মানেটা কি এমন

Question

আমি মনে করি আমি এটি বুঝতে পারছি না, তবে রূপান্তর আমাকে রূপান্তর হিসাবে দেখায় যা কিছুই করে না, রূপান্তর একটি বিশেষ ক্ষেত্রে যেখানে ফলাফলটি ল্যাম্বডা বিমূর্তিতে কেবলমাত্র শব্দ কারণ কিছুই নেই because করতে, এক ধরণের অর্থহীন রূপান্তর।$\eta$$\beta$$\beta$$\beta$

সুতরাং সম্ভবত রূপান্তরটি এর থেকে সত্যই গভীর এবং ভিন্ন কিছু, তবে এটি যদি হয় তবে আমি তা পাই না এবং আমি আশা করি আপনি এটির সাথে আমাকে সহায়তা করতে পারেন।$\eta$

(আপনাকে ধন্যবাদ এবং দুঃখিত, আমি জানি এটি ল্যাম্বডা ক্যালকুলাসের একেবারে বেসিকগুলির অংশ)

Answer 1

আপডেট করুন [2011-09-20]: আমি অনুচ্ছেদ সম্প্রসারিত $\eta$ -expansion এবং extensionality। একটি ভাল রেফারেন্স নির্দেশ করার জন্য আন্তন সালিকমেটোভকে ধন্যবাদ।

$\eta$ -conversion$(\lambda x . f x) = f$ একটি বিশেষ ক্ষেত্রে দেখা যায়$\beta$ - রূপান্তরশুধুমাত্রবিশেষ ক্ষেত্রে যখন$f$ নিজেই একটি বিমূর্ততা হয়, যেমন, যদি$f = \lambda y . y y$ তারপর

$$(\lambda x . f x) = (\lambda x . (\lambda y . y y) x) =_\beta (\lambda x . x x) =_\alpha f.$$ তবে কি তবে যদি$f$ একটি পরিবর্তনশীল হয়, বা একটি অ্যাপ্লিকেশন যা কোনও বিমূর্ততা হ্রাস করে না?

একটি উপায় $\eta$ -rule extensionality একটি বিশেষ ধরনের মত, কিন্তু আমরা যে কিভাবে বলা সম্পর্কে একটু সতর্ক হতে হবে। আমরা এক্সটেনসিলিটিটি এইভাবে বলতে পারি:

1. সব জন্য $\lambda$ -terms $M$ এবং $N$ , যদি $M x = N x$ তারপর $M = N$ , অথবা
2. সকল যদি ∀ x হয় । f x = g x তারপর f = g ।$f, g$$\forall x . f x = g x$$f = g$

প্রথমটি হ'ল -ক্যালকুলাসের শর্তাদি সম্পর্কে একটি মেটা-বিবৃতি । এটিতে x একটি আনুষ্ঠানিক পরিবর্তনশীল হিসাবে উপস্থিত হয়, অর্থাত্, এটি λ- ক্যালকুলাসের অংশ । এটা তোলে থেকে প্রমানিত হতে পারে বিটা η -rules মধ্যে উপপাদ্য 2.1.29 উদাহরণস্বরূপ দেখুন "ল্যামডা ক্যালকুলাস: তার বাক্য গঠন এবং শব্দার্থবিদ্যা" Barendregt (1985) দ্বারা। এটি সমস্ত নির্দিষ্ট কার্যকারিতা সম্পর্কিত বিবৃতি হিসাবে বোঝা যায় , অর্থাত্ যেগুলি λ- পরিসরের প্রতিলিপি।$\lambda$$x$$\lambda$$\beta\eta$$\lambda$

