সর্বোত্তমভাবে n × n × n সমাধান করছে রুবিকের কিউব এনপি-হার্ড?

Question

রুবিক কিউবের স্পষ্ট সাধারণীকরণ বিবেচনা করুন । প্রদত্ত স্ক্র্যাম্বল্ড কিউব সমাধান করে এমন চালগুলির সংক্ষিপ্ততর ক্রমটি গণনা করা কি এনপি-হার্ড বা বহু-কালীন অ্যালগরিদম রয়েছে?$n\times n\times n$

[ আমার সাম্প্রতিক ব্লগ পোস্টে সম্পর্কিত কিছু ফলাফল বর্ণনা করা হয়েছে ]]

Comments

আমি অনুমান করি যে ইনপুটটি {1,…, 6 of দিয়ে তৈরি ছয় n gr n গ্রিড হিসাবে দেওয়া হয়েছে} এনপি-তে সমস্যা কি? রুবিক কিউবের n × n × n সংস্করণে চলার সংখ্যার উপরে কি কোনও বহুপক্ষীয় উপরের আবদ্ধ?

— সোসোশি ইটো

তথ্যের জন্য ধন্যবাদ. কোন রেফারেন্স আছে?

— Tsuyoshi Ito

"একটি কনফিগারেশন দেওয়া, একটি সলিউশন তৈরি করে যা সর্বাধিক Numberশ্বরের সংখ্যা (এন, এন, এন) সরে যায়" এ সমস্যাটি কি আরও সহজ হয়? এটিই রুবিকের সমাধান অ্যালগরিদম করেছিল। তারা সংক্ষিপ্ততম খুঁজছেন না কারণ এটি খুব বেশি সময় নিয়েছিল।

— অ্যারন স্টার্লিং

আমরা কি জানি যে পৌঁছনীয় কনফিগারেশন স্পেসের ব্যাস ? $\Theta(n^2)$

— অ্যান্ডি ড্রাগার

@ অ্যান্ডি: দুর্দান্ত প্রশ্ন! ("

— Ofশ্বরের

Answer 1

আমার একটি কাগজ সবেমাত্র আরক্সিবের জন্য পোস্ট করা হয়েছিল এবং এই প্রশ্নের সমাধান করে: রুবিকের কিউবটিকে সর্বোত্তমভাবে সমাধান করা এনপি-সম্পূর্ণ।

Comments

অভিনন্দন !!

— জেফি

Answer 2

একটি নতুন কাগজ Demaine, Demaine, Eisenstat, Lubiw এবং উইন্সলো দ্বারা এই প্রশ্নে আংশিক উন্নতি তোলে --- এটি সন্তোষজনক ভাবে সমাধানের জন্য একটি বহুপদী টাইম অ্যালগরিদম দেয় কিউব, এবং শো এন পি - আপনি "আংশিক রঙিন" কিউবসকে কল করতে পারেন তা সর্বোত্তমভাবে সমাধান করার জন্য দৃhard়তা। এটি এও দেখায় যে n × n × n কিউবের কনফিগারেশন স্পেসের ব্যাস Θ ( n 2 / লগ এন ) রয়েছে ।$n \times O(1) \times O(1)$$\mathsf{NP}$$n \times n \times n$$\Theta(n^2/\log n)$

খুব সুন্দর!

একটি সম্ভাব্য পরের প্রশ্নে তাদের কাজের সুপারিশ মনে হচ্ছে যে: একটি হল ফিক্সড আংশিকভাবে রঙের পরিবার কিউব, প্রতিটি মানের জন্য এক এন , সন্তোষজনক ভাবে একটি প্রদত্ত কনফিগারেশন থেকে সমাধানে হয় যেমন যে এন পি -hard?$n \times n \times n$$n$$\mathsf{NP}$

Comments

ঠিক আছে, এবং আরো একটি প্রশ্ন: কিনা দুই নন-স্ট্যান্ডার্ড রং নির্ধারণের জটিলতা কি ঘনক্ষেত্র হয় সমতুল্য? (দুটি বিষয় বিবেচনা করুন: সম্পূর্ণ বা আংশিক রঙিন।)$n \times n \times n$

