মাতাল পাখি বনাম মাতাল পিঁপড়া: এলোমেলোভাবে দুটি এবং তিনটি মাত্রার মধ্যে চলে

Question

এটি সুপরিচিত যে দ্বিমাত্রিক গ্রিডের এলোমেলো পদক্ষেপটি সম্ভাব্যতার সাথে উত্সে ফিরে আসবে known এটি আরও জানা যায় যে তিনটি মাত্রায় একই র্যান্ডম ওয়াকের উত্সটিতে ফিরে যাওয়ার সম্ভাবনা কঠোরভাবে 1 এরও কম থাকে ।

আমার প্রশ্নটি হ'ল:

এর মাঝে কিছু আছে? উদাহরণস্বরূপ, ধরুন আমার স্থানটি আসলে বিমানের একটি সীমাবদ্ধ অঞ্চল ছিল z- দিকের অনন্তরে। (যাকে প্রায়শই 2.5 মাত্রিক বলা হয়)। দ্বিমাত্রিক ফলাফলগুলি প্রয়োগ হয়, না ত্রিমাত্রিক?

এটি আলোচনায় উঠে এসেছিল এবং এক তাত্ত্বিক যুক্তি বলেছিল যে এটি দ্বিমাত্রিকভাবে আচরণ করে তা হ'ল যেহেতু বিমানের সীমাবদ্ধ অঞ্চলটি শেষ পর্যন্ত আচ্ছাদিত হবে, তাই হাঁটার একমাত্র অনাহুত অংশটি জেড দিকের সাথে 1 ত্রিমাত্রিক রশ্মি এবং তাই ফিরে আসবে আদিতে ঘটবে।

দুই-ডি এবং থ্রি-ডি কেসের মধ্যে বিভক্ত এমন অন্যান্য আকার রয়েছে কি?

আপডেট (মন্তব্য থেকে টানা): এমও সম্পর্কিত একটি সম্পর্কিত প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল - একটি সংক্ষিপ্ত সংক্ষিপ্তসারটি হ'ল যদি হাঁটা সমান (2 + ϵ) মাত্রিক হয় তবে অনিশ্চিত ফেরত ডাইভার্জিং সিরিজ থেকে আলগাভাবে অনুসরণ করবে। যাইহোক, উপরের প্রশ্নটি আইএমও থেকে কিছুটা পৃথক, যেহেতু আমি অন্যান্য ধরণের আকারের বিষয়ে জিজ্ঞাসা করছি যা কিছুটা প্রত্যাবর্তন স্বীকার করতে পারে।

Comments

টপিকটি সম্পর্কে তেমন কিছু জানেন না তবে আমার ভাবনা উঠে আসে! পারকোলেশনগুলিতে এলোমেলো হাঁটা সম্পর্কে কীভাবে? যে কোনও জন্য ভগ্নাংশীয় মাত্রিক ফলাফলের প্রার্থী হতে পারে বলে মনে হয় । $n > 1$

— বনাম

আপনি কোন অর্থে মধ্যবর্তী অর্থ? 1-এর মধ্যে এবং কড়াভাবে 1 এর নীচে খুব বেশি উপস্থিত রয়েছে বলে মনে হয় না; সুতরাং আপনি কি চান চান মধ্যবর্তী স্থানটির মাত্রাটির সাথে সম্মতিযুক্ত? অন্য কথায়, কোনও উত্তর কি প্রাকৃতিক মাত্রার মাত্রা সহ কোনও কিছুর জন্য হাঁটাচলা করতে হবে?

— আর্টেম কাজনাটচিভ

দ্রষ্টব্য: এমও সম্পর্কিত একটি প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল: mathoverflow.net/questions/45098/… - একটি সংক্ষিপ্ত সংক্ষিপ্তসারটি হ'ল যদি হাঁটা সমান ps এপসিলন মাত্রিক হয় তবে অনিশ্চিত ফেরত ডাইভার্জিং সিরিজ থেকে আলগাভাবে অনুসরণ করা হবে। যাইহোক, উপরের প্রশ্নটি কিছুটা আলাদা কারণ যেহেতু আমি অন্যান্য ধরণের আকারের বিষয়ে জিজ্ঞাসা করছি যা কিছুটা প্রত্যাবর্তন স্বীকার করতে পারে। $(2+\epsilon)$

— সুরেশ ভেঙ্কট

এলোমেলো ফ্র্যাক্টাল বক্ররেখা দিয়ে হেঁটে যাচ্ছে ।

— অ্যারন স্টার্লিং

বিমানের একটি সীমানা অঞ্চলের জন্য -axis বরাবর অসীমের বাইরে বেরিয়ে আসা , আমরা মূলত একটি মোটাতাজাকৃত বিমানের চেয়ে ঘন রেখার সাথে কাজ করছি; তেমনি, আমি আচরণটি দ্বি-মাত্রিক মামলার চেয়ে এক-মাত্রিক ক্ষেত্রে আরও কাছাকাছি হওয়ার আশা করব। $z$

— জেমস কিং

Answer 1

পেরেস এবং লিয়নসের গাছ এবং নেটওয়ার্ক সম্পর্কিত সম্ভাবনাটি অধ্যায় ২ (পৃষ্ঠা 50) এ উল্লেখ করেছে:

এটি বোঝার একটি উপায় হ'ল এবং মধ্যে মধ্যবর্তী স্থানগুলির ধরণ সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করা । উদাহরণস্বরূপ, কীলক বিবেচনা করুন$\mathbb{Z}^2$$\mathbb{Z}^3$

$$W_f := \{ (x, y, z) : |z| \leq f(|x|) \}$$

যেখানে an একটি ক্রমবর্ধমান ফাংশন। ছেড়ে প্রান্তের সংখ্যা অর্ডার , যাতে ন্যাশ-উইলিয়ামস মানদণ্ড অনুসারে,$f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$$W_f \cap \{(x, y, z) : |x| \text{ or } |y| \leq n\}$$n(f(n)+1)$

$$\sum_{n \geq 1}\frac{1}{n(f(n)+1)} = \infty$$

পুনরাবৃত্তি জন্য যথেষ্ট।

Comments

এটি একটি দুর্দান্ত রেফারেন্স এবং এ জাতীয় পদক্ষেপ কখন ডাইভারেজ হবে তা নির্ধারণের জন্য একটি সাধারণ কৌশল রয়েছে। সুন্দর!

— সুরেশ ভেঙ্কট

Answer 2

3x3x3 স্পেসে একটি 3-ডি র্যান্ডম ওয়াক (যেমন একটি রুবিকের ঘনক্ষেত্রের মতো) অরিজিনে ফিরে আসার সম্ভাবনা কম থাকে, যদি বাইরে থেকে হাঁটাচলা শুরু হয়; তবে 2x2x2 স্পেসের একটিটি, যেমন কেন্দ্রের উত্স সহ 3x3x3 স্পেস। সুতরাং মনে হচ্ছে কিছু মধ্যবর্তী আকার রয়েছে তবে সম্ভবত খুব বেশি নয়।

Comments

তবে একটি টরয়েড 2-মাত্রিক। আমি এটি আশ্চর্যজনক মনে করি না যে এটি তার শুরুতে ফিরে আসবে। 2 ডি এর একটি বিশেষ কেসের মতো মনে হচ্ছে।

— জন মোলার

আর আবদ্ধ! বিমানের তুলনায় মূলটিতে ফিরে আসা আরও সহজ হওয়া উচিত ।

— ডেরিক স্টোলি

উফ, আপনি ঠিক বলেছেন। আমি এটিকে অন্য আকারে সম্পাদনা করব।

— এক্সপিডিএ