সুষম ভেক্টরগুলির দ্রুত এনকোডিং

এটি সহজেই দেখতে পাওয়া যায় যে যে কোনও জন্য $n$ 1-1 ম্যাপিং exists $F$ 0,1} থেকে {0,1} রয়েছে যে কোনও জন্য ভেক্টর " সুষম ", অর্থাত্, এর সমান সংখ্যার 1 এবং 0 হয়। এই জাতীয় সংজ্ঞায়িত করা কি সম্ভব যাতে প্রদত্ত আমরা দক্ষতার সাথে গণনