বহুবর্ষীয় সূত্রের আকার হ্রাস করার জটিলতা

28

যাক একটি ডিগ্রী হতে বহুপদী মধ্যে ভেরিয়েবল উপর , যেখানে ধ্রুবক (বলতে 2 বা 3)। আমি ক্ষুদ্রতম সূত্র খুঁজে পেতে চাই , যেখানে "সূত্র" এবং "সূত্র আকার" সুস্পষ্ট ভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় (যেমন। জন্য বহুপদী ক্ষুদ্রতম সূত্র হয় )। $f(x_1,\dots,x_n)$ $d$ $n$ $\mathbb{F}_2$ $d$ $f$ $x_1 x_2 + x_1 x_3$ $x_1(x_2+x_3)$

এই সমস্যার জটিলতা কী - এটি এনপি-হার্ড? জটিলতা উপর নির্ভর করে ? $d$

[আরো আনুষ্ঠানিকভাবে কোনো সূত্র (ওরফে "গাণিতিক সূত্র") একটি মূলী বাইনারি গাছ, যার পাতা পারেন একটি ইনপুট পরিবর্তনশীল বা ধ্রুবক 1. সমস্ত গাছের অন্যান্য ছেদচিহ্ন সঙ্গে লেবেলযুক্ত দিয়ে লেবেল করা হয় প্রতিটি বা । সূত্রের আকারটি ব্যবহৃত পাতার সংখ্যা। সূত্রটি বহুবর্ষীয় পুনরাবৃত্তির সাথে গণনা করে : শীর্ষগুলি তাদের বাচ্চাদের যোগফল , শীর্ষে প্রোডাক্টটি গণনা করে ute ] $+$ $\times$ $+$ $\mathbb{F}_2$ $\times$

cc.complexity-theory formulas

— অ্যাশলে মন্টনারো
সূত্র

1

আমরা কি এই সমস্যায় বহুপদী পরিচয় পরীক্ষা কমাতে পারি না?

— কাভেহ

4

আমার ধারণা, কোনও সংযোগ থাকতে পারে, তবে আমি অবিলম্বে এটি দেখতে পাচ্ছি না - বিশেষত ডিগ্রীতে বাধা থাকার কারণে। এছাড়াও, সমস্যাটি যদি বহুবচনীয় পরিচয় পরীক্ষার চেয়ে আরও বেশি কঠিন হয় তবে এটি আরও কতটা কঠিন তা জানতে আগ্রহী হবে।

— অ্যাশলে মন্টনারো

আপনার যদি, কিভাবে গেটস সংখ্যা (হয়

s, এবং

প্রকৃত সূত্র আকার এর সাথে সম্পর্কিত সূত্রে গুলি)? জন্য

, নির্মাণ Ehrenfeucht এবং Karpinski 90 "গেট" -formula আকার জন্য প্রাসঙ্গিক হতে (2XOR প্যারা দেখুন) বলে মনে হয়, কিন্তু আমি আর এটি সম্পর্কে চিন্তা করতে হবে।

+

$+$

\times

$\times$

d = 2

$d=2$

— আলেসান্দ্রো কোসেন্টিনো

সূত্রটি বাইনারি গাছ হিসাবে, সূত্রের আকারের সংজ্ঞাটি আমি এখানে ব্যবহার করেছি (পাতার সংখ্যা) গেটের সংখ্যার (অভ্যন্তরীণ প্রান্তে) এবং একটির সমান। তবে আমি সূত্র আকারের অন্য কোনও সংজ্ঞাবহ সংজ্ঞায়নের জন্য কোনও ফলাফলের বিষয়ে আগ্রহী হব। আমি নিশ্চিত নই যে আমি এহরনফিউচ্ট এবং কার্পিনস্কির ফলাফলের সাথে একটি সংযোগ দেখছি, কারণ এটি সূত্রের আকার হ্রাস করার চেয়ে সমাধান গণনা জটিলতার বিষয়ে ...

