আকারের একটি DFA তে দ্বারা গৃহীত ভাষায় সংখ্যা কত

প্রশ্ন সহজ এবং সরাসরি: একটি ফিক্সড বা অপরিবর্তিত কত (বিভিন্ন) ভাষাগুলির আকারের একটি DFA তে দ্বারা গৃহীত হয় (অর্থাত রাজ্যের)? আমি এটি আনুষ্ঠানিকভাবে জানাব: $n$ $n$ $n$

একটি ডিএফএকে হিসাবে সংজ্ঞায়িত করুন , যেখানে সব কিছু যথারীতি এবং একটি (সম্ভবত আংশিক) ফাংশন। আমাদের এটি স্থাপন করা প্রয়োজন যেহেতু কখনও কখনও কেবলমাত্র মোট কার্যকারিতা বৈধ বলে বিবেচিত হয়। $(Q,\Sigma,\delta,q_0,F)$ $\delta:Q\times\Sigma\to Q$

প্রতিটি , সমস্ত সেটের (সমতা) সম্পর্ক সংজ্ঞায়িত করুন : যদি এবং । $n\geq 1$ $\sim_n$ $\mathcal{A}\sim_n\mathcal{B}$ $|\mathcal{A}|=|\mathcal{B}|=n$ $L(\mathcal{A})=L(\mathcal{B})$

তাহলে প্রশ্নটি হল: প্রদত্ত জন্য কী? , সেট ? $n$ $\sim_n$ $\{L(\mathcal{A})\mid\mathcal{A}\textrm{ is a DFA of size }n\}$

এমনকি যখন মোট ফাংশন, এটি কোনও সহজ গণনা বলে মনে হয় না (আমার পক্ষে, কমপক্ষে)। গ্রাফ সংযুক্ত পারে না, এবং সংযুক্ত উপাদানের রাজ্যের প্রাথমিক অবস্থায় ধারণকারী সব গ্রহণ করা যেতে পারে, তাই, উদাহরণস্বরূপ, আছে অনেক আকারের গ্রাফ গ্রহণ । খালি ভাষা এবং অন্যান্য ভাষাগুলির জন্য অন্যান্য তুচ্ছ সংমিশ্রণের সাথে একই রকম যার ন্যূনতম ডিএফএ এর রাজ্যের চেয়ে কম রয়েছে । $\delta$ $n$ $\Sigma^*$ $n$

(একটি নিষ্পাপ) পুনরাবৃত্তিও কাজ করে না বলে মনে হয়। যদি আমরা এর আকারের ডিএফএ নিয়ে একটি নতুন রাষ্ট্র যুক্ত করি, তবে আমরা যদি নির্ধারণবাদ বজায় রাখতে এবং নতুন গ্রাফকে সংযুক্ত করতে চাই (তুচ্ছ ঘটনাগুলি এড়ানোর চেষ্টা করতে পারি), তবে নতুন রাষ্ট্রের সাথে সংযোগ স্থাপনের জন্য আমাদের একটি স্থানান্তর সরিয়ে ফেলতে হবে, তবে সেক্ষেত্রে আমরা মূল ভাষাটি হারাতে পারি। $k$

কোন চিন্তা?

বিঃদ্রঃ. আমি আনুষ্ঠানিক বিবৃতি দিয়ে এবং পূর্ববর্তী বিভ্রান্তকারী উপাদানগুলি ছাড়াই আবার প্রশ্নটি আপডেট করেছি।

— Janoma
সূত্র

শুধু নির্মল: আপনি "ব্যবহার কত বিভিন্ন ভাষায় এক বর্ণনা করতে পারেন মানে

? যুক্তরাষ্ট্র", যেখানে একটি ভাষা ব্যবহার সংজ্ঞায়িত করা হয়

যদি সঙ্গে একটি DFA তে হয় রাজ্যের

রাজ্যের এটি স্বীকার করে। এছাড়াও, নিয়মিত অভিব্যক্তিগুলির জন্য, "এ * আআআআআআ" রেগেক্সটি অবশ্যই 1 টি কনটেন্টেশন রয়েছে, তবে ডিএফএর জন্য কেবল একটি রাষ্ট্রের প্রয়োজন (দু'জনের যদি আলাদা আলাদা সিনকি দরকার হয়), না?

