নির্দিষ্ট ধরণের প্রশ্নের জন্য অনুকূল প্রিপ্রোসেসিং

ধরা যাক আমাদের উপাদান সহ একটি সেমিগ্রুপ রয়েছে । আমাদের লক্ষ্য পণ্য গণনা করা । $(S,\circ)$ $S=\lbrace s_1,s_2,\dots,s_n\rbrace$ $s_i\circ s_{i+1}\circ \cdots\circ s_j$

অ্যালন এবং শাইবার তাদের কাগজে "অন লাইন পণ্য প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য সর্বোত্তম প্রক্রিয়াকরণ" প্রমাণ করেছেন যে কেবলমাত্র ব্যবহার করে আমরা সর্বাধিক পদক্ষেপে (যেখানে বিপরীত আকরম্যান ফাংশন) এমন প্রতিটি প্রশ্নের উত্তর দিতে পারি prove প্রিপ্রোসেসিংয়ের রৈখিক পরিমাণ। $O(\alpha(n))$ $\alpha$

যদি এটি পছন্দ হয় যে প্রতিটি ক্যোয়ারী এর পদক্ষেপে উত্তর দেওয়া যেতে পারে , তবে কি কেউ কেবল লিনিয়ার করতে পারবেন ? $s_i\circ s_{i+1}\circ \cdots\circ s_j$ $O(\log(j-i))$

(এই প্রশ্নটি ম্যাথওভারফ্লোতে ব্রেন্ডন ম্যাকের সাম্প্রতিক এই প্রশ্নের দ্বারা অনুপ্রাণিত হয়েছে ।)

cc.complexity-theory graph-theory ds.data-structures

— জের্গজি জাইমি
সূত্র

আপনি এমও প্রশ্নে একটি লিঙ্ক যুক্ত করতে পারেন?

— সুরেশ ভেঙ্কট

এটি গ্রুপের চেয়ে সেমিগ্রুপ হওয়ার কোনও কারণ?

— হক বনেট

@ হাক: যদি এটি একটি গোষ্ঠী হয় তবে উপরের লিঙ্কে নোয়ামের নির্মাণ এ জাতীয় একটি অ্যালগরিদম দেয়।

— জের্গজি জাইমি

পাতায় (ক্রম) সুষম বাইনারি গাছ তৈরি করুন । প্রতিটি অভ্যন্তরীণ নোড সাবট্রি এ রুট পাতা গুণফল সংরক্ষণ । এই প্রাক প্রসেসিং স্পষ্টতই O সময় এবং স্পেসে চলে। $s_1,\dots,s_n$ $v$ $v$ $(n)$

এখন, একটি পণ্য গনা (যেখানে ) থেকে আপ গাছ পদব্রজে ভ্রমণ অন্তত সাধারণ পূর্বপুরুষ (LCA) থেকে এবং । এলসিএর ডান সন্তানকে বাদ দিয়ে পথের জন্য ঝুলন্ত প্রতিটি ডান সন্তানের মধ্যে থাকা পণ্য সংগ্রহ করুন। অন্য কথায়, আপনি আপ থেকে যেতে তার পিতা বা মাতা থেকে , যদি একটি বাম সন্তান , তারপর সঞ্চিত পণ্যের কুড়ান 'র ডান সন্তান। একইভাবে, থেকে এলসিএ পর্যন্ত যান এবং বাম বাচ্চাদের সঞ্চিত পণ্যগুলি সেই পথটি বন্ধ রেখে সংগ্রহ করুন। এবং সহ এই সমস্ত পণ্যগুলিকে $s_i\circ\ldots\circ s_j$ $i<j$ $i$ $i$ $j$ $u$ $v$ $u$ $v$ $v$ $j$ $s_i$ $s_j$ যাতে।

— আরি
সূত্র