স্যাট সম্পর্কিত একটি টপোলজিকাল স্পেস: এটি কি কমপ্যাক্ট?

Satisfiability সমস্যা তাত্ত্বিক সি এস একটি মৌলিক সমস্যা অবশ্যই, হয়। আমি অসীম অনেকগুলি ভেরিয়েবলগুলির সাথে সমস্যার একটি সংস্করণ নিয়ে খেলছিলাম। $\newcommand{\sat}{\mathrm{sat}} \newcommand{\unsat}{\mathrm{unsat}}$

বেসিক সেটআপ। যাক একটি nonempty এবং হতে এর সম্ভবত অসীম সেট ভেরিয়েবল । আক্ষরিক হয় হয় একটি পরিবর্তনশীল বা এর প্রত্যাখ্যান । একটি ধারা একটি বিচ্ছিন্ন অবস্হা হয় সসীম লিটারেল সংখ্যা । পরিশেষে, আমরা ধারাগুলির সেট হিসাবে একটি সূত্র সংজ্ঞায়িত করি । $X$ $x \in X$ $\neg x$ $c$ $F$

একটি নিয়োগ একটি ফাংশন । আমি যখন স্পষ্টভাবে শর্তটি সংজ্ঞায়িত করব না যখন কোনও অ্যাসাইনমেন্ট কোনও পূরণ করে; এটি সামান্য জটিল, এবং স্ট্যান্ডার্ড SAT এর মতো। সবশেষে একটি অ্যাসাইনমেন্ট একটি সূত্রকে সন্তুষ্ট করে যদি তা প্রতিটি উপাদান বিধি পূরণ করে। যাক জন্য বরাদ্দকরণ পরিতৃপ্ত সেট হতে , আর দিন সম্পূরক হতে । $X$ $\sigma : X \to \{0,1\}$ $\sigma$ $\sat(F)$ $F$ $\unsat(F)$ $\sat(F)$

একটি টপোলজিকাল স্পেস।

আমাদের লক্ষ্য হ'ল এর সমস্ত অ্যাসাইনমেন্টের স্পেস শেষ করা, টপোলজিকাল স্ট্রাকচার সহ এই কল করুন । আমাদের বদ্ধ সেটগুলি the ফর্মের যেখানে একটি সূত্র। আমরা যাচাই করতে পারি যে এটি সত্যই একটি টপোলজি: $X$ $\Sigma$ $\sat(F)$ $F$

খালি সূত্র খালি সেট নেই যার মধ্যে কোনও ক্লজ রয়েছে যা সমস্ত কার্যক্রমে সন্তুষ্ট হয়; সুতরাং বন্ধ আছে। $\emptyset$ $\Sigma$
যে কোনও এর সূত্র একটি বিপরীত। সুতরাং বন্ধ রয়েছে। $\{ x, \neg x \}$ $x \in X$ $\emptyset$
নির্বিচার চৌরাস্তার অধীনে বন্ধ। ধরুন হ'ল প্রতিটি একটি সূত্র । তারপরে । $F_{i}$ $i \in I$ $\sat \left(\bigcup_{i \in I} F_i\right) = \bigcap_{i \in I} \sat(F_i)$
সীমাবদ্ধ ইউনিয়নের অধীনে বন্ধ ধরুন এবং দুটি সূত্র, এবং সংজ্ঞায়িত করুন তারপরে his এটির জন্য একটি যুক্তি প্রয়োজন, তবে আমি এটি এড়িয়ে যাব। $F$ $G$ $F \lor G := {c \lor d : c \in F, d \in G} .$ $F \vee G := \{ c \vee d \,:\, c \in F, d \in G \}.$ $\sat(F \vee G) = \sat(F) \cup \sat(G)$

ফোন করুন এই টপোলজি , "satisfiability টপোলজি" (!) উপর । অবশ্যই, এই টোপোলজির খোলা সেটগুলি ফর্মটির । তদুপরি, আমি লক্ষ্য করেছি যে ওপেন সেটগুলির সংগ্রহ জন্য একটি ভিত্তি গঠন করে । (ব্যায়াম!) $\mathcal T$ $\Sigma$ $\unsat(F)$

