পি এর বাইরে সমস্যাগুলি যা পি-হার্ড নয়

পিটার শোরের উত্তর এবং অ্যাডাম ক্রুমের পূর্ববর্তী একটি প্রশ্ন পড়ার সময় আমি বুঝতে পেরেছিলাম যে $\mathsf{P}$ হার্ড হওয়ার অর্থ কী তা সম্পর্কে আমার কিছু ভুল ধারণা রয়েছে।

একটি সমস্যা -hard তাহলে কোনো সমস্যা এর মাধ্যমে এতে রূপান্তরযোগ্য হয় (অথবা যদি আপনি চান ) হ্রাস। সমস্যাটি বাইরে থাকে যদি এটি সমাধান করার জন্য বহুবর্ষীয় সময়ের অ্যালগরিদম না থাকে। এর অর্থ হ'ল এমন সমস্যা হওয়া উচিত যা এর বাইরে কিন্তু হার্ড নয়। যদি আমরা ধরে নিই যে ফ্যাক্টরিংটি বাইরে রয়েছে , তবে পিটার শোরের জবাবটি সূচিত করে যে ফ্যাক্টরিং এ জাতীয় সমস্যা হতে পারে। $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{L}$ $\mathsf{NC}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{P}$

এমন কোনও সমস্যা আছে যা (প্রাকৃতিক বা কৃত্রিম) যা বাইরে রাখার জন্য পরিচিত $\mathsf{P}$ তবে $\mathsf{P}$ হার্ড নয়? ফ্যাক্টরিং অনুমানের চেয়ে দুর্বল অনুমানগুলির মধ্যে কী হবে? এই জটিলতা শ্রেণীর নাম আছে কি?

cc.complexity-theory complexity-classes

— আর্টেম কাজনাটচিভ
সূত্র

উত্তর:

যদি তারপর কোন বিক্ষিপ্ত সেট (এমনকি একটি অ-গণনীয় একটি) হতে পারে । $\mathsf{P} \neq \mathsf{L}$ $\mathsf{P\text{-}hard}$

জটিলতা ক্লাসগুলি (এবং গণনামূলক সমস্যা) সম্পর্কে চিন্তাভাবনা করে ভুল ধারণাটি একটি লিনিয়ার অর্ডার তৈরি করে যা সত্য নয় comes কোনও সমস্যার জন্য "কঠোরতা" শব্দটি ব্যবহার করা বর্গের অন্যান্য সমস্যাগুলি সমাধান করার জন্যও ব্যবহার করা যায় যা ভুল ধারণা তৈরিতে অবদান রাখে। একটি সমস্যার নিম্নতর (যেমন একটি জটিল শ্রেণিতে না থাকা) বোঝায় না যে সমস্যাটি ক্লাসের পক্ষে কঠিন (অর্থাত্ শ্রেণীর অন্যান্য সমস্যাগুলি সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে)। আমি জানি না যে বর্তমানে "কঠোরতা" ব্যবহারের জন্য আরও ভাল বিকল্প পরিভাষা রয়েছে যা পূর্ববর্তী দশকগুলিতে ব্যবহৃত হয়েছে "সার্বজনীনতা" (যা আইএমএইচও, ধারণাটি আরও বিশ্বস্ততার সাথে প্রকাশ করেছিল, এবং তারপরে আমরা ব্যবহার করতে পারতাম ক্লাসে না থাকার জন্য "কঠোরতা", তবে প্রতিষ্ঠিত পরিভাষা পরিবর্তন করা খুব কঠিন)।

— Kaveh
সূত্র

জটিলতার ক্লাসগুলি দেখেছি এমন কিছু ইউলারের ডায়াগ্রামগুলিও আমার জন্য দ্বিতীয় ভ্রান্ত ধারণাটি খাওয়িয়েছে, যা আমি মনে করি এটি এক্স-কঠোরতা সম্পর্কে আমার বিভ্রান্তির কারণ হয়েছিল।

— আর্টেম কাজনাটচিভ

@ আর্টেম, হ্যাঁ, এটিও একটি কারণ। এখানে আমি ক্লাসে যা করি তা: আমি এর অপ্রয়োজনীয়তার উল্লেখ করি