দ্বিতীয় বিবৃতিটি কীভাবে গণিতবিদগণ সাধারণত গাণিতিক বক্তব্য বোঝেন। তত্ত্ব -calculus স্ট্রাকচার একটি নির্দিষ্ট ধরনের বর্ণনা করে, তাদের কল "দিন λ -models "। একজন λ -model অগণ্য হতে পারে, তাই কোন গ্যারান্টি যে এটি প্রতি উপাদান একটি অনুরূপ λ -term (আরও বাস্তব সংখ্যার চেয়ে সেখানে reals বর্ণনা এক্সপ্রেশন আছে শুধু মতো)। Extensionality তারপর বলেন: যদি আমরা কোন দুটি জিনিস নিতে চ এবং ছ একটি λ -model, যদি চ এক্স = ছ এক্স সবার জন্য এক্স মডেল, তারপর চ = $\lambda$$\lambda$$\lambda$$\lambda$$f$$g$$\lambda$$f x = g x$$x$$f = g$। এখন এমনকি মডেল -rule কে সন্তুষ্ট করলেও, এই অর্থে এটির সম্প্রসারণতা সন্তুষ্ট করার দরকার নেই। (এখানে রেফারেন্স প্রয়োজন, এবং আমি মনে করি যে সাম্য কীভাবে ব্যাখ্যা করা হয় তা আমাদের যত্নবান হওয়া দরকার।)$\eta$

সেখানে বিভিন্ন উপায় আছে, যা আমরা পারি অনুপ্রাণিত - এবং η -conversions। আমি এলোমেলোভাবে বিভাগ-তাত্ত্বিকটিকে বেছে নেব, λ -ক্যালকুলাস হিসাবে ছদ্মবেশযুক্ত এবং অন্য কেউ অন্য কারণ ব্যাখ্যা করতে পারে।$\beta$$\eta$$\lambda$

আমাদের বিবেচনা করা যাক টাইপ -calculus (কারণ এটি কম বিভ্রান্তিকর কিন্তু কমবেশি একই যুক্তি untyped জন্য কাজ করে λ -calculus)। একটি মৌলিক আইন যেটি ধারণ করা উচিত তা হ'ল সূচকীয় আইন সি এ × বি ≅ ( সি বি ) এ । (আমি স্বরলিপি ব্যবহার করছি একটি → বি এবং বি একটি interchangably, পিকিং যেটা অনেক সুন্দর দেখতে পাবেন বলে মনে হয়।) কি isomorphisms না আমি : সি একটি × বি → ( সি বি ) একটি এবং ঞ $\lambda$$\lambda$

$$C^{A \times B} \cong (C^B)^A.$$ $A \to B$$B^A$$i : C^{A \times B} \to (C^B)^A$ মত চেহারা, লেখা λ -calculus? সম্ভবত তারা i = λ f : C A × B হবে । λ ক : ক । λ বি : খ । চ ⟨ একটি , খ ⟩ এবং ঞ = λ ছ : ( সি বি ) একটি । λ পি : এ × $j : (C^B)^A \to C^{A \times B}$$\lambda$ $$i = \lambda f : C^{A \times B} . \lambda a : A . \lambda b : B . f \langle a, b \rangle$$ একটি দম্পতি সঙ্গে একটি সংক্ষিপ্ত হিসাব β -reductions (তত্সহ β -reductions π 1 ⟨ একটি , খ ⟩ = একটি এবং π 2 ⟨ একটি , খ ⟩ = খ পণ্যের জন্য) আমাদেরকে যে বলে, যে জন্য ছ : ( সি বি ) ক আমাদের কাছে আই ( জে জি ) $$j = \lambda g : (C^B)^A . \lambda p : A \times B . g (\pi_1 p) (\pi_2 p).$$ $\beta$$\beta$$\pi_1 \langle a, b \rangle = a$$\pi_2 \langle a, b \rangle = b$$g : (C^B)^A$ যেহেতু আমি এবং ঞ একে অপরের inverses, আমরা আশা আমি ( ঞ ছ ) = ছ , কিন্তু আসলে এই আমরা ব্যবহার করতে হবে প্রমাণ η -reduction দুইবার: আমি ( ঞ ছ ) = ( λ একটি : একটি । Λ খ : বি । g a b ) = η $$i (j g) = \lambda a : A . \lambda b : B . g a b.$$ $i$$j$$i (j g) = g$$\eta$ সুতরাং η- ছাড়ারজন্য এটি একটি কারণ। অনুশীলন:যে জ ( i f ) = f দেখাতেকোন η -rule দরকার? $$i(j g) = (\lambda a : A . \lambda b : B . g a b) =_\eta (\lambda a : A . g a) =_\eta g.$$ $\eta$$\eta$$j (i f) = f$