{u n s a t (c) : c is a clause}

$\{ \unsat(c) \,:\, c \text{ is a clause} \}$

T

$\mathcal T$

কম্প্যাক্ট? আমি অনুভব করি যে এটি আকর্ষণীয়, ভয়ঙ্কর উপকারী না হলে জিনিসগুলি দেখার উপায়। আমি বুঝতে চাই যে এই টপোলজিকাল স্পেসটিতে traditionalতিহ্যবাহী আকর্ষণীয় সম্পত্তি যেমন কমপ্যাক্টনেস, সংযোগতা ইত্যাদি রয়েছে কিনা তা এই পোস্টে আমরা আমাদেরকে সংক্ষিপ্ততার মধ্যে সীমাবদ্ধ করব:

যাক ভেরিয়েবল একটি countably অসীম সংগ্রহ করা। ¹ হল অধীনে কম্প্যাক্ট ? $X$ $\Sigma$ $\mathcal T$

এক নিম্নলিখিত প্রমাণ করতে পারেন

প্রস্তাব. th ম্যাথ্যাকাল কমপ্যাক্ট হয় এবং যদি কেবল সমস্ত অসন্তুষ্টিজনক সূত্র জন্য থাকে তবে সেখানে একটি সীমাবদ্ধ অসন্তুষ্টিজনক সাবফর্মুলা রয়েছে । $\mathcal T$ $F$ $\{ c_1, c_2, \ldots, c_m \} \subseteq F$

(কঠোর অনুশীলন নয়!) বেশ কয়েকদিন চিন্তাভাবনা করার পরে, এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার ক্ষেত্রে আমার তেমন অগ্রগতি নেই। কমপ্যাক্টনেসের পক্ষে বা বিপক্ষে আমার কাছে শক্ত প্রমাণও নেই। আপনি কিছু পদ্ধতির পরামর্শ দিতে পারেন?

অবশেষে, একটি বোনাস প্রশ্ন হিসাবে:

এরকম কাঠামো আগেও অধ্যয়ন করা হয়েছিল?

¹ গণনাযোগ্য সীমাবদ্ধতা কেবল সরলতার জন্য; এটি ভেরিয়েবলের সীমাবদ্ধ থেকে পরবর্তী প্রাকৃতিক পদক্ষেপের মতো অনুভব করে। $X$

— শ্রীবতসান নারায়ণন
সূত্র

(১) টপোলজি ট্যাগের উইকি সংক্ষিপ্তসার ভিত্তিতে , এই ট্যাগটি এখানে প্রাসঙ্গিক নয়। তবুও আমি এটি অন্তর্ভুক্ত করেছি যেহেতু প্রশ্নটি স্পষ্টভাবে পয়েন্ট-সেট টপোলজির সাথে সংযুক্ত করে। (২) এই প্রশ্নটি ম্যাথ.এসই বা এখানে বেশি উপযুক্ত কিনা তা আমি নিশ্চিত ছিলাম না; আমি এখানে এটি পোস্ট করার সিদ্ধান্ত নিয়েছে। (৩) প্রশ্নের দৈর্ঘ্য সম্পর্কে দুঃখিত। যেহেতু আমি অনুমান করি যে প্রত্যেকে টপোলজিকাল স্পেসের সাথে পরিচিত হবে না, তাই আমি স্টাফটিকে আরও কিছুটা বিশদভাবে ব্যাখ্যা করেছি।

— শ্রীভাতসান নারায়ণন

আমি টপোলজি ট্যাগের সংজ্ঞা আরও প্রশস্ত করতে একটি ট্যাগ উন্নতির অনুরোধ জমা দিয়েছি।

— জোশুয়া হারমান

ছোট মন্তব্য: একটি সূত্র এফ (যা সিএনএফ আকারে রয়েছে) দেওয়া হয়েছে, এটি এটিকে ডিএনএফ ফর্মে রূপান্তর করতে পারে, এটিকে এড়িয়ে চলা এবং ডি মরগানকে সিএনএফ আকারে একটি সূত্র এফ তৈরি করতে ব্যবহার করতে পারে যেমন বসে (এফ) = আনস্যাট (এফ)) এবং আনস্যাট (এফ) = স্যাট (এফ ')। এর মাধ্যমে, আপনার টপোলজিতে এটি যদি খোলা থাকে তবে কোনও সেট বন্ধ রয়েছে।

— অ্যালেক্স দশ ব্রিংক

আপনার প্রস্তাবটি কেবল প্রোপোকশনাল লজিকের জন্য কমপ্যাক্টনেস উপপাদ্যের ( এন.ইউইকিপিডিয়া.org / উইকি / কমপ্যাক্টনেস_ থিওরেম ) এর একটি বিশেষ কেস নয় ?