— অ্যাশলে মন্টানারো

শূন্যের সংখ্যা গণনা করার জন্য, তারা প্রথমে সূত্রটিকে একটি সমতুল্য রূপান্তরিত করে, যা আমি গুণ এবং সংযোজনের ক্ষেত্রে ন্যূনতম হওয়া স্মরণ করি। যদিও এই ন্যূনতমতার প্রমাণ আমার কাছে নেই। আবার, এটি কেবল ক্ষেত্রে

জবাব দেবে ।

d = 2

$d=2$

— আলেসান্দ্রো কোসেন্টিনো

7

সূত্রের আকার হ্রাস করার সমস্যাটিকে আপনি কো-এনপি-কমপ্লিট টিটোলজি সমস্যা (একটি বুলিয়ান সূত্র দেওয়া, এটি কি একটি টোটোলজি?) হ্রাস করতে পারেন (যেহেতু সূত্রটি যদি সত্যের সমতুল্য হয় তবে এটি একটি টাউটোলজি)। তদুপরি, 3 ডিএনএফ-এর জন্য টাউটলজি (3CNF- এর জন্য স্যাট অনুসারে) সহ-এনপি-সম্পূর্ণ।

— ডানা মোশকভিত্জ
সূত্র

1

আমি প্রশ্নটি বুঝতে হিসাবে,

না একটি ফাংশন হিসাবে একটি বহুপদী হিসেবে নির্ণিত হবে। হয়তো কিছু স্পষ্টতা প্রয়োজন।

f

$f$

— মার্কাস ব্লুজার

3

জিএফ (2) এর উপর একটি ডিগ্রি -3 বহুবর্ষ প্রদত্ত 3 এসএটি থেকে চেকিংয়ের একটি সম্ভাব্য হ্রাস রয়েছে, [শ্লোকগুলির এলোমেলো রৈখিক সংমিশ্রণগুলি দেখে) এর শূন্য রয়েছে কিনা, এবং এরপরে এটি পরীক্ষা করে একটি ডিগ্রি- জিএফ (2) ওভার 3 পলি, এটি অল-শূন্য কিনা [1 থেকে পলি বিয়োগ করে]।

— ডানা মোশকভিত্জ

1

ধন্যবাদ! ডিগ্রি 2 বহুভুজের জন্য পরিস্থিতি কী আপনার কোনও ধারণা আছে? এছাড়াও (যদিও এটি সম্ভবত খুব ঘন) আমি জিপিএফ (2) ওভার ডিগ্রি 3 বহুপদী, মান আকারে লিখিত, শূন্যের বহুত্ববর্ণ না হয়ে কীভাবে সমস্ত-শূন্য হতে পারে তা দেখার জন্য আমি লড়াই করছি। স্পষ্টতই, আমি ধারণা করছি যে আমার সমস্যাটির ইনপুটটি বহুতোষের একটি সংখ্যক সার্কিটের বর্ণনা না দিয়ে বহুবর্ষের বিবরণ।

— অ্যাশলে মন্টনারো

2

আপনার উত্তরের জন্য আবারো ধন্যবাদ। আমি এখনও শূন্যের বিষয়ে নিশ্চিত নই, যদিও; আমার কাছে মনে হয় যে জিএফ (2) এর উপরে বহু এন-ভেরিয়েট বহুপদী বহুভিত্তিক (এন) পদগুলির সাথে সহজেই একটি আদর্শ আকারে রূপান্তরিত হতে পারে যেখানে বহিরাগতটি শূন্য কিনা না তা স্পষ্টই, কেবলমাত্র প্রতিস্থাপন

এবং শর্তাদি সংগ্রহ।

x^{k} \to x

$x^k \rightarrow x$

— অ্যাশলে মন্টানারো

4

প্রকৃতপক্ষে যদি আপনি এটিকে বর্ণনার হিসাবে বহু-রেখাযুক্ত করে থাকেন তবে একটি বহুপাক্ষিক প্রতিটি ইনপুটটিতে শূন্যের মূল্যায়ন করে যদি এটি শূন্যের বহুপদী হয়। একটি প্রমাণ: ন্যূনতম ডিগ্রীর একটি শূন্য-বিহীন মোম নির্বাচন করুন। অন্যান্য সমস্ত ভেরিয়েবল শূন্যতে সেট করুন। একমাত্র বেঁচে থাকা মনমোমিয়াল হ'ল এম থেকে 1 তে ভার্সগুলি সেট করে আপনি একটি শূন্য-আউটপুট পাবেন।