এবংঅধীনেহ্রাস, এই আশা করে যে এটি শিক্ষার্থীদের সবকিছু রৈখিকভাবে আদেশ করা হয়েছে তা ভেবে এড়াতে সহায়তা করবে।

\mod p

$\mod p$

\mod q

$\mod q$

A C^{0}

$\mathsf{AC^0}$

— কাভেহ

মোট অর্ডার অংশে আমার খুব কম সমস্যা রয়েছে। বিশেষত, আমি মনে করি এনপি এবং কোএনপি যথেষ্ট সঠিক তা দেখানোর জন্য যে আমাদের মোট অর্ডার থাকা জটিলতা ক্লাসগুলির কথা ভাবা উচিত নয়।

— আর্টেম কাজনাটচিভ

@ আর্টেম, ভাল পয়েন্ট (যদিও আমরা প্রমাণ করতে পারি না যে তারা আলাদা) আমি মনে করি পরিভাষাটির কারণটির একটি অংশ যুক্তিসঙ্গত নিম্নপাখির অভাব, আমাদের কাছে স্যাটের জন্য ভাল লোয়ারবাউন্ড নেই, তবে আমরা মনে করি যে এটি সমাধান করা কঠিন কারণ এটি সর্বজনীন, তবে "ইউনিভার্সাল" শব্দটি নয় বিশেষত অ-বিশেষজ্ঞদেরকে যেমন "হার্ড" করে তোলে তেমন অসুবিধার অনুভূতি দিন। তবে এটি সমস্যা তৈরি করে কারণ যদিও কেউ যুক্তি দিতে পারে যে কোনও সমস্যার সার্বজনীনতা বোঝায় যে সমস্যাটি সমাধান করা কঠিন, সমস্যা সমাধানের অসুবিধা বোঝায় না যে সমস্যাটি সর্বজনীন is

— কাভেহ

অর্থাত্ সর্বজনীন সমস্যাগুলি কঠিন (ক্লাসে যে কোনও সমস্যা হিসাবে কমপক্ষে কঠিন) তবে কঠিন সমস্যাগুলি সর্বজনীন হওয়ার দরকার নেই।

— কাভেহ

আমার মনে হয় আপনি নেই একটি সেট গঠন করা যেতে পারে যে না একটি Ladner একটি স্টাইলের আর্গুমেন্টের দ্বারা -hard। এখানে একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ। $P$ $P$

জটিলতার ক্লাসে ডায়াগোনাল সেটগুলি অর্জনের জন্য একটি ইউনিফর্ম অ্যাপ্রোচ "(থিওর। কমপ্লেক্স। বিজ্ঞান। 18, 1982), শ্যাঙ্কিং তাঁর গবেষণাপত্রে নিম্নলিখিতটি প্রমাণ করেছেন:

উপপাদ্য ধরুন , , এবং পুনরাবৃত্তভাবে উপস্থাপনযোগ্য জটিলতা ক্লাস এবং সীমাবদ্ধ বৈচিত্রের অধীনে বন্ধ রয়েছে। তারপরে একটি সেট মতো রয়েছে যে , , এবং যদি এবং তুচ্ছ নয় (খালি সেট বা সমস্ত স্ট্রিং) থাকে তবে পলটাইম বহু-এক । $A_1 \notin C_1$ $A_2 \notin C_2$ $C_1$ $C_2$ $A$ $A \notin C_1$ $A \notin C_2$ $A_1 \in P$ $A_2$ $A$ $A_2$

এই প্রয়োগ করতে, সেট ফাঁকা সেট হবে, এবং হতে polytime কমানোর অধীনে -complete, সেট সেট হতে যে হয় -hard সেট , সেট । খালি সেটটি হার্ড হতে পারে না ( কোনও ভাষার জন্য শারদীয়তার সংজ্ঞাটির প্রয়োজন ভাষার মধ্যে কমপক্ষে একটি উদাহরণ থাকতে পারে এবং একটি উদাহরণ অন্তর্ভুক্ত নয়)। অবশ্যই । এবং $A_1$ $A_2$ $EXP$ $C_1$ $P$ $EXP$ $C_2 = P$ $P$ $P$ $A_2$ $C_2$ $C_1$ উপরোক্ত শর্তাদি পূরণের জন্য যাচাই করা যেতে পারে ( কমপ্লিট সেটগুলির ক্ষেত্রে শোওনিংএটি কী করে তার অনুরূপ; এছাড়াওএই সম্পর্কিত প্রশ্নটি দেখুন)। সুতরাং আমরা একটি পেতে করে একটি নয় মধ্যে -hard সমস্যা , এবং যে নয় । কিন্তু কারণ এবং nontrivial হয়, অনেকগুলি এক একটি থেকে রূপান্তরযোগ্য হয় -complete সেট, তাই এটি হয় । অতএব, বিশেষত, $C_2$ $NP$ $A$ $P$ $EXP$ $A$ $P$ $A_1 \in P$ $A_2$ $A$ $EXP$ $EXP$ $A$ হার্ডও হতে পারে না । $P$

