিহ্ন স্যুইচ করার পরে) ভোরোনাই চিত্রের সাথে সম্পর্কিত বলে মনে হচ্ছে। এই সমস্যাটিতে ভোরোনাই ডায়াগ্রামের জন্য অ্যালগরিদমগুলি সংশোধন করা সম্ভব হতে পারে তবে এটি সম্ভব হলেও এটি কেবল ছোট এন এর পক্ষে সম্ভবত কার্যকর useful

— সোসোশি ইটো

আমি জানি না এটি একই পর্যবেক্ষণ কিনা ... সমস্ত একক ভেক্টরকে স্বাভাবিক করা যেতে পারে এবং ফলাফল পরিবর্তন করে না, আমরা উত্সকে কেন্দ্র করে ইউনিট এন-কিউবে সবকিছু করতে পারি। ঘনক্ষেত্রের কোন অঞ্চলটি সাহায্যে বিন্দু পণ্যকে ন্যূনতম করুন

x $x$

vi $v_i$ প্রতিটি জন্য (প্রতিটি অঞ্চল অবশ্যই একটি হতে হবে)। পলিটোপগুলির সংখ্যার উপর আমার কোনও আবদ্ধ নেই। যদি এটি তাত্পর্যপূর্ণ কম হয় , আপনার একটি এন-ডাইমেনশনাল পয়েন্ট লোকেশন কোয়েরি করে চেয়ে ভাল কিছু রয়েছে ।

i $i$

nm $nm$

O(nm) $O(nm)$

— চাও শো

আপনি কোন পরামিতি সম্পর্কে বেশি যত্নশীল হন? সাধারণত, আপনি মিটার সাবলাইনার পেতে চান, আপনি এন মধ্যে সূচক পেতে শুরু করতে যাচ্ছেন।

— সুরেশ ভেঙ্কট

@ সুরেশ ভাল, বিভিন্ন সম্ভাব্য ট্রেড-অফগুলি বুঝতে পেরে ভাল লাগবে। আনুমানিক সংস্করণটিও আকর্ষণীয়।

— ইলিয়ারাজ

তাত্ক্ষণিক দ্রষ্টব্য: এন = 2 কেসের জন্য, উত্তল হালতে বাইনারি অনুসন্ধান

কেয়ের সময় দেয়। O(logn) $O(\log n)$

— জেফ্রি ইরভিং

উত্তর:

আপনার বিশেষ ক্যোয়ারী ভেক্টর আপনার প্রিপ্রোসেসড সংগ্রহের কোনও ভেক্টরের কাছে orthogonal কিনা তা আপনি কেবল নির্ধারণ করতে চান সেই বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন। (যেমন, যদি আপনি নির্ধারণ করতে চান , যেখানে আলোচ্য ভেক্টর অ নেতিবাচক কোফিসিয়েন্টস আছে।) এই ক্ষেত্রে ইতিমধ্যে খুব আকর্ষণীয়। $\min_i \langle x, v_i \rangle = 0$

ধরুন আপনি প্রশ্নের উত্তর দিতে পারেন কিছু সময় , সঙ্গে preprocessing (বহুপদী ডিগ্রী উপর নির্ভর করে করা উচিত নয় বা বা )। $n^{O(1)} m^{1-\delta}$ $\delta > 0$ $m^{O(1)} n^{O(1)}$ $m$ $n$ $\delta$

কাগজটিতে "অনুকূল 2-সীমাবদ্ধ সন্তুষ্টির জন্য একটি নতুন অ্যালগরিদম এবং এর প্রভাবগুলি", আমি পর্যবেক্ষণ করেছি যে এই জাতীয় ডেটা স্ট্রাকচারটি আপনাকে কিছুটা জন্য সময়ে সিএনএফ-স্যাট সমাধান করতে দেয় , যেখানে সংখ্যাটি ভেরিয়েবলের। এটি "স্ট্রং এক্সপোনেনশিয়াল টাইম হাইপোথিসিস" কে খণ্ডন করবে যে কে-স্যাটকে আনবাউন্ডেড জন্য মূলত সময় প্রয়োজন । $2^{\alpha v}$ $\alpha < 1$ $v$ $2^n$ $k$

