সেট ইউনিয়ন ব্যবহার করে sensক্যমত্য ক্লাস্টারিং

Question

আমি ইতিমধ্যে ম্যাথওভারফ্লোতে কিছুক্ষণ আগে এই প্রশ্নটি পোস্ট করেছি , তবে আমার জ্ঞানের সর্বোত্তমভাবে এটি এখনও উন্মুক্ত, তাই আমি কেউ এখানে শুনেছি এই আশায় এটিকে পুনরায় পোস্ট করছি।

সমস্যা বিবৃতি

যাক , এবং মধ্যে তিনটি পার্টিশন হতে nonempty অংশ (দ্বারা প্রকাশ এর, 's এবং সেটের {' গুলি) }। দুটি অনুমান এবং যা ন্যূনতমকি আর পি পি এইচ কি আর আই জে 1 , 2 , … , এন π σ পি ∑ আই = 1 | P i ∪ Q π i ∪ R σ i | $P$$Q$$R$$p$$P_h$$Q_i$$R_j$$1,2,\ldots,n$$\pi$$\sigma$

$$\sum_{i=1}^p\left|P_i\cup Q_{\pi_i}\cup R_{\sigma_i}\right|.$$

প্রশ্নাবলি

1) এই সমস্যাটির জটিলতা (বা সংশ্লিষ্ট সিদ্ধান্ত সমস্যার ক্ষেত্রে) কী?

2) সমস্যাটি যদি বহুবর্ষের সময়ে সমাধানযোগ্য হয় তবে এটি কি পার্টিশনের নম্বর জন্য সত্যই থাকবে ?$k\geq 4$

পূর্ববর্তী কাজ

বার্মান, দাশগুপ্ত, কাও এবং ওয়াং ( http://dx.doi.org/10.1016/j.ipl.2007.06.008 ) পার্টিশনের জন্য একই ধরণের সমস্যা অধ্যয়ন করে, তবে উপরের পরিবর্তে জোড়াযুক্ত ব্যবহার করে সমষ্টি। তারা প্রমাণ করে যে সমস্যাটি জন্য ম্যাক্স-এসএনপি-হার্ড , এমনকি যখন প্রতিটি অংশে দু'টি উপাদান রয়েছে তবে কিউবিক গ্রাফগুলিতে ম্যাক্স-সিউটি হ্রাস করে তাদের সমস্যার একটি বিশেষ ক্ষেত্রে প্রতিদান দিন এবং একটি -যে কোনও জন্য প্রক্সিমেশন । এখনও অবধি আমি সাহিত্যে আমার সমস্যাটি খুঁজে পেতে বা তাদের প্রমাণটি মানিয়ে নিতে সক্ষম হইনি।Δ ∪ কে = 3 ( 2 - 2 / কে ) $k$$\Delta$$\cup$$k=3$$(2-2/k)$$k$

সহজ সাবক্যাস

বহুবারের সময়ে দ্রবণযোগ্য বলে মনে করেছি এখানে কয়েকটি উপ-কেস রয়েছে:

• কেস ;$k=2$
• কেস , যে কোনও ;$p=2$$k$

তদ্ব্যতীত, যখন , কোনও দুটি অংশ সমান হয় না এবং সমস্ত অংশের আকার , তখন আমাদের নীচের দিকে (আমি জানি না এটি শক্ত কিনা)।2 3 পি + $k=3$$2$$3p+1$

Answer 1

সমস্যাটি এনপি-হার্ড। প্রমাণটি নিম্নলিখিত সমস্যা থেকে হ্রাস দ্বারা হয়:

ত্রিপক্ষীয় গ্রাফ দেওয়া সঙ্গে প্রতিটি অংশে ছেদচিহ্ন, আছে মধ্যে প্রান্তবিন্দু-টুকরো করা ত্রিভুজ ?এন এন $G$$N$$N$$G$

এখানে হ্রাস আছে: একটি দৃষ্টান্ত দেওয়া উপরে সমস্যার যাক , , প্রতিটি অংশে ছেদচিহ্ন এর সেট বোঝাতে , এবং মধ্যে প্রান্ত সেট হতে এবং । এছাড়াও, প্রতিটি অংশে ।$G$$A_1$$A_2$$A_3$$G$$E_{ij}$$A_i$$A_j$$1,\dotsc,N$

আমরা আপনার সমস্যার একটি উদাহরণ , যেখানে একটি বড় সংখ্যা (বলুন, ) এবং । প্রথমof of এর উপাদানগুলি এর প্রান্তের সাথে । পার্টিশন অনুসরণ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়: জন্য আছে প্রান্ত সেট তম প্রান্তবিন্দু তাদের এন্ড পয়েন্ট এক হিসাবে। স্পষ্টত এই সেট টুকরো করা হয় এবং তাদের ইউনিয়ন হল । else হ'ল সমস্ত কিছু, অর্থাৎ,$n = |E(G)| + M$$M$$M = 10 |E(G)|$$p = N + 1$$|E(G)|$$\{1,\dotsc,n\}$$G$$P$$P_i$$i=1,\dotsc,N$$i$$A_1$$E_{1,2} \cup E_{1,3}$$P_{N+1}$$E_{2,3} \cup \{|E(G)| + 1, \dotsc, |E(G)| + M\}$ । একইভাবে, আমরা সংজ্ঞায়িত ব্যবহার পরিবর্তে , এবং ব্যবহার পরিবর্তে ।$Q$$A_2$$A_1$$R$$A_3$$A_1$

এখন, আমরা দাবি করি যে এই উদাহরণটির সর্বাধিক ব্যয়ের সমাধান রয়েছে solution যদি এবং কেবল এর ত্রিভুজগুলি পৃথক করে থাকে। এই, প্রথম নোটিশ যে যেহেতু দেখার জন্য বড়, কোনো সমাধান কম আছে যা খরচ চেয়ে মানচিত্র আবশ্যক থেকে এবং । এটি ইতিমধ্যে জন্য অ্যাকাউন্ট করে মোট ব্যয়ের , সুতরাং আমাদের কাছে । এখন, নোট প্রতিটি ছেদ এবং প্রতিটি সর্বাধিক এক (এবং একইভাবে জন্য এবং , এবং এছাড়াও জন্যজি এন এম 2 এম পি এন + 1 কিউ এন + 1 আর এন + 1 | ই ( ছ ) | + এম 2 | ই ( ছ ) | - 3 এন পি আই কিউ জে পি আই আর কে কি জে আর কে এন $3|E(G)| - 3N + M$$G$$N$$M$$2 M$$P_{N+1}$$Q_{N+1}$$R_{N+1}$$|E(G)| + M$$2 |E(G)| - 3 N$$P_i$$Q_j$$P_i$$R_k$$Q_j$এবং )। সুতরাং, এই সমস্ত ছেদগুলি একই সাথে 1 টি হতে পারে যদি উদ্দেশ্য ফাংশনটি হ্রাস করা হয়। এই অনুরূপ মধ্যে ত্রিভুজ গ্রন্থিচ্যুত ।$R_k$$N$$G$