উপরের যুক্তি অনুসারে, পুনর্বিবেচনামূলক উপস্থিতি নিশ্চিত করার জন্য তে -সমস্যার সমস্যার সীমাবদ্ধতা প্রয়োজনীয়, যেহেতু সামগ্রিকভাবে পি-হার্ড সমস্যাগুলি পুনরাবৃত্তভাবে উপস্থাপনযোগ্য নয় এবং এমনকি গণনাযোগ্যও নয় । এখন এর "প্রাকৃতিক" উদাহরণগুলি একটি ভিন্ন গল্প ... $P$ $EXP$

— রায়ান উইলিয়ামস
সূত্র

আমি পছন্দ করি এটি

থাকলেও কীভাবে যায় । আমি যদি কিছু ভুল না বুঝি

L = P

$L = P$

— আর্টেম কাজনাটচিভ

@ আর্টেম: আপনি যদি লগ-স্পেস হ্রাসযোগ্যতার অধীনে কঠোরতা বিবেচনা করেন, তবে প্রতিটি অনাস্থার ভাষা এল-হার্ড। সুতরাং, যদি এল = পি হয় তবে ল এর বাইরে আর কোনও ভাষা ল-স্পেস হ্রাসযোগ্যতার অধীনে পি-হার্ড নয়।

— সোসোশি ইতো

পি-এর বাইরে কিন্তু পি-হার্ড নয় এমন সমস্যা উত্পন্ন করার আরেকটি উপায় হ'ল পি'র সাথে অতুলনীয় ক্লাসগুলির জন্য সম্পূর্ণ সমস্যা গ্রহণ করা Say বলুন দশম শ্রেণি পি এর সাথে অতুলনীয়, এই অর্থে যে দুটিই অন্যটির উপসেট নয়। তারপরে একটি এক্স-সম্পূর্ণ সমস্যা অগত্যা পি এর বাইরে (অন্যথায় পি এক্স অন্তর্ভুক্ত করবে) এবং পি-হার্ড নয় (অন্যথায় এক্স পি অন্তর্ভুক্ত করবে)।

আমি কিছু ক্লাস পি এর সাথে তুলনামূলকভাবে ভাবার চেষ্টা করেছি, কিন্তু পি একটি খুব শক্তিশালী শ্রেণি, সুতরাং এরকম খুব বেশি ক্লাস নেই। উদাহরণস্বরূপ, RNC এবং QNC পি DSPACE সঙ্গে অনুপম হতে পারে ( ) ও অনুপম হতে পারে সঙ্গে পি PolyL পি সঙ্গে অনুপম, কিন্তু logspace কমানোর অধীনে সম্পূর্ণ সমস্যার নেই। $\log^2$

— রবিন কোঠারি
সূত্র

আমার মতে, এটি প্রায় একই প্রশ্নটি আলাদাভাবে বর্ণিত, এবং এটি প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার কোনও উপায় নয়। প্রকৃতপক্ষে, ভাষা A, পি বা পি-তে শক্ত হয় না এবং কেবল তখনই যদি ভাষা ভাষাগুলি A তে হ্রাসযোগ্য হয় তবে P এর সাথে তুলনামূলক কম হয় (আপনার পছন্দ হ্রাসের পছন্দটি বিবেচনা করুন)। যতক্ষণ বর্তমান প্রশ্ন সম্পর্কিত, আমি মনে করি এটি বিপরীত দিক থেকে কার্যকর হওয়ার সম্ভাবনা বেশি; এটি হ'ল বর্তমান প্রশ্নের উত্তরগুলি ব্যাখ্যা করার জন্য এটি অন্য উপায়।

— Tsuyoshi Ito