একটি গ্রাফ দেওয়া হয়েছে, এটির প্রান্ত সংযোগটি কমপক্ষে n / 2 হয় কিনা তা স্থির করুন

অ্যালন ও স্পেন্সার রচিত প্রব্যাবিলিস্টিক মেথড বইয়ের প্রথম অধ্যায়টিতে নিম্নলিখিত সমস্যার কথা উল্লেখ করা হয়েছে:

একটি গ্রাফ , এর প্রান্ত সংযোগটি কমপক্ষে হয় কিনা তা স্থির করুন । $G$ $n/2$

লেখক একটি অস্তিত্ব উল্লেখ অ্যালগরিদম Matula দ্বারা এবং তা উন্নত । $O(n^3)$ $O(n^{8/3}\log n)$

আমার প্রশ্ন হ'ল, এই সমস্যার জন্য সর্বাধিক পরিচিত সময়টি কী?

আমাকে উন্নত অ্যালগরিদম বর্ণনা করুন।

প্রথমে সিদ্ধান্ত নিন এর সর্বনিম্ন ডিগ্রি কমপক্ষে কি না। যদি তা না হয় তবে প্রান্ত সংযোগটি স্পষ্টভাবে চেয়ে কম । $G$ $n/2$ $n/2$

এর পরে, যদি সেই ঘটনা না, তারপর প্রভাবশালী সেট গনা এর আকারের । এটি সময় সময়ে করা যেতে পারে , বইয়ের আগের বিভাগে বর্ণিত একটি অ্যালগরিদম দ্বারা। $U$ $G$ $O(\log n)$ $O(n^2)$

এরপরে, সত্যটি প্রমাণ করতে এটি নীচে ব্যবহার করা খুব কঠিন নয়:

যদি সর্বনিম্ন ডিগ্রি তবে সর্বাধিক আকারের যে কোনও প্রান্ত যা এবং বিভক্ত করে , কোনও প্রভাবশালী সেটটির অবশ্যই তার ভ্যারিকটিগুলি এবং উভয় ক্ষেত্রেই থাকতে হবে । $\delta$ $\delta$ $V$ $V_1$ $V_2$ $G$ $V_1$ $V_2$

এখন প্রভাবশালী সেট বিবেচনা । যেহেতু ন্যূনতম ডিগ্রি রয়েছে তাই চেয়ে কম আকারের কোনও প্রান্ত কাটাও অবশ্যই পৃথক করতে হবে । সুতরাং প্রতিটি আমরা ক্ষুদ্রতম প্রান্ত কাটার আকার খুঁজে পাই যা এবং পৃথক করে । এসব প্রতিবার মধ্যে সম্পন্ন করা যাবে $U = \{u_1, \ldots , u_k\}$ $G$ $n/2$ $n/2$ $U$ $i\in \{2, k\}$ $u_1$ $u_i$ একটি সর্বাধিক-প্রবাহ অ্যালগরিদম ব্যবহার করে। এভাবে মোট সময় নেওয়া হয় । $O(n^{8/3})$ $O(n^{8/3}\log n)$

ds.algorithms open-problem graph-algorithms

— বিনায়ক পাঠক
সূত্র

বিটিডব্লিউ, অবশ্যই সর্বাধিক-প্রবাহ অ্যালগরিদমের উন্নতি এখানেও উন্নতি ঘটাবে। কিন্তু আমার মনে হয়

শ্রেষ্ঠ সর্বোচ্চ প্রবাহ বর্তমানে জ্ঞাত অ্যালগরিদম হয়?

O (n^{8 / 3})

$O(n^{8/3})$

— বিনায়ক পাঠক

হতে পারে আমি কিছু ভুল বুঝছি, তবে কার্জার-স্টেইন এলোমেলোভাবে মিনকুট অ্যালগরিদমের চলমান সময় নেই

\tilde{O} (n^{2})

$\tilde{O}(n^2)$

— সাশো নিকোলভ

কি

প্রত্যাশিত চলমান সময়? আমি যে অ্যালগরিদম বর্ণনা করেছি তা সম্পূর্ণ নির্দোষ।

O (n^{2})

$O(n^2)$

— বিনায়ক পাঠক

অ্যালগরিদমটি মন্টি কার্লো: এটি সর্বদা সময়

এবং উচ্চ সম্ভাবনার সাথে ন্যূনতম কাটকে আউটপুট করে। ব্যর্থতার সম্ভাবনা অবশ্যই চলমান সময়ের উপর নির্ভর করে। দুঃখিত, আপনার প্রশংসাপত্রটি অ্যালন-স্পেন্সার হ'ল আমি কেবল ধরে নিয়েছি যে অ্যালগরিদমটি এলোমেলোভাবে করা হয়েছে :)

\tilde{O} (n^{2})

$\tilde{O}(n^2)$

— সাশো নিকোলভ

আপনি যদি একটি নির্জনবাদী অ্যালগরিদম খুঁজছেন তবে আমার মনে হয় আপনার প্রশ্নের মধ্যে এটি নির্দিষ্ট করা উচিত। আমি কমপক্ষে কাটা জন্য

চেয়ে ভাল ডিস্ট্রিমেন্টিক অ্যালগরিদম সম্পর্কে সচেতন নই (এই চলমান সময়টি অর্জনকারী একটি সহজ অ্যালগরিদমের জন্য স্টোয়ার-ওয়াগনার দেখুন)। আপনার আকর্ষণীয় সমস্যার জন্য আমরা নির্বিচারে আরও কতটা ভাল করতে পারি তা আকর্ষণীয় (স্পষ্টকটিতে 8/3 একটি সেরা বাউন্ডের জন্য অপ্রাকৃত মনে হয় তবে কে জানে)।

O (m n + n^{2} \log n)

$O(mn + n^2\log n)$

— সাশো নিকোলভ

$n/2$ $n/2$ $n/2$ $X$ $\bar X$ $x := |X| \leq n/2$ $X$ $x - 1$ $X$ $n/2 - (x - 1)$ $x (n/2 - x + 1)$ $x (n/2 - x + 1) \geq n/2$ $(x - 1)(n/2 - x) \geq 0$

আশ্চর্যের ব্যাপার যে, শুধু আমি খুঁজে পেতে এই ফল রেফারেন্স এই একটি বায়োইনফরম্যাটিক্স সম্মেলনে থেকে। এটি অন্য কোথাও প্রমাণিত হয়েছে কিনা তা দেখার জন্য আমি সত্যিই আগ্রহী হতে চাই be

সম্পাদনা: পূর্বের রেফারেন্সটি হ'ল: গ্যারি চার্ট্র্যান্ড: একটি যোগাযোগ সমস্যার ক্ষেত্রে গ্রাফ-তাত্ত্বিক পদ্ধতি , সিয়াম জে অ্যাপল। ম্যাথ। 14-4 (1966), পৃষ্ঠা 778-781।

— ফ্যাল্ক হ্যাফনার
সূত্র