— মানু

4

ঠিক উত্তরটি নয় তবে আশাবাদী সাহায্য করবে:

এই প্রশ্নের যদি তোমার জন্য ন্যূনতম সূত্র জানতে চাই ঘ = 2 জন্য কঠিন ইতিমধ্যে দ্বারা NP হওয়া উচিত polynomials এবং মাত্র এক জন্য। প্রমাণটি নিম্নরূপ: এন দ্বি-লিনিয়ার সূত্র (টাইপের সূত্র ) এবং টেনসর 3 ম্যাট্রিকেস অর্থাৎ মধ্যে একটির মধ্যে একটির সাথে যোগাযোগ রয়েছে । যেমন ম্যাট্রিক্সের সেন্সর র‌্যাঙ্কটি হ'ল এন দ্বি-লিনিয়ার সূত্রগুলির গুণক জটিলতা। $n$ $\sum a_{ij}x_iy_j$ $F_2^n\otimes F_2^n\otimes F_2^n$

এটি পরিচিত যে টেনসর র‌্যাঙ্ক এনপি-হার্ড সমস্যা (সম্ভবত টেনসর র‌্যাঙ্কটিও এনপি-হার্ড) সুতরাং দ্বি-লিনিয়ার সূত্রগুলির গুণগত জটিলতা হ'ল এনপি-হার্ড সমস্যা $3$ $n$

— ক্লীঁ
সূত্র

2

ধন্যবাদ! সমস্যাটি সম্পর্কে এটি একটি আকর্ষণীয় দৃষ্টিভঙ্গি।

— অ্যাশলে মন্টানারো

নিম্নলিখিত উপপাদ্য বহু বহুবর্ষ থেকে এক বহুবর্ষে যেতে সহায়তা করে: এলইটি এস (চ) একটি বহুভুজের জটিলতা এবং তারপরে সমস্ত ডেরাইভেটিভগুলি গণনা করার জটিলতা সর্বাধিক 5 এস (চ) হয়। এভাবে জটিলতা polynomials

জটিলতা থেকে সমান প্রায়

f_{1}, f_{2}, \dots, f_{n}

$f_1, f_2,\ldots,f_n$

z_{1} f_{1} + z_{2} f_{2} \dots z_{n} f_{n}

$z_1f_1+z_2f_2\ldots z_n f_n$

— ক্লীঁ

আপনি যদি টেনসর র‌্যাঙ্কের কথা বলেন তবে আপনি কেবল গুণাগুলি গুণছেন তবে সংযোজন নয়। কেস

এবং কেবলমাত্র একটি বিলিিনার ফর্ম তখন সহজ, যেহেতু রামপ্রসাদের উত্তরে উল্লিখিত কাঠামোর তত্ত্বগুলি ব্যবহার করে একজন একটি বিলিনের ফর্মের র‌্যাঙ্ক গণনা করতে পারেন। (এই উপপাদ্যের প্রমাণ আলগোরিদিম, লিডল এবং নিডেরিটারের বইটি দেখুন))

d = 2

$d = 2$

— মার্কাস ব্লুজার

2

এর যে কোনও উত্তর আপনি উত্তরে যে শব্দভাণ্ডারকে মঞ্জুর করেছেন তার উপর নির্ভর করে । আপনি যদি নিজের উত্তরটি ইনপুট (যেমন বহুপদী হিসাবে) হিসাবে একই ভাষায় চান তবে এটি উত্তরগুলির এক সেটকে নিয়ে যায়, যা অন্য পোস্টারদের সাথে লড়াই করে চলেছে।

