সর্বনিম্ন অসম্পৃশ্যযোগ্য 3-সিএনএফ সূত্র

Question

আমি বর্তমানে 3-সিএনএফ সূত্রগুলি অর্জন করতে (বা নির্মাণ করা) এবং অধ্যয়ন করতে আগ্রহী যাগুলি সন্তুষ্টিজনক নয় এবং ন্যূনতম আকারের। এটি হ'ল, তাদের অবশ্যই যথাসম্ভব কয়েকটি ক্লজ (এম = 8) থাকতে হবে এবং যতটা সম্ভব স্বতন্ত্র ভেরিয়েবল (এন = 4 বা তার বেশি) যেমন কমপক্ষে একটি ধারা মুছে ফর্মুলাকে সন্তুষ্টযোগ্য করে তুলবে।

আরও আনুষ্ঠানিকভাবে, যে কোনও যোগ্যতা অর্জনকারী 3-সিএনএফ সূত্র এফ অবশ্যই নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করবে:

1. এফ অসন্তুষ্টিজনক
2. এফের স্বতন্ত্র ভেরিয়েবলের ন্যূনতম পরিমাণ (4+) থাকে (বা তাদের অবহেলা)
3. এফের সর্বনিম্ন পরিমাণ ক্লজ (8+) রয়েছে
4. এফ এর প্রতিটি যথাযথ উপসেট সন্তোষজনক (কোনও স্বেচ্ছাচারী ধারা বা ধারাগুলি অপসারণের অনুমতি দেয়)।
5. এফ-তে কোনও 2 টি ধারা নেই যা 2-সিএনএফ অনুচ্ছেদে যেমন হ্রাসযোগ্য (i, j, k) & (i, j, ~k)তা অনুমোদিত নয় (তারা এটিকে হ্রাস করে (i,j))

উদাহরণস্বরূপ, এন = 4 সহ অনেকগুলি ন্যূনতম 8-ধারা 3-সিএনএফ সূত্র রয়েছে যা অসন্তুষ্টিজনক। একটির জন্য, 4-হাইপারকিউবটি দেখে এবং এটিগুলি প্রান্তগুলি (2-মুখ) দিয়ে কভার করার চেষ্টা করে, কেউ নিম্নলিখিত অসন্তুষ্টিজনক সূত্রটি তৈরি করতে পারেন:

1. (~A,  B,  D)
2. (~B,  C,  D)
3. ( A, ~C   D)
4. ( A, ~B, ~D)
5. ( B, ~C, ~D)
6. (~A,  C, ~D)
7. ( A,  B,  C)
8. (~A, ~B, ~C)

এটি সর্বনিম্ন অসন্তুষ্টিজনক 3-সিএনএফ সূত্র হিসাবে যোগ্যতা অর্জন করে কারণ:

1. এটি অসন্তুষ্টিজনক:

   • ৩-৪ ধারা সমান: D or A=B=C
   • ৪--6 ধারা সমান: ~D or A=B=C
   • তারা বোঝায় A=B=C, কিন্তু 7 এবং 8 ধারা দ্বারা এটি একটি বৈপরীত্য।

2. এখানে কেবল 4 টি পৃথক ভেরিয়েবল রয়েছে।

3. এখানে মাত্র 8 টি ধারা রয়েছে।
4. যে কোনও ক্লজ সরিয়ে ফেলা এটি সন্তুষ্টিজনক হয়।
5. কোনও 2 টি ধারা 2-সিএনএফ ধারাটিতে 'হ্রাসযোগ্য' নয়।

সুতরাং আমি অনুমান করি যে আমার সামগ্রিক প্রশ্নগুলি এখানে আমার কাছে গুরুত্বের সাথে রয়েছে:

1. উপরের শর্তগুলি পূরণ করে এমন আরও কয়েকটি ছোট ন্যূনতম সূত্রগুলি কী কী? (উদাহরণস্বরূপ, 4,5,6 ভেরিয়েবল এবং 8,9,10 টি ধারা)

2. এই জাতীয় ন্যূনতম সূত্রগুলির কোনও ধরণের ডাটাবেস বা "অ্যাটলাস" রয়েছে?

3. এগুলি নির্মানের জন্য কোন ননরানডম অ্যালগরিদম বিদ্যমান, যদি থাকে?

4. এই সূত্রের বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে কিছু অন্তর্দৃষ্টি কী কী? সেগুলি এন (# ভেরিয়েবল) এবং এম (# ধারা) প্রদত্ত গণনা বা অনুমান করা যায়?