n

$n$

n

$n$

n

$n$

— এভেজেনিজ থর্স্টেনসেন

ক্ষমা প্রার্থনা: রেজেক্স উদাহরণের জন্য, এটি " a a a a *" হওয়া উচিত, এটি যে কোনও সংখ্যাকে মঞ্জুরি দেয়।

— এভেজেনিজ থর্স্টেনসেন

এর সংজ্ঞাটি "বিন্দু-গভীরতা" ধারণার সাথে খুব সম্পর্কিত বলে মনে হয়, সাধারণত ধারণাটি তারা-মুক্ত ভাষাগুলিতে প্রয়োগ করা হয় (সম্ভবত এজন্যেজ থর্স্টেনসন উল্লিখিত কারণে)।

c (r)

$c(r)$

— মুহম

তুচ্ছ পর্যবেক্ষণ:

রাজ্যের অন্তত সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করা যেতে পারে

বিভিন্ন ভাষায়।

n + 1

$n+1$

2^{n}

$2^n$

— এভেজেনিজ থর্সটেনসেন

আমরা কিছুটা বেশি পেতে পারি, সুতরাং

ঠিক আছে বলে মনে হচ্ছে। কিন্তু এন-রাষ্ট্র অটোমাটা সংখ্যা প্রায়

(অভিমানী

)। আমরা

পেতে পারি ?

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

n^{c n} 2^{n} = 2^{c n \log n + n} = 2^{Θ (n \log n)}

$n^{cn}2^n=2^{cn\log n+n} = 2^{\Theta(n\log n)}$

| Σ | = c

$|\Sigma|=c$

2^{ω (n)}

$2^{\omega(n)}$

— কাভেহ

আমি মনে করি এই প্রশ্নটি আগে অধ্যয়ন করা হয়েছিল। মাইক ডোমারাতজকি এই অঞ্চলে গবেষণার উপর একটি সমীক্ষা লিখেছেন: "আনুষ্ঠানিক ভাষাগুলির সংখ্যা", বুল। ইএটিসিএস, খণ্ড 89 (জুন 2006), 113-133: http://www.eatcs.org/images/ulletin/beatcs89.pdf

— হারমান গ্রুবার
সূত্র

কাগজটি 120 পৃষ্ঠার এবং পরবর্তী পৃষ্ঠা থেকে সঠিকভাবে জিজ্ঞাসিত প্রশ্নটির ঠিকানা দেয়। এটি

ফাংশন , এবং কাগজটি বরং কড়া সীমাবদ্ধতা দেয় (কাভেহে উপরে বর্ণিত বিষয়গুলির নিকটে), যদিও আমি সমস্ত বিবরণ নিই না।

g_{k} (n)

$g_k(n)$

— এভেজেনিজ থর্স্টেনসেন

প্রকৃতপক্ষে. আমরা কি চাই, তারপর

, দেওয়া সম্পর্ক দ্বারা, অথবা

, যার pairwise অ isomorphic ন্যূনতম DFAs সংখ্যা

একটি ওভার রাজ্যের

বর্ণমালা -letter। আমি এটির সাথেও বিশদভাবে নজর রাখিনি, তবে এটি প্রদর্শিত হয় যে কেবল সীমাগুলি জানা যায়, সঠিক পরিমাণ নয়।

g_{k} (n)

$g_k(n)$

f_{k} (n)

$f_k(n)$

n

$n$

k

$k$

— জানোমা

এবং, একই লেখকের কাছ থেকে, আমাদের কাছে এন স্টেটসের সাথে সীমাবদ্ধ অটোম্যাটা দ্বারা স্বীকৃত পৃথক ভাষার সংখ্যা সম্পর্কিত নিবন্ধ রয়েছে , যা এমনকি

(

স্পষ্ট সংখ্যায়ন দেয় (

) এবং

(

)।

g_{1} (n)

$g_1(n)$

1 \leq n \leq 10

$1\leq n\leq 10$

g_{2} (n)

$g_2(n)$

1 \leq n \leq 6

$1\leq n\leq 6$

g_{3} (n)

$g_3(n)$

1 \leq n \leq 4

$1\leq n\leq 4$

— জানোমা