কেন তা দেখার জন্য, ধরুন প্রাক-প্রসেসিংয়ের সময়টি । ভেরিয়েবল এবং ক্লজ সহ সিএনএফ সূত্র বিবেচনা করুন । আমরা দুই অংশে ভেরিয়েবল সেট বিভক্ত এবং আকারের এবং যথাক্রমে। পার্টগুলির ভেরিয়েবলগুলিতে সমস্ত সম্ভাব্য অ্যাসাইনমেন্ট তালিকাভুক্ত করুন ( পেয়ে) $(nm)^c$ $F$ $v$ $n$ $P_1$ $P_2$ $v(1-1/(2c))$ $v/(2c)$ এবং যথাক্রমে)। এই প্রতিটি আংশিক অ্যাসাইনমেন্টেরসাথে একটি সংযুক্ত করুন একটিবিট ভেক্টর যেখানেযদিএরম মদন্ডটিসন্তুষ্ট না হয় $2^{v(1-1/(2c))}$ $2^{v/(2c)}$ $A_i$ $n$ $w_i$ $w_i[j]=1$ $j$ $F$ । সুতরাং আমাদের কাছে এক্সপেনশনালি বহু বিট ভেক্টরের দুটি তালিকা রয়েছে। $A_i$

লক্ষ করুন যে, Satisfiable iff একটি ভেক্টর নেই উপর একটি নিয়োগ থেকে এবং একটি ভেক্টর উপর একটি নিয়োগ থেকে যেমন যে । $F$ $w_1$ $P_1$ $w_2$ $P_2$ $\langle w_1, w_2 \rangle = 0$

এখন আসুন , এবং অংশ থেকে সমস্ত ভেক্টরগুলির সাথে ধরে নেওয়া ডেটা স্ট্রাকচারটিকে প্রসেস করুন । এটি অনুমান দ্বারা সময় লাগে । অংশে অ্যাসাইনমেন্ট থেকে সমস্ত ভেক্টরগুলিতে ক্যোয়ারী অ্যালগরিদম চালান । অনুমান করে এটি লাগে $m=2^{v/(2c)}$ $P_2$ $n2^{v/2}$ $P_1$ । আসুন । $2^{v(1-1/(2c))} \cdot n^{O(1)} m^{1-\delta} = n^{O(1)} 2^{v - \delta v/(2c)}$ $\alpha = 1 - \delta/(2c)$

সম্ভবত বিদ্যমান প্রাকদিক দিয়ে দক্ষ প্রিপ্রোসেসিং এবং ক্যোয়ারির সময় পাওয়া সম্ভব। সর্বাধিক পরিচিত সিএনএফ-স্যাট অ্যালগরিদমগুলি এটিকে বাতিল করে না। (তারা ভালো কিছু পেতে কিন্তু গনা।) $n^{O(1)} m^{1-1/(\log \log m)}$ $2^{n-n/\log n}$ $\min_i \langle x, v_i\rangle$ সামান্য শক্তিশালী - এই সেটআপ, এটা MAX টি CNF-স্যাট সমাধানে মত হবে।

— রায়ান উইলিয়ামস
সূত্র

অসাধারণ! তবে এটি আনুমানিক ডেটা স্ট্রাকচারের পাশাপাশি

মতো ক্যোয়ারির সময়গুলিকেও

, যা খুব আকর্ষণীয়ও হবে। O(m⋅poly(logn)) $O(m \cdot \mathrm{poly}(\log n))$

— ইলিয়ারাজ

যাইহোক, আমরা "দ্রুত ক্যোয়ারির সময়কালের সাথে যদি আনুমানিক ডেটা স্ট্রাকচারও থাকত, তবে MAX-SAT আনুমানিক" "

— ilaraz

প্রথম অনুচ্ছেদে বর্ণিত সমতুল্যতা কেন ধরে? আমি মনে করি অভ্যন্তরীণ পণ্যটি সাধারণভাবে নেতিবাচক হতে পারে।

— সোসোশি ইতো

ইলিয়ারাজ: হ্যাঁ, এমনকি আনুমানিক ডেটা স্ট্রাকচারগুলি প্রায় ম্যাক্স-স্যাটকে বোঝায়। সোসোশি: আপনার অন্তর্দৃষ্টি জন্য আপনাকে ধন্যবাদ

— রায়ান উইলিয়ামস

Here's one idea for the exact answer, that I suspect Chao Xu might be alluding to. Firstly observe that we might as well normalize $x$ , as Chao points out. Now consider the hyperplane $h$ normal to the direction $x$ . The goal is to find the point closest to this hyperplane. By duality, this corresponds to a ray shooting query in an arrangement of hyperplanes to find the closest plane "above" the query point. Since this can be preprocessed, the main complexity is the point location, and so your problem has now been reduced to the complexity of doing point location in an arrangement of hyperplanes. Using cuttings, this can be done in $O(\log n)$ time in $n^d$ space.

— সুরেশ ভেঙ্কট
সূত্র

আমার উল্লেখ করা উচিত ছিল যে আমি একটি যুক্তিসঙ্গত প্রাক প্রসেসিং সময় সম্পর্কেও আগ্রহী যা কোনও মাত্রা দীর্ঘায়িত হলে এখানে ঘটনা নয় not

— ইলিয়ারাজ