— ট্র্যাভিস পরিষেবা

@ ট্রাভিস এটি হতে পারে, আমি নিশ্চিত নই। যুক্তিতে আমার পটভূমি বেশ ঘাটতি, তাই আমি এই বিষয়গুলি খুব স্পষ্ট দেখতে পাচ্ছি না। :)

— শ্রীভাতসান নারায়ণন

আপনি যা করছেন তা বুলিয়ান বীজগণিতের টপোলজিকাল উপস্থাপনা অর্জন করছে। বুলিয়ান বীজগণিতগুলির উপস্থাপনার অধ্যয়নটি অন্তত লিন্ডেনবাউম এবং তারস্কির কাছে ফিরে যায় যারা প্রমাণ করেছিলেন (১৯২৫ সালে, আমি মনে করি) সম্পূর্ণ, পারমাণবিক বুলিয়ান বীজগণিতগুলি পাওয়ারসেটের জালাগুলির কাছে বিচ্ছিন্ন।

$x_1, x_1 \land x_2, \ldots$

বুলিয়ান বীজগণিতগুলির জন্য প্রস্তরটির প্রতিনিধিত্বমূলক উপপাদ্য প্রতিটি বুলিয়ান বীজগণিত একটি টপোলজিকাল স্পেসের ক্লোপেন সাবটেটের জালিকের জন্য বিচ্ছিন্ন।

$\mathit{true}$

বুলিয়ান বীজগণিতের স্টোন স্পেসটি একটি কমপ্যাক্ট, সম্পূর্ণ সংযোগ বিচ্ছিন্ন হাউসডর্ফ স্থান।

বেশ কয়েকটি ফলাফল রয়েছে যা স্টোনের প্রতিনিধিত্বকে বিভিন্ন দিকে প্রসারিত ও সাধারণকরণ করে। একটি প্রাকৃতিক প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা হয় যে জালাগুলির অন্যান্য পরিবারের এই জাতীয় প্রতিনিধিত্ব রয়েছে কিনা। পাথরের ফলাফল বিতরণী জালাগুলিতেও প্রযোজ্য। সালিশী জালাগুলির জন্য টপোলজিকাল উপস্থাপনা আলাসদায়ের উরখার্ট ১৯ 197৮ সালে দিয়েছিলেন। বুলিয়ান বীজগণিতের তুলনায় বন্টনকারী জালাগুলি কাঠামোতে আরও বেশি বৈচিত্র্য উপভোগ করে এবং এটি অত্যন্ত আগ্রহী। হিলারি প্রিস্টলি ১৯ 1970০ সালে আদেশপ্রাপ্ত টপোলজিকাল স্পেসের ধারণাটি ব্যবহার করে বিতরণ মামলার জন্য আলাদা প্রতিনিধিত্ব করেছিলেন । সেট-ভিত্তিক উপস্থাপনার পরিবর্তে, আমরা পোসেট-ভিত্তিক উপস্থাপনা এবং টপোলজগুলি খুঁজে পেতে পারি।

এই কাগজপত্রগুলির নির্মাণগুলির একটি উল্লেখযোগ্য সম্পত্তি রয়েছে। স্টোনটির নির্মাণ মানচিত্রগুলি কেবল বোলিয়ান বীজগণিতগুলি টপোলজিকাল স্পেসগুলিতে নয়: বুলিয়ান বীজগণিত সম্পর্কিত কাঠামোগত সম্পর্কগুলি ফলাফল টোপোলজগুলির মধ্যে কাঠামোগত বৈশিষ্ট্যগুলিতে অনুবাদ করে। এটি বিভাগগুলির মধ্যে দ্বৈততা। এই জাতীয় ফলাফলের পুরো আয়নাকে বলা হয় স্টোন দ্বৈততা । অনানুষ্ঠানিকভাবে, দ্বৈততাগুলি গাণিতিক মহাবিশ্বগুলির মধ্যে আমাদের সুনির্দিষ্ট অনুবাদ দেয়: সেটগুলির সংমিশ্রণ জগত, জালগুলির বীজগণিত বিশ্ব, টপোলজির স্থানিক জগত এবং যুক্তির অনুচ্ছেদী বিশ্ব। এখানে কয়েকটি সূচনা পয়েন্ট যা সাহায্য করতে পারে।