আপনার উত্তরগুলির জন্য আগাম ধন্যবাদ। আমি কোন উত্তর বা মন্তব্য স্বাগত জানাই।

Comments

প্রতিটি 3-সিএনএফ ক্লজটি সম্ভাব্য সমাধানগুলির 1/8-th মঞ্জুরি দেয়। অস্বীকৃত সমাধানের সেটগুলি ওভারল্যাপ হয়ে গেলে পরিষ্কারভাবে আপনার সর্বদা কমপক্ষে 8 টি ধারা বা তার বেশি প্রয়োজন। যেহেতু আপনার শর্ত 5 নন-ওভারল্যাপিং সেটগুলিকে এন = 3 এর জন্য মঞ্জুরিপ্রাপ্ত সমাধানগুলি সেট করতে নিষেধ করেছে, আপনার এই মামলার জন্য 8 টিরও বেশি ধারা থাকতে হবে: নোট করুন যে আপনার উদাহরণটি শর্তটি

— মানছে

হ্যাঁ, আপনি আন্দ্রে সমস্ত পয়েন্টে সঠিক। একটি অসন্তুষ্টিজনক 3-সিএনএফ সূত্রের জন্য 8 টি ধারাগুলি প্রয়োজনীয় ন্যূনতম, এবং তাই যোগ্যতা সূত্রগুলি সন্ধান / নির্মানের ক্ষেত্রে শর্ত 5 আমার উদ্দেশ্যগুলির জন্য কিছুটা বাধাও হতে পারে। আমি বুঝতে পারি যে এন = 3 এর জন্য, শর্ত 5 অবশ্যই লঙ্ঘন করা উচিত, তবে কেবল উদাহরণস্বরূপ অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছিল। আমি আকারের এন = 4 + এর সূত্রগুলিতে কঠোরভাবে আগ্রহী (অর্থাত্ 4 বা আরও বেশি ভেরিয়েবল তবে খুব বেশি নয়))। সম্ভবত আমি কন্ডিশন 5 স্ক্র্যাচ করব

— এমএএফ

আমি মনে করি যে এন = 3 সহ আপনার "উদাহরণ" উদাহরণস্বরূপ নয় বরং বিভ্রান্তিকর, কারণ (আন্দ্রে যেমন তাঁর মন্তব্যে দেখিয়েছেন) এটি আপনি এই প্রশ্নে যা জিজ্ঞাসা করছেন তার উদাহরণ এটি নয়। এন = 4 সহ উদাহরণটি পুরোপুরি সূক্ষ্ম এবং বর্ণনামূলক। আপনি কেবল এন = 3 দিয়ে উদাহরণটি সরাবেন না কেন?

— Tsuyoshi Ito

শুভ পয়েন্ট, স্যুওশি। সম্পন্ন.

— এমএএফ

@MAF: একটি তুচ্ছ উদাহরণে সরানোর শর্ত 5 ফলাফল: ক্লজ ধারণকারী unsatisfiable উদাহরণস্বরূপ দিয়ে শুরু এবং { এক্স ' } , তারপর প্রতিটি দফা প্রতিস্থাপন সি দুই ক্লজ সঙ্গে সি ∪ { বনাম } এবং সি ∪ { বনাম ' } একটি জন্য টাটকা পরিবর্তনশীল $\{x\}$$\{x'\}$$C$$C \cup \{v\}$$C \cup \{v'\}$$v$ , এবং সমস্ত ধারাটিতে 3 টি আক্ষরিক না হওয়া পর্যন্ত চালিয়ে যান। এটি 8 টি দফা সহ একটি 7 ভেরিয়েবল অসম্পৃশ্যযোগ্য সূত্র দেয়। এটি সলিউশন স্পেসটি 8 টি বিচ্ছিন্ন টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো টুকরো করার জন্য

— আন্দ্রেস সালামন

Answer 1

আপনার উদাহরণে সূত্রটি ধরুন, ধারাটি সরিয়ে নিন এবং নিম্নলিখিত $\lnot A \lor \lnot B \lor \lnot C$$2$ ধারা যুক্ত করুন:

¬ বি ∨ ¬ সি $\lnot A \lor \lnot B \lor \lnot E$
$\lnot B \lor \lnot C \lor E$

আপনি , এম = সহ একটি ন্যূনতম অসন্তুষ্টিজনক সূত্র পাবেন$n=5$ মান্য শর্ত 5 এর। $m=9$

সাধারণভাবে, আপনি এলোমেলোভাবে একটি ধারা এবং এটি 2 এ বিভক্ত করতে পারেন$l_1 \lor l_2 \lor l_3$$2$ :