তবে আপনি যদি আপনার উত্তরের শব্দভাণ্ডারকে বাড়ানোর অনুমতি দেন তবে দুর্দান্ত জিনিসগুলি ঘটতে পারে। আপনি প্রতীকী বনাম স্বয়ংক্রিয় পার্থক্যের একটি উদাহরণ দেখতে পাচ্ছেন: প্রতীকী পার্থক্যের ক্ষেত্রে একজন কেবল 'এক্সপ্রেশন'কে অনুমতি দেয় যা বেশ খারাপভাবে ফুঁসে ওঠে; স্বয়ংক্রিয় পার্থক্যের ক্ষেত্রে, কেউ উত্তরে সরলরেখার প্রোগ্রামগুলিকে অনুমতি দেয় (এমনকি ইনপুটটি যদি একটি এক্সপ্রেশনও ছিল) যা অভিব্যক্তি ফুলে ওঠা নিয়ন্ত্রণ করতে সহায়তা করে। অবিচ্ছিন্ন বহুবর্ষের জন্য, জেমস ডেভেনপোর্ট এবং আমি ভুল করেছি যেহেতু আপনার মৌলিক শব্দভাণ্ডারের অংশ হিসাবে আপনাকে ঘূর্ণিঝড় বহুবিতুতে ফেলে ফেলতে হবে (এই বহুবচনগুলি কেন ব্লো-আপের একমাত্র আসল উত্স বলে মনে হয় সেই প্রসঙ্গে দেখুন, সেই সাথে কাগজগুলি যে বহুবর্ষীয় সমস্যার মধ্যে বিভিন্ন হ্রাসের ফলাফল দেখায় এবং 3 এসএটি)।

অন্য কথায়, আপনি যদি ক্লাসিকালটির থেকে কিছুটা উত্তর উত্তর বিবেচনা করেন তবে নিজেকে পরিবর্তিত করতে দেন, আপনি কেবল একটি ভিন্ন উত্তর পেতে সক্ষম হবেন, যার চেয়ে আরও ভাল জটিলতা রয়েছে। শব্দাবলির মধ্যে এই প্রকরণটি আপনার কাছে গ্রহণযোগ্য কিনা তা নির্ধারণ করার জন্য, এটি বিশুদ্ধ তাত্ত্বিক বা মনের একটি প্রয়োগের সাথে প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করার জন্য আপনার মূল অনুপ্রেরণার উপর নির্ভর করে। জেমস এবং আমি এই (প্রতীকী গণনা) সম্পর্কে চিন্তাভাবনা করে যাচ্ছি সেখানে জটিলতা ড্রপ করার জন্য ভোকাবুলারি সামঞ্জস্য করা পুরোপুরি গ্রহণযোগ্য (যদিও খুব কমই সম্পন্ন হয়েছে)।

— জ্যাক ক্যারেট
সূত্র

প্রশ্নটি ক্ষুদ্রতম পাটিগণিত সূত্রের জন্য জিজ্ঞাসা করে, এটি এটি পরিষ্কারভাবে সংজ্ঞায়িত করে। সুতরাং আমি নিশ্চিত নই যে এই উত্তরটি সরাসরি প্রাসঙ্গিক। এছাড়াও, ডানা মোশকভিত্জের উপরের উত্তর এবং সম্পর্কিত মন্তব্যগুলি মন্তব্যে ইতিমধ্যে স্বীকৃত হিসাবে প্রশ্নের সঠিকভাবে উত্তর দেয় না।

— রাফেল

আমার উত্তরের বিষয়টি হ'ল ওপি সম্ভবত বুঝতে পারে না যে তারা অগত্যা সেরা প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করছে না। ওপির প্রশ্নটি খুব ধ্রুপদী শর্তে জিজ্ঞাসা করা হয়, তবে আপনি যদি এ থেকে একটি সামান্য বিচ্যুতির অনুমতি দেন তবে আপনি বেশ আলাদা উত্তর পেতে পারেন যা সম্ভবত বেশ অপ্রত্যাশিত ছিল। আমি আপনার মন্তব্যটি বুঝতে পারি, তবে অনুমানটি কিছুটা কঠোর।

