আদেশযুক্ত ভেরিয়েবলগুলির সাথে এক পাসে রৈখিক প্রোগ্রামিং সলিউশন

Question

আমার লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যার একটি পরিবার রয়েছে: সর্বাধিক করুন $c' x$ বিষযে $A x\le b$, $x\ge0$। এর উপাদানগুলি$A$, $b$, এবং $c$ nonnegative পূর্ণসংখ্যার হয়, $c$কঠোর ইতিবাচক। ($x$ এছাড়াও অবিচ্ছেদ্য হওয়া উচিত তবে আমি পরে এটি নিয়ে উদ্বিগ্ন হব)

এটি প্রায়শই আমার অ্যাপ্লিকেশনটিতে ঘটে থাকে যে সহগগুলি $A$ এবং $c$ সরলিকৃত এক-পাস অ্যালগরিদম প্রতিটি পছন্দের জন্য অনুকূল সমাধান দেয় এমন are $b$: এক-পাস অ্যালগরিদম উপাদানগুলি নির্ধারণ করে $x_1,\dots,x_n$ ক্রমানুসারে, প্রতিটি চয়ন $x_j$ ইতিমধ্যে নির্ধারিত মানগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ বৃহত্তম সম্ভাব্য মান হতে $x_1,\dots,x_{j-1}$। সিমপ্লেক্স ভাষায়, ভেরিয়েবলগুলি প্রবেশের ক্রমটি কেবলমাত্র$x_1$ প্রতি $x_n$, এবং এটি পরে সমাপ্ত হয় $n$ধাপ। এটি পূর্ণ অন সিমপ্লেক্সের তুলনায় অনেক সময় সাশ্রয় করে।

এই অ্যালগরিদম কাজ করে যখন কলামগুলি $A$ এবং উপাদান $c$"সস্তা" থেকে "ব্যয়বহুল" থেকে বাছাই করা হয়েছে। একটি "সস্তা" ভেরিয়েবল একটি কলাম$A$ সাধারণত ছোট মান সহ, যার জন্য সংশ্লিষ্ট উপাদান $c$ বড়: যে উপাদান জন্য $x$ সীমাবদ্ধতায় খুব বেশি চাহিদা না থাকায় আপনি প্রচুর আউটপুট পান $b$। সুতরাং অ্যালগরিদম কেবল বলেছে "সহজ জিনিসগুলি আগে করুন"।

আমার প্রশ্ন: কি সম্পত্তি $A$ এবং $c$ আমাদের আশ্বাস দেবে যে এই সরলিকৃত অ্যালগরিদমটি সবার জন্য কাজ করে $b$? আমার প্রাথমিক অনুমানটি ছিল যে ননজারো উপাদানগুলি$A$ প্রতিটি সারিতে ক্রমবর্ধমান হওয়া উচিত, তবে এটি সঠিক নয়।

এখানে কিছু উদাহরণ দেওয়া আছে $c=(1,1,1)$: $A_1=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 0\end{pmatrix}$, $A_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix}$, $A_3=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, $A_4=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$। এই সমস্তগুলির জন্য, ক্রমযুক্ত অ্যালগোরিদম এর সমস্ত মানের জন্য অনুকূল সমাধান দেয়$b$ (সংখ্যার পরীক্ষায়) $A_3$ একমাত্র এটি যার জন্য কলামগুলির সমস্ত অনুমতিগুলিও কাজ করে। $A_1$ এবং $A_3$ বিশেষত বিস্মিত হয়, যেহেতু $(1,1,3)$ চেয়ে বেশি ব্যয়বহুল দেখাচ্ছে $(1,3,0)$ এবং $(1,1,1)$ বেশী ব্যয়বহুল $(1,0,0)$।

আমি সাহিত্যের যে কোনও পয়েন্টার, এই জাতীয় কোনও সমস্যা বা কোনও পরামর্শের জন্য অত্যন্ত কৃতজ্ঞ হব। অবশ্যই অন্যান্য ক্ষেত্রে থাকতে পারে যেখানে কিছু ভেরিয়েবলগুলি অন্যের তুলনায় "সস্তা" হতে নির্ধারিত হতে পারে এবং নিরাপদে প্রথমে সম্পন্ন করা যেতে পারে। বছরের পর বছর ধরে লিনিয়ার প্রোগ্রামিংয়ে যে সমস্ত কাজ করা হয়েছে তার সাথে, মনে হচ্ছে এরকম কিছু অবশ্যই সামনে এসেছে তবে আমি এটি সন্ধান করতে পারিনি।

Answer 1

সম্ভবত সবচেয়ে বিখ্যাত উদাহরণ যেখানে কোনও লোভী অ্যালগরিদম এলপি সমাধানের জন্য পরিচিত, এটি পরিবহন সমস্যার বিশেষ ক্ষেত্রে। হফম্যান ("সরল রৈখিক প্রোগ্রামগুলিতে", কনভেক্সিটি-তে , শুদ্ধ গণিতে প্রসেসিং অফ সিম্পোসিয়া-এর 7 ম খণ্ড , পৃষ্ঠা 317-327, 1963) প্রমাণ করেছে যে যদি কোনও (সর্বাধিকীকরণ) পরিবহণ সমস্যার জন্য ম্যাট্রিক্স মঞ্জ সম্পত্তিকে সন্তুষ্ট করে ($c_{ij} + c_{kl} \geq c_{il} + c_{kj}$ কখন $1 \leq i < k \leq n$, $1 \leq j < l \leq n$) তারপরে একটি অনুকূল সমাধান আপনার বর্ণনার মতো লোভী উপায়ে পাওয়া যাবে।

১৯৮৫ সাল থেকে হফম্যানের একটি জরিপ পত্রিকাও রয়েছে (" লোভী অ্যালগরিদমগুলিতে সফল হওয়া ") যার মধ্যে তিনি পরিচিত ঘটনাগুলি নিয়ে আলোচনা করেন যেখানে লোভী অ্যালগরিদম কোনও এলপিকে অনুকূল সমাধান দেয়। তাঁর নিজের কাজের উপরেও উদ্ধৃত করেছেন (যা সম্পর্কে তিনি বলেছেন, "বেশিরভাগ লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা [১৯ 19৩ সালে] লোভী অ্যালগরিদমের কাছে সংবেদনশীল হয়ে ওঠার বিষয়টি মঙ্গ ধারণার বিশেষ ঘটনা ছিল") ছাড়াও তিনি এডমন্ডসের লিনিয়ার প্রোগ্রামিং ব্যাখ্যার উল্লেখ করেছিলেন ম্যাট্রয়েডের জেনারালাইজেশন এবং কেস নিয়ে আলোচনা করার পরে$A$ অন্যান্য বিষয়গুলির মধ্যে নননেজিটিভ।

আমি কল্পনা করেছি যে আরও সাম্প্রতিক ফলাফল রয়েছে তবে আশা করি এটি অন্তত আপনার প্রশ্নের উত্তর দেয় এবং আপনাকে কোথায় কোথায় দেখার কিছু ধারণা দেয়।

Comments

আমি তার পরামর্শের জন্য অধ্যাপক স্পিভিকে ধন্যবাদ জানাতে চাই। রেফারেন্সগুলি তাড়া করতে আমার কিছুটা সময় নিয়েছিল তবে আমি উত্তর হিসাবে একটি পূর্ণ বিবরণ সরবরাহ করব।

— রবার্ট আলমগ্রেন 21

Answer 2

প্রফেসর স্পিভির পরামর্শের জন্য ধন্যবাদ, আমি অবশেষে আমার কাছে শিল্পের অবস্থা বলে মনে করেছি: উলরিচ ফাইগল, অ্যালান জে হফম্যান এবং ওয়াল্টার কার্ন, "নননেগিটিভ বক্স-লোভী ম্যাট্রিকেসের একটি বৈশিষ্ট্য", সিয়াম জে ডিস্ক। ম্যাথ। 9 (1996) পিপি 1-6। আমি বর্ণিত অ্যালগরিদম যদি সবার জন্য অনুকূল সমাধান দেয় তবে একটি ম্যাট্রিক্স "লোভী"$b$। একটি ম্যাট্রিক্স হ'ল "বাক্স-লোভী" যদি লোভী অ্যালগরিদম অতিরিক্ত অবস্থার সাথে সর্বোত্তম সমাধান দেয়$x\le d$ সবার জন্য $b$ এবং সব $d\ge0$। স্পষ্টতই, লোভীর চেয়ে বাক্স-লোভী একটি শক্তিশালী অবস্থা।

সর্বদা এটি অনুমান $c_1\ge\dots\ge c_n>0$। ফাইগল, হফম্যান এবং কার্ন প্রমাণ করেছেন যে$A$ বক্স লোভী যদি হয় এবং কেবল যদি এটির না থাকে $k\times(k+1)$ (কোন জন্য $k$) ফর্মের সাবম্যাট্রিক্স $\begin{pmatrix} r_1 & s_1 & & & \\ r_2 & & s_2 & & \\ \vdots & & & \ddots \\ r_k & & & & s_k \end{pmatrix}$ প্রত্যেকটির সাথে $r_j>0$ এবং $\sum_{i:s_i>0} \frac{r_i}{s_i} > 1$। সাবম্যাট্রিকগুলি নিষ্কাশনের সময়, সারিগুলির স্বেচ্ছাসেবী অনুমতি দেওয়া হয় তবে কলাম নয় এবং সারি এবং কলামগুলির স্বেচ্ছাসেবী সাবসেটিং অনুমোদিত। এইভাবে বিশেষভাবে, সাথে$k=1$, প্রতিটি সারিতে nonzero উপাদান $A$ অবশ্যই nondecreasing করা উচিত।

দুর্ভাগ্যক্রমে, দেখা যাচ্ছে যে আমার সমস্যায় ম্যাট্রিকগুলি কোনও বাক্স-লোভী নয় যদিও আমি এখনও বিশ্বাস করি যে তারা লোভী। উদাহরণস্বরূপ, আমার মধ্যে$A_1$শর্তের উপরে লঙ্ঘন করা হয়েছে এবং এই ম্যাট্রিক্স লোভী হলেও বক্স-লোভী নয়। আমি যতদূর জানি, লোভী ম্যাট্রিক্স সনাক্ত করার জন্য কোনও ফলাফল নেই।

Comments

আমি খুশী আমার উত্তর আপনাকে এটি খুঁজে পেতে সাহায্য করেছে!

— মাইক স্পাইভে

Answer 3

এরকম কোনও কিছুর সহজতম উদাহরণ হতে পারে ভগ্নাংশ ন্যাপস্যাক সমস্যা যেখানে আইটেমগুলিকে ভগ্নাংশের অনুমতি দেওয়া হয়। এই ক্রমটি (এবং এর এলপি দ্বৈত) ওজন অনুসারে লাভের জন্য আইটেমগুলি বাছাই করে সমাধান করা যেতে পারে, এই ক্রমে দীর্ঘতম ক্রমটি বেছে নেওয়া যা সম্ভাব্য এবং শেষ আইটেমটিকে ফ্র্যাকালাইজাইজ করা।