$l_1 \lor l_2 \lor v$
$l_2 \lor l_3 \lor \lnot v$

$v$$n$$m$$1$$r=\frac{m}{n}$$1$$n$$r=1$

Comments

উত্তরের জন্য ধন্যবাদ, ওয়াল্টার। আপনার বর্ণিত পদ্ধতিটি 'অনুরূপ' কাঠামোর আরও কিছুটা বৃহত্তর ন্যূনতম আনস্যাট ফর্মুলা তৈরির জন্য প্রকৃতপক্ষে খুব সহায়ক that

— এমএএফ

@ এমএফ: আপনি খুব স্বাগতম। এমন একটি আকর্ষণীয় প্রশ্ন পোস্ট করার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ।

— জর্জিও ক্যামেরানী

Answer 2

আমি বিশ্বাস করি 5 নম্বর শর্তটি সত্যই আপনার উদাহরণে রাখা হয় না এবং কখনও অনুষ্ঠিত হতে পারে না।
নিম্নলিখিত ধারাগুলি সমতুল্য হওয়া যাক:

( p, q) = (~A,B,D)(A,~B,~D)

যা আমাদের A, B, C এবং D এর ধারাগুলিকে নতুন ভেরিয়েবল পি, কিউ, আর এবং এর নিম্নলিখিত মানচিত্রের মানচিত্র তৈরি করতে দেয়:

A B C D | p q r s
-----------------
0 0 0 0 | 0 1 0 0
0 0 0 1 | 0 1 0 1
0 0 1 0 | 0 1 1 0
0 0 1 1 | 0 1 1 1
-----------------
0 1 0 0 | 1 0 0 0
0 1 0 1 | 0 0 0 0
0 1 1 0 | 1 0 0 1
0 1 1 1 | 0 0 0 1
-----------------
1 0 0 0 | 0 0 1 0
1 0 0 1 | 1 0 1 0
1 0 1 0 | 0 0 1 1
1 0 1 1 | 1 0 1 1
-----------------
1 1 0 0 | 1 1 0 0
1 1 0 1 | 1 1 0 1
1 1 1 0 | 1 1 1 0
1 1 1 1 | 1 1 1 1
-----------------

এবং এখন আমরা পি, কিউ, আর এবং এস এর ক্ষেত্রে এ, বি, সি এবং ডি এর ধারাগুলি প্রকাশ করতে পারি:

1. (~A,  B,  D) = ( p, q,~r, s)( p, q,~r,~s)
2. (~B,  C,  D) = (~p, q, r, s)(~p,~q, r, s)
3. ( A, ~C   D) = ( p,~q,~r, s)(~p, q, r,~s)
4. ( A, ~B, ~D) = ( p, q, r, s)( p, q, r,~s)
5. ( B, ~C, ~D) = ( p,~q,~r,~s)(~p, q,~r,~s)
6. (~A,  C, ~D) = (~p, q,~r, s)(~p,~q, r,~s)
7. ( A,  B,  C) = ( p,~q, r, s)( p,~q, r,~s)
8. (~A, ~B, ~C) = (~p,~q,~r, s)(~p,~q,~r,~s)

যেহেতু সমস্ত ধারাগুলি এ, বি, সি, এবং ডি ধারাগুলির সাথে দেখানো এবং যুক্ত রয়েছে। তারপরে আমরা দাবি করতে পারি যে p, q, r, এবং s এর ধারাগুলি হ্রাস করা যেতে পারে:

( p, q, r)
( p, q,~r)
( p,~q, r)
( p,~q,~r)
(~p, q, r)
(~p, q,~r)
(~p,~q, r)
(~p,~q,~r)

যা স্পষ্টতই শর্ত নম্বর vio লঙ্ঘন করছে

আমি যা উল্লেখ করতে চাই তা হ'ল উদাহরণটিও স্পষ্টভাবে দেখায় না যে 2 টি ধারা রয়েছে যা 2-সিএনএফ-এ কমানো যেতে পারে, তবে স্পষ্টতই হ'ল (যেমন (~ এ, বি, ডি) এবং (এ, ~ বি, ~ ডি)), আপনি প্রদত্ত ভেরিয়েবলগুলি দিয়ে 2-সিএনএফ প্রকাশ করতে সক্ষম নাও হতে পারেন তবে সমস্যার জন্য আপনি যখন বিভিন্ন ম্যাপিং প্রবর্তন করেন তখন আপনি সেগুলি প্রকাশ করতে সক্ষম হবেন।