একটি অনন্ত ক্ষেত্রের উপর টেনসর র‌্যাঙ্কের জটিলতা

একজন টেন্সর ভেক্টর এবং উচ্চতর মাত্রা ম্যাট্রিক্স এবং একটি সাধারণীকরণ ছাড়া কিছুই না র্যাঙ্ক একটি টেন্সর এর একটি ম্যাট্রিক্স পদে সাধারণীকরণ। যথা, একটি টেনসর এর র‌্যাঙ্ক হ'ল ন্যূনতম এক নম্বর র‌্যাংক সমষ্টি । একটি ভেক্টর এবং ম্যাট্রিক্স যথাক্রমে 1 এবং 2 ডিগ্রির টেনসর। $T$ $T$

উপাদান একটি ক্ষেত্র থেকে আসা । যদি fin সীমাবদ্ধ হয়, তবে হস্তাদ প্রমাণ করলেন যে 3 ডিগ্রি 3 ডিগ্রির সর্বাধিক হয় কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়া এনপি-সম্পূর্ণ, কিন্তু যখন মত একটি অসীম ক্ষেত্র , তিনি (বা উদ্ধৃত) কোন উপরের আবদ্ধ দেয়। $T$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{F}$ $r$ $\mathbb{F}$ $\mathbb{Q}$

প্রশ্ন: of over ওভার ডিগ্রি 3 টেনসরের সর্বাধিক হলে, সিদ্ধান্ত নেওয়ার জটিলতার জন্য সর্বাধিক পরিচিত ওপেন বাঁধন কী ? $T$ $\mathbb{Q}$ $r$

— টাইসন উইলিয়ামস
সূত্র

ডিগ্রি থ্রি টেনসরের ওপরে rank একই টেনসরের র‌্যাঙ্কের সমান ℝ? যদি তা হয় তবে সমস্যাটিকে এক্সিজেন্টাল থিওরি অফ রিলসের একটি বিশেষ কেস হিসাবে তৈরি করা যেতে পারে এবং তাই পিএসপিএসিইতে রয়েছে।

— সোসোশি ইতো

আমার আগের মন্তব্যে ধারণাটি কাজ করবে না কারণ তিন ডিগ্রি ওভারে তিন ডিগ্রীর চেয়ে অনেক বেশি t একই টেনসরের ওপরে ℚ from {X, y দ্বি-মাত্রিক ভেক্টর জায়গার ভিত্তি হওয়া যাক এবং টেনসর 2x⊗x⊗x + x⊗y⊗y + y⊗x⊗y + y⊗y⊗x বিবেচনা করুন। এটি দেখতে দুষ্কর নয় যে এর র‌্যাঙ্ক over ওপরে দুটি কিন্তু এটির চেয়ে বেশি rank (এই উদাহরণটি উদাহরণটি সংশোধন করে প্রাপ্ত হয়েছিল যা দেখানো হয়েছিল যে ১৯৮৯-এর ক্রসকলের চেয়ে rank র্যাঙ্কের চেয়ে পৃথক হতে পারে ))

— স্যুওশি ইতো

@ স্যুওশি ইতো আমি সম্পূর্ণরূপে একমত। আমি কোনও উপরের সীমাও পাই না।

— টাইসন উইলিয়ামস

আমি মনে করি জটিলতার আগে কম্পিউটারে জিজ্ঞাসা করা আরও ভাল।

— সোসোশি ইতো

তুচ্ছ upperbound যে এটা সিই Håstad একই কাগজে প্রমাণ যে সমস্যা হয় উপর । নিম্নলিখিত আরও সাধারণ সমস্যাটি সি-সম্পূর্ণ: একটি আংশিক ভরাট টেনসর দেওয়া, এটির কি একটি সমাপ্তি রয়েছে যা র‌্যাঙ্ক ?

N P - h a r d

$\mathsf{NP\text{-}hard}$

Q

$\mathbb{Q}$

\leq r

$\leq r$

— কাভেহ

উত্তর:

এটি সম্পর্কে একটি সাম্প্রতিক প্রিপ্রিন্ট রয়েছে: http://galton.uchicago.edu/~lekheng/work/np.pdf । এটা দেখায় যে tensors সঙ্গে সবচেয়ে র্যাঙ্ক সংক্রান্ত সমস্যাগুলির দ্বারা NP হার্ড ধরে আছে এবং । (এটি আরও উল্লেখ করেছে যে over র‌্যাঙ্কের সিদ্ধান্ত নেওয়া এনপি শক্ত) $\mathbb{R}$ $\mathbb{C}$ $\mathbb{Q}$

— বার্ট
সূত্র

বার্ট, এই প্রিপ্রিন্টটি (হিলার এবং লিমের দ্বারা) ভয়ঙ্কর ... আপনাকে অনেক ধন্যবাদ।

— জন সিডলস

খুশী হলাম। যাইহোক, আমি এই বাক্যটি বুঝতে পারি না: "যদিও হস্তাদের ফলাফল এবং এর ক্ষেত্রে , ক্ষেত্রগুলির এই পছন্দগুলি উপরোক্ত সমস্যাগুলির মধ্যে একটি ব্যতীত অন্য সকলের জন্য বোধগম্য নয় (ব্যতিক্রমটি বাদে সমীকরণের দ্বি-বিভাজন সিস্টেম) কারণ এগুলি বিশ্লেষণাত্মক সমস্যাগুলি কেবল একটি নিখুঁত মান সহ বৈশিষ্ট্যযুক্ত 0 এর সম্পূর্ণ ক্ষেত্রের উপর সুস্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত হয় such এই জাতীয় ক্ষেত্রগুলির মধ্যে এবং applications অ্যাপ্লিকেশনগুলির মধ্যে সবচেয়ে সাধারণ এবং সুতরাং আমরা এই ক্ষেত্রগুলিতে আমাদের আলোচনা সীমাবদ্ধ করব ""

Q

$\mathbb{Q}$

F_{q}

$\mathbb{F}_q$

R

$\mathbb{R}$

C

$\mathbb{C}$

— টাইসন উইলিয়ামস

উপরের উদ্ধৃতিতে উল্লেখ করা সমস্যাগুলির মধ্যে একটি হ'ল র‌্যাঙ্ক। এই লেখকরা কি বলছেন যে কোনও টেনসারের পদমর্যাদা over এর তুলনায় ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়নি ?

Q

$\mathbb{Q}$

— টাইসন উইলিয়ামস

@Tyson: আমার মনে হয় লেখক ঠিক যে অনেক সংখ্যাসূচক অ্যাপ্লিকেশন (আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, সংকেত প্রক্রিয়াজাতকরণ) জন্য, আপনাকে অবশ্যই কম্পিউটেশন কাজ করতে চান বলতে চাই বা । একটি সংখ্যাসূচক বিশ্লেষক নিজেকে হচ্ছে, আমি অনেক অ্যাপ্লিকেশন সংজ্ঞায়িত দেখতে না । তারা পরোক্ষভাবে না যে র্যাঙ্ক না হয়ে ভালভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় না ।

R

$\mathbb{R}$

C

$\mathbb{C}$

Q

$\mathbb{Q}$

Q

$\mathbb{Q}$

— বার্ট

যদিও এটি সত্যই ছিল একমাত্র উত্তর (যেহেতু জন তাঁর মন্তব্য হিসাবে বোঝানো হয়েছিল) তবে আমি এখনও বিশ্বাস করি যে এই উত্তরটি অনুগ্রহের দাবিদার যেহেতু এটি এমন একটি রেফারেন্স প্রদান করেছিল যা অন্যান্য গুরুত্বপূর্ণ অসীম ক্ষেত্রগুলির (বাস্তব ও জটিল) সম্পর্কে কঠোরতা দেখায় hard আমার প্রশ্নের শিরোনামের পরামর্শ অনুসারে, আমি সাধারণভাবে অসীম ক্ষেত্র সম্পর্কে আগ্রহী কিন্তু নির্দিষ্ট উত্তর দিয়ে একটি প্রশ্ন করার জন্য যুক্তিগুলি সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি। কেউ যদি একটি উচ্চতর বাউন্ড সরবরাহ করতে পারে (বা দেখান যে এটি আপমুক্ত নয়) তবে আমি গ্রহণযোগ্য উত্তর হিসাবে অন্য একটি প্রশ্ন বেছে নেব।

— টাইসন উইলিয়ামস

গণনা সংক্রান্ত জটিলতায় পার্সিপ্রেক্টিভস বই : এই গ্রীষ্মে (জুলাই ২০১৪) প্রকাশিত সোমনাথ বিশ্বাস বার্ষিকী খণ্ডটি মূলত আমাদের এখানে conকমত্যের সাথে সম্মত হয়েছে। উপর পৃষ্ঠা 199 , এটা বলেন:

আমার জ্ঞানের সর্বোপরি, এটি এমনকি এখনও জানা যায়নি যে চেয়েও [কম্পিউটিং টেনসর র‌্যাঙ্কের সমস্যা] সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য whether বেশি , পরিস্থিতি কিছুটা উন্নত ... সমস্যাটি স্থিতিশীল এবং এমনকি পিএসপিএসিইতে, যেহেতু এটি বাস্তবের অস্তিত্বের তত্ত্বকে হ্রাস করা যেতে পারে। $\mathbb{Q}$ $\mathbb{R}$

— টাইসন উইলিয়ামস
সূত্র

সাম্প্রতিক একটি প্রিপ্রিন্টও এটিকে নিশ্চিত করে: arxiv.org/pdf/1612.04338v1.pdf । (পৃষ্ঠা 3 এ টেবিলটি দেখুন)

— হকের বেনিেট

নোট: নিচে একটি মন্তব্য হিসাবে উদ্দীষ্ট ছিল টেক্সট ... এটা স্পষ্টভাবে হয় না উত্তর, বরং একটি বাস্তবমুখী পর্যবেক্ষণ করে একটি আউট উঠে চার্লি Slichter এর restating ম্যাগনেটিক রেজোন্যান্স নীতিমালা symplectic জ্যামিতি এবং কোয়ান্টাম তথ্য তত্ত্ব ভাষায় (যা ফেরত pulls প্রাকৃতিকভাবে বহুবর্ষীয়-র‌্যাঙ্ক টেনসর-পণ্য রাজ্য স্পেসে)। বর্তমানে আমাদের এই টেনসর-র‌্যাঙ্ক পদ্ধতিগুলির একটি আংশিক জ্যামিতিক বোধগম্যতা রয়েছে, একটি প্রান্তিক কোয়ান্টাম তথ্যমূলক বোঝাপড়া, মূলত কোনও জটিলতা-তাত্ত্বিক বা সংমিশ্রণীয় বোঝাপড়া এবং একটি কার্যকারী (তবে বেশিরভাগই অভিজ্ঞতাবাদী) গণনার বোঝাপড়া নেই।

আমরা এই বোঝার সম্প্রসারণ, আরও গভীর এবং একীকরণ করতে খুব আগ্রহী, এবং তাই আমরা আশা করি যে অন্যান্য লোকেরা এই বিষয়ে আরও উত্তর / মন্তব্য পোস্ট করবেন।

আমাদের ব্যবহারিক গণনার অভিজ্ঞতা হয়েছে যে

চেয়ে বেশি র‌্যাঙ্ক নির্ধারণ করা খাড়া-বংশোদ্ভূত পদ্ধতিগুলি দ্বারা জেনারিকভাবে ট্র্যাকটেবল ... আমরা যখন এটি বুঝতে পারি, এই দৃust়তা একটি জ্যামিতিক কারণে উত্থাপিত হয়েছে, যথা, গোল্ডবার্গ এবং কোবায়শীর হলোমর্ফিক দ্বিখণ্ডিত বক্ররেখা উপপাদ্য। এটি কঠোর প্রমাণ থেকে দূরে, বলা বাহুল্য।

C

$\mathbb{C}$

— জন সিডলস
সূত্র

এই উপপাদ্য কি সহজে বলা যায়? যদি তা না হয় তবে আপনি কি কোনও ভাল বক্তব্য এবং ব্যাখ্যাের জন্য একটি লিঙ্ক সরবরাহ করতে পারেন?

— টাইসন উইলিয়ামস

@ টাইসন: আমি মনে করি জন সমস্যাগুলির উদাহরণগুলি সমাধান করার জন্য তার অভিজ্ঞতা সম্পর্কে কথা বলছেন, এবং কোনও উপপাদ্য সম্পর্কে নয়।

— জো ফিটজসিমন্স

আপনি তাকে একটি উপপাদ্য সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করেছিলেন, এবং তিনি কোনও একটি সম্পর্কে কথা বলছেন বলে মনে হয় না। আমি কেবল ভেবেছিলাম আপনি তাকে ভুল বুঝেছেন।

— জো ফিটজসিমসন 15

আসলে, আমি ভেবেছিলাম আমি একটি মন্তব্য পোস্ট করেছি এবং এটি উত্তর হিসাবে উপস্থিত হতে দেখে অবাক হয়েছিল। ডোহ! একটি রেফারেন্স যোগ করার জন্য আমি এখনই এটি সম্পাদনা করেছি, তবে এখনও এটি সন্তোষজনক উত্তর থেকে খুব দূরে। টাইসন উইলিয়ামসের একটি দুর্দান্ত প্রশ্ন! :)

— জন সিডলস

@ জো তিনি গোল্ডবার্গ এবং কোবায়াশি এর হলোমরফিক দ্বিখণ্ডিত বক্রতা উপপাদ্যটি উল্লেখ করেছিলেন, তাই আমি তাকে এ সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করেছি। আমি নিশ্চিত নই যে এর অর্থ আমি তাকে ভুল বুঝেছি বা না পেয়েছি কিনা।

— টাইসন উইলিয়ামস