— অ্যান্ডি ড্রকার

ঠিক আছে, আরও একটি প্রশ্ন এবং তারপরে আমি থামব: config ( n 2 / লগ এন ) সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় কনফিগারেশনের কোনও স্পষ্ট ক্রম রয়েছে ? (কাগজটি তার নিম্ন সীমাবদ্ধতার জন্য একটি গণনা যুক্তি ব্যবহার করে))$\Omega(n^2/\log n)$

— অ্যান্ডি ড্রাগার

Answer 3

এতে সহজেই একটি ত্রুটি থাকতে পারে, সুতরাং দয়া করে আপনি যদি একটি চিহ্নিত করেন তবে আমাকে জানান।

দেখে মনে হচ্ছে উত্তরটি হ'ল না, বা কমপক্ষে এই সমস্যাটি এনপি-র মধ্যে রয়েছে। এর পিছনে যুক্তি খুব সহজ। অন্য একটি প্রশ্ন থেকেই ধারণাটি তৈরি করা যায়: "আপনি কি এস স্টেপগুলিতে কনফিগারেশন এ এবং কনফিগারেশন বি এর মধ্যে পেতে পারেন?"

স্পষ্টতই এই নতুন প্রশ্নটি এনপি-তে রয়েছে, কারণ যে কোনও দ্রবণযোগ্য কনফিগারেশন থেকে কিউব সমাধান করার জন্য একটি অ্যালগরিদম রয়েছে, এবং সমাধানের স্থলে যেতে কোনও দুটি কনফিগারেশনের মধ্যে যেতে কেবল ও ( এন 2 ) লাগে । যেহেতু কেবলমাত্র বহু সংখ্যক চলন রয়েছে তাই দুটি কনফিগারেশনের মধ্যে যাওয়ার জন্য চালগুলির সেটটি এই নতুন প্রশ্নের সাক্ষী হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে।$O(n^2)$$O(n^2)$

এখন, প্রথমত, যদি আমরা কনফিগারেশন বি কে সমাধানের স্থিতি হিসাবে বেছে নিই, আমাদের একটি সমস্যা রয়েছে যা জিজ্ঞাসা করে যে পদক্ষেপে কিউবটি সমাধান করা সম্ভব বা কম, যা এনপি-র মধ্যে রয়েছে।$S$

এখন বি এর জন্য একটি আলাদা কনফিগারেশন বাছাই করুন, আমি বলব যা সমাধান করতে n h a r d ≈ n 2 পদক্ষেপ নেয় । এখন যদি আমরা জিজ্ঞাসা কিনা এটা কনফিগারেশন একটি মধ্যে পাওয়ার সম্ভাবনা আছে বি জ একটি দ ঘ মধ্যে এস ' কম পদক্ষেপ বা, আমরা আবার সাক্ষী প্যাচসমূহ একটি ক্রম সঙ্গে এন পি একটি সমস্যা আছে। যাইহোক, আমরা জানি বি জ একটি দ ঘ লাগে এন এইচ একটি দ $B_{hard}$$n_{hard} \approx n^2$$B_{hard}$$S'$$B_{hard}$$n_{hard}$ধাপ সমাধান করতে, আমরা জানি যে যদি সম্ভব হয় A এবং মধ্যবর্তী যেতে মধ্যে এস ' পদক্ষেপ, তারপর, এটা ক্ষেত্রে অন্তত এন এইচ একটি দ ঘ - এস ' পদক্ষেপ সমাধানের জন্য এন × এন × এন থেকে ঘনক্ষেত্র কনফিগারেশন এ।$B_{hard}$$S'$$n_{hard} - S'$$n \times n \times n$

সুতরাং আমরা উভয় জন্য সাক্ষী আছে একটি বাউন্ড কম পদক্ষেপ এবং একটি নিম্ন বাউন্ড এস কনফিগারেশন A. থেকে সমাধানের জন্য আমরা এখন বাছাই তাহলে ধাপ এস 0 হিসাবে প্যাচসমূহ ন্যূনতম সংখ্যা ঘনক্ষেত্র শুরুর সমাধান করা প্রয়োজন কনফিগারেশন এ, তারপরে যদি আমরা নীচের এবং উপরের সীমাগুলি সমান হিসাবে বেছে নিই (যেমন S ′ = n h a r d - S 0 এবং S = S $n_{hard} - S'$$S$$S_0$$S' = n_{hard} - S_0$$S = S_0$), তখন আমাদের কাছে একটি সাক্ষী রয়েছে যে এই সমাধানটি সর্বোত্তম (সীমাবদ্ধতার সাথে জড়িত দুটি এনপি সমস্যার সাক্ষীর সমন্বয়ে)।

সর্বশেষে, আমরা একটি উপায় জেনারেট করতে প্রয়োজন । আমাদের সম্ভবত সবচেয়ে শক্তিশালী কনফিগারেশন দরকার, তবে যেহেতু এটি কীভাবে সন্ধান করতে হয় তা আমি জানি না, তাই আমি এক্স-অক্ষ সম্পর্কে প্রতিটি দ্বিতীয় সমতলটি একবারে ঘোরানোর পরামর্শ দিই, এবং তারপরে প্রতিটি চতুর্থ বিমানটি (কেন্দ্রীয় বিমান স্থির রেখে) একসময় সম্পর্কে জানাতে চাই z- অক্ষ আমি বিশ্বাস করি যে এটি এমন একটি রাষ্ট্রের দিকে নিয়ে যায় যা সমাধানের জন্য ও ( এন 2 ) পদক্ষেপের প্রয়োজন।$B_{hard}$$O(n^2)$

সুতরাং, আমি একটি পূর্ণ গঠনমূলক প্রমাণ না থাকে, কিন্তু কোনো সন্তোষজনক সমাধান কম গ্রহণ পরিষ্কারভাবে সাক্ষী হয়েছে। দুর্ভাগ্যক্রমে, অবশ্যই, সমস্ত সম্ভাব্য কনফিগারেশন ক্যাপচার করার জন্য আপনার n h a r d = number শ্বরের নম্বর ( এন ) দরকার হবে ।$n_{hard}$$n_{hard} = \mbox{God's number}(n)$

সম্পাদনা করুন: Superflip কনফিগারেশন নিয়মানুবর্তিতা এটি সম্ভবত মনে করে তোলে উৎপাদিত জন্য এন এইচ একটি দ ঘ = ঈশ্বরের সংখ্যা ( ঢ ) (পি এ বড়) অপেক্ষাকৃত সহজ হতে পারে।$B_{hard}$$n_{hard} = \mbox{God's number}(n)$

Comments

ঝরঝরে ধারণা। যাইহোক, এটি কি ধরে নেয় না যে দুটি পয়েন্টের মধ্যে সবচেয়ে সংক্ষিপ্ততম পথটি অন্য কোনও বিন্দুতে যেতে পারে। এটি গোলকের পয়েন্টগুলির জন্য স্পষ্টভাবে সত্য (যদি আপনি উত্তর মেরু থেকে দক্ষিণ মেরুতে উড়ছেন তবে আপনি তেহিতির পথেও উড়ে যেতে পারেন) তবে রুবিকের কিউবসের কনফিগারেশনের ক্ষেত্রে এটি সঠিক হওয়ার কোনও কারণ আছে কি?

— পিটার শোর

$B_{hard}$$n_{hard}$$B_{hard}$$A$$B_{hard}$

$B_{hard}$$n_{hard}$$B_{hard}$$B_{hard}$$n_{hard}$$n_{hard}-S' \leq S_0 \leq n_{hard} + S'$$S_0$$S_0$

$_\mathrm{hard}$

@ জো: অর্ধ-চিন্তিত উত্তর পোস্ট করার বিষয়ে চিন্তা করবেন না। আমি একই কাজ করেছি (এবং আমি একমাত্র নই) এবং আমি নিশ্চিত নই যে এই পদ্ধতির সম্পূর্ণ মূল্যহীন। আমি আশা করি যে এটির সঠিক দূরত্বটি এনপি-হার্ড নয় গণনাটি দেখানোর জন্য কাজ করবে না তবে সম্ভবত এটি প্রায় আনুমানিক সম্পর্কে কিছু বলতে পারে।

— পিটার শর