Comments

$\beta$$\beta\eta$$\beta\eta$

$\eta$$\beta$$\eta$

$=$$=_{\beta}$$Mx=Nx$$M=N$$M=N$$M=_{\beta\eta}N$$\eta$

$M$$N$

@ আন্ড্রেজবাউর আমি সম্মত হই যে rule-বিধি সম্পূর্ণ এক্সটেনসিলিটি নয়, তবে আপনি কি মনে করেন না এটি এখনও বর্ধিতকরণের একটি সীমিত রূপ, অর্থাত এটি প্রসারিত হওয়ার সুস্পষ্ট ক্ষেত্রে শ্রেণীর প্রতিনিধিত্ব করে। মূল প্রশ্নটি অনুপ্রেরণা এবং ধারণাগুলি সন্ধান করছে এবং এই ক্ষেত্রে আমি বিশ্বাস করি যে এক্সটেনসিলিটির ক্ষেত্রে চিন্তাভাবনা দরকারী (কিছুটা যত্নের সাথে অবশ্যই খুব বেশি দূরে যেতে হবে না)।

— মার্ক হামান

Answer 2

এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য, আমরা সংশ্লিষ্ট মনোগ্রাফ "লাম্বদা ক্যালকুলাস" থেকে নিম্নলিখিত উদ্ধৃতি সরবরাহ করতে পারি। এর সিনট্যাক্স এবং শব্দার্থবিজ্ঞান “(বেরেন্ড্রেগট, 1981):

$\beta\eta$$\lambda$$\lambda + \text{ext}$$\text{ext}$$M x = N x \Rightarrow M = N$

$M =_{\beta\eta} N \Leftrightarrow \lambda\eta \vdash M = N \Leftrightarrow \lambda + \text{ext} \vdash M = N$

[এর প্রমাণটি নিম্নলিখিত উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে]]

$\lambda + \text{ext}$$\lambda\eta$$(\text{ext}) \Rightarrow (\eta)$

$\lambda\eta$

$M$$N$$\lambda\eta \vdash M = N$$\lambda\eta + M = N$

এইচপি-সম্পূর্ণ [হিলবার্ট-পোস্টের পরে] তত্ত্বগুলি প্রথম-ক্রমের যুক্তির জন্য মডেলগুলির তত্ত্বের সর্বাধিক সামঞ্জস্যপূর্ণ তত্ত্বগুলির সাথে মিল রাখে।

Answer 3

$\lambda$$\beta$$\eta$

• $\lambda x y.x$$\lambda x y.y$ $\beta\eta$$\beta\eta$

• $\iota$
  

  1. $u\ =_\iota\ v \Rightarrow t\ u\ =_\iota\ t\ v$

  2. $\beta\eta$$t$$u$$t=_\iota u$$t\neq_{\beta\eta}u$

$t$$u$$t=_{\beta\eta\iota}u$

এটি বোহমের উপপাদ্যের একটি পরিণতি।

Answer 4

$\eta$

$=_{\beta \eta}$$\rightarrow_{\beta\eta}$$M=N$$\lambda x.M = \lambda x.N$$=_{\beta}$

$=_{\beta}$$=_{\beta\eta}$$\lambda x. Mx = M$$Mx=Nx$$M=N$

Comments

এটি মিথ্যা যে এক্সটেনশনেটিটি অনুসরণ করে $\eta$-নিয়ম.

— Andrej Bauer

বারেনড্রেগেটের মোমোগ্রাফের উপপাদ্যটি ২.১.২৯ দেখুন (ল্যাম্বদা ক্যালকুলাস এবং এর শব্দার্থক, ১৯৮৫)।

@ অ্যান্টন: আমি মনে করি আমি এই বিষয়ে খুব বেশি খুশি নই $\xi$-নিয়ম.

— আন্দ্রেজ বাউর

And I am in turn not too happy that happiness and “heard of”-like answers gain more attention than direct relevant quotes with the corresponding references.

@Anton: It's a popularity contest, didn't you know? ;-) Anyhow, what's with the $\xi$-rule that gets used in Barendregt. I don't recall anyone dragging the $\xi$-rule into discussion. We only have $\alpha$ and $\beta$.

— Andrej Bauer