— জ্যাক ক্যারেট

আপনার উত্তরটির প্রথম অনুচ্ছেদটি সংশোধন করে প্রশ্নটি সঠিকভাবে উত্তর করা যায়নি তা পরিষ্কার করতে পারেন? আমি চিন্তিত ছিলাম মানুষ বিভ্রান্ত হতে পারে।

— রাফেল

1

@ রাফেল: সম্পন্ন হয়েছে। এবং বিষয়গুলি আরও স্পষ্ট করে দিয়েছি।

— জ্যাক ক্যারেট

0

জেনারেল সার্কিট / ফর্মুলা মিনিমাইজেশন অবশ্যই সনাক্তকরণ পরীক্ষার চেয়ে শক্ত, কারণ যে কোনও পরিচয়ের ন্যূনতম সূত্রের আকারটি কেবল শূন্য। কতটা কঠিন, আমার কাছে একটি নির্দিষ্ট উত্তর নেই তবে সম্ভবত পাটিগণিত সার্কিট / সূত্রগুলিতে অধ্যয়ন করা "পুনর্গঠন অ্যালগরিদম" এই লাইনগুলি বরাবর কিছু হতে পারে।

এই ক্ষেত্রে, আপনি একটি ব্ল্যাকবক্স দিচ্ছেন এবং বলেছিলেন যে এটি কোনও শ্রেণির একটি সূত্র $\mathcal{C}$ (একটি গভীরতা বলতে $3$ বর্তনী)। লক্ষ্যটি হ'ল ব্ল্যাকবক্সের উপস্থাপনা তৈরি করা (কাছাকাছি কিছু) $\mathcal{C}$ । সাধারণত, বেশিরভাগ পুনর্নির্মাণের ফলাফলগুলি ক্লাস, এলোমেলোতা এবং কখনও কখনও অন্যান্য ধরণের প্রশ্নের জন্য ব্ল্যাকবক্স পরিচয় পরীক্ষা গ্রহণ করে। এই ধরনের পুনর্গঠন অ্যালগরিদমগুলি সার্কিটের কয়েকটি সীমাবদ্ধ শ্রেণির জন্য উপলব্ধ তবে যে সকল শ্রেণীর জন্য আমরা ব্ল্যাকবক্স পিআইটি জানি। শপিলকা এবং ইহুদায়েফের গাণিতিক সার্কিটগুলির উপর একটি দুর্দান্ত সমীক্ষা (পিডিএফ) রয়েছে এবং অধ্যায়গুলির একটি পুরোপুরি পুনর্গঠন অ্যালগরিদমগুলিতে।

তবে আপনার ক্ষেত্রে, আপনি বলেন $d$ একটি ধ্রুবক এবং তাই এমনকি যদি ইনপুটটিকে ব্ল্যাকবক্স হিসাবে দেওয়া হয়েছিল, সেখানে বিরল বহুভুজের জন্য পুনর্গঠন অ্যালগরিদম রয়েছে। সুতরাং সম্ভবত উপরোক্ত মন্তব্যগুলি এই ক্ষেত্রে খুব আকর্ষণীয় নয়।

এছাড়াও, ক্ষেত্রে $d=2$ চতুর্ভুজগুলির কাঠামোর উপপাদ্য রয়েছে। ভেরিয়েবলগুলিতে রৈখিক রূপান্তরের অধীনে যে কোনও চতুর্ভুজ ফর্মটিতে পুনরায় লেখা যেতে পারে $x_1x_2 + x_3x_4 + .. + x_{2k-1}x_{2k} + \ell$ । এই সম্পত্তিটি কম ডিগ্রি পলিনোমিয়ালস (পিডিএফ) (তাদের কাগজের লেম্মা 17 ) এর জন্য পিআরজি তৈরির জন্য বোগদানভ এবং ভায়োলা ব্যবহার করেছিলেন ।

— রামপ্রসাদ
সূত্র

Thanks for your comments. Sadly, I don't see how to use these ideas to solve the original problem.

— Ashley Montanaro