পি-সম্পূর্ণ ভাষার ঘনত্ব

ধরুন একটি বুলিয়ান ভাষা, ওভার সসীম স্ট্রিং হয় । যাক মধ্যে স্ট্রিং সংখ্যা হতে দৈর্ঘ্য সঙ্গে । জন্য একটি ফাংশন ইতিবাচক বাস্তব সংখ্যার ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা থেকে হয়েছে উপরের ঘনত্ব যদি সব ভালোই বড় জন্য । $L$ $\{0,1\}$ $L_n$ $L$ $n$ $d(n)$ $L$ $d(n)$ $L_n \le 2^n d(n)$ $n$

কোনও পি-সম্পূর্ণ বুলিয়ান ভাষায় উচ্চ ঘনত্ব ? $O(1/n)$

প্রেরণা

সমতা উপরের ঘনত্ব আছে । হ্যাঁ (সমস্ত সসীম বাইনারি স্ট্রিংয়ের ভাষা) এর উচ্চ ঘনত্ব 1 থাকে। যে কোনও সীমাবদ্ধ ভাষার উচ্চ ঘনত্ব 0 থাকে। $1/2$
একটি বিচ্ছিন্ন ভাষা এর বৈশিষ্ট্য রয়েছে যে সেখানে একটি বহুপদী রয়েছে যা সকল । তাহলে একটি বিক্ষিপ্ত ভাষা, তারপর একটি বহুপদী জন্য যে এর চেয়ে ডিগ্রী এক তদ্বুর্ধ্ব , তাই উপরের ঘনত্ব শূন্য। $L$ $p(n)$ $L_n - L_{n-1} \le p(n)$ $n$ $L$ $L_n \le p_1(n)$ $p_1$ $p$ $L$
জিন-ইয়ে এবং ডি। শিবকুমার দেখিয়েছেন যে পি = এল (= লোগস্পেস) না থাকলে একটি পি-সম্পূর্ণ ভাষা স্পার হতে পারে না। পি = সহ-পি, যেহেতু পরিপূরক অপ্রয়োজনীয় কোনও ভাষা পি-এল না হলে পি-সম্পূর্ণ হতে পারে না unless
একটি সাধারণ বৈষম্য দ্বারা (উদাহরণস্বরূপ রোজার এবং শোয়েনফিল্ড 1962 এর করোলারি 2 দেখুন ), প্রাইমসের উপরের ঘনত্ব । প্রশ্নগুলি কি প্রাইমস, ফ্যাক্টরিংগুলি পি-হার্ড হিসাবে পরিচিত? প্রাইমস পি-হার্ড কিনা তা আলোচনা করে (এটি বর্তমানে উন্মুক্ত বলে মনে হচ্ছে)। $(\log_2 e)/n$
কোনও অর্থে, জটিলতার শ্রেণীর জন্য সম্পূর্ণ (বা সর্বজনীন) ভাষাতে শ্রেণীর সমস্ত কাঠামো থাকে। সুতরাং আমার অস্থায়ী হাইপোথিসিসটি, কাই এবং শিবকুমারের ফলাফলের বুনো এক্সপ্লোলেশনের উপর ভিত্তি করে এমন হবে যে এই জাতীয় ভাষাগুলি খুব বেশি বিচ্ছিন্ন হতে পারে না। বিচ্ছিন্ন ভাষাগুলি সংজ্ঞায়িত করা সাধারণ বহুপদী বাউন্ড খুব সীমাবদ্ধ বলে মনে হয়, তাই আমি এমন বাউন্ড সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছি যা কিছুটা কম সীমাবদ্ধ।

কাজ নিম্নতা Fortnow, Hemaspaandra এবং অন্যান্যদের দ্বারা এছাড়াও সম্ভবত সম্পর্কিত হয়।

প্রশ্নটি পি ব্যতীত অন্য ক্লাসগুলির বিষয়ে জিজ্ঞাসা করা যেতে পারে, তবে আমি কোনও ফলাফল মনে করতে পারি না যা বলে, এস্যাট এর ঘনত্ব প্রতিষ্ঠা করবে । প্রাসঙ্গিক সাহিত্যের দিকে নির্দেশকরা সবচেয়ে স্বাগত জানায়। $k$

প্রাপ্তি স্বীকার

সম্পর্কিত প্রশ্নগুলি প্রাইমগুলির শর্তসাপেক্ষ ঘনত্বও দেখুন । দুর্ভাগ্যক্রমে অসুস্থ-প্রশ্নযুক্ত, এই প্রশ্নের পূর্ববর্তী সংস্করণে সহায়ক মন্তব্যের জন্য @ স্যুওশি ইটো এবং @ কাভেহকে ধন্যবাদ জানাই।

cc.complexity-theory reference-request p-hardness

— আন্দ্রেস সালামন
সূত্র

আমি মনে করি

(বা অন্য বহু বহিরাগত ভগ্নাংশ) এর অনেকগুলি স্ট্রিং রয়েছে, উচ্চতর এবং নিম্নতর সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করা আরও ভাল প্রশ্ন।

2^{n} / n

$2^n/n$

— কাভেহ

সাধারণ পি-সম্পূর্ণ সমস্যার ঘনত্ব কী তা আমি জানি না, তবে এখানে একটি প্যাডিং যুক্তি যা দেখায় যে কোনও ঘনত্বকে কীভাবে নীচে নামিয়ে আনতে হবে : $1/n$

$L_n \subseteq \{0,1\}^n$ $d(n) \in \omega(1/n)$ $L'_{n + m} = \{x0^m | x \in L_n\}$ $m$ $n$ $L'$ $L'_k = \emptyset$ $k \neq n + m$ $L'$

d^{'} (n + m) = \frac{| L_{n + m}^{'} |}{2^{n + m}} = \frac{| L_{n} |}{2^{n + m}} \leq \frac{d (n)}{2^{m}}

$d'(n + m) = \frac{|L'_{n + m}|}{2^{n + m}} = \frac{|L_n|}{2^{n + m}} \leq \frac{d(n)}{2^m}$

$M$ $L$ $M'$ $L'$ $x$ $n$ $m(n)$ $m(n) \in poly(n)$

$1/n$ $m(n) = n$ $d'(2n) \leq d(n)/2^n \in O(1/n)$

— আর্টেম কাজনাটচিভ
সূত্র

m

$m$

n

$n$

1 / \log n

$1/\log n$

আমার মনে হয়, আপনার কেবল এম = লগ লগ দরকার হবে। এম = এফ (এন) এর জন্য সাধারণভাবে আপনি যে কোনও চ নির্বাচন করতে পারেন যা লগ-স্পেসে রয়েছে (আনারিতে এন সহ)। (বা এনসি যদি আপনি এই হ্রাসগুলি পছন্দ করেন)।

— আর্টেম কাজনাটচিভ