ডেভি এবং প্রিস্টলির দ্বারা জালিয়াতি এবং আদেশের পরিচিতির 11 তম অধ্যায় স্টোনটির উপপাদ্যটি অন্তর্ভুক্ত করেছে।
ম্যাথু গুইন-এর স্লাইডগুলি উপপাদ্যটি আবরণ করে এবং সংক্ষিপ্ততার প্রমাণ দেয়। ম্যাথু (মন্তব্যগুলিতে) পল হাল্মোস দ্বারা বুলিয়ান বীজগণিত পরিচিতির পরামর্শ দেয় ।
প্রপোজেনশনাল লজিক থেকে মডেল লজিকের দিকে যাওয়ার ক্ষেত্রে, বুলিয়ান বীজগণিত একটি অভ্যন্তর সহ একটি জোড়-সংরক্ষণকারী অপারেটর এবং টপোলজি দ্বারা প্রসারিত হয়। জোনসন এবং তারস্কির ১৯৫২-এর পেপার, অপারেটরদের সাথে বুলিয়ান বীজগণিত অত্যন্ত স্বাচ্ছন্দ্যজনক এবং আধুনিক স্বরলিখনের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।
ব্ল্যাকবার্ন, ডি রিজক এবং ভেনিমা দ্বারা মডেল লজিকের অধ্যায় 5 স্টোনটির উপপাদ্য এবং অপারেটরগুলির সাথে বুলিয়ান বীজগণিতগুলিতে এর প্রসারকে অন্তর্ভুক্ত করেছে।
পিটার জনস্টোন রচিত স্টোন স্পেসস বিভিন্ন ধরণের বীজগণিতগুলির জন্য এই জাতীয় ফলাফলের পর্যালোচনা করে।

— বিজয় ডি
সূত্র

স্টোন দ্বৈততা আরও সাধারণ। জনস্টোন এবং ভিকারের বইগুলি (উইকিপিডিয়া নিবন্ধের রেফারেন্স অংশটি দেখুন) উভয়ই বেশ সুন্দর, যদিও প্রথমটি বেশ উন্নত।

— কাভেহ

হ্যাঁ, তবে আমি নিশ্চিত নই যে ওপি তার সম্পূর্ণ গৌরবে স্টোন দ্বৈততা সম্পর্কে জানতে চেয়েছিল কিনা। আপনার মন্তব্য প্রতি কয়েকটি লিঙ্ক যুক্ত করেছেন। যদি কেউ কেবল উপস্থাপনের উপপাদ্য চান তবে ডেভি এবং প্রিস্টলির উপস্থাপনা যথেষ্ট।

— বিজয় ডি

@ কাভেঃ প্রশংসা করেছেন এখনও একটি উত্তরের কাঙ্ক্ষিত বিশদ-স্তরের সনাক্তকরণ এবং মন্তব্যের সুরটি পড়তে অভ্যস্ত হয়ে যাচ্ছি। এমন নয় যে আমার মতো খারাপ লাগা বৃদ্ধের মতো শোনাচ্ছে। (হাসি মুখে)

— বিজয় ডি

এটি স্টোন দ্বৈততা এবং সিএসে সংযোগ সম্পর্কিত কোনও ব্লগ পোস্টের জন্য দুর্দান্ত স্টেপিং অফ পয়েন্ট হবে।

— সুরেশ ভেঙ্কট

পল হালমোসের "বুলিয়ান বীজগণিতের পরিচয়" এছাড়াও উপস্থাপনা উপপাদাগুলির পাশাপাশি অন্যান্য দ্বৈত উপপাদাদিও অন্তর্ভুক্ত করে।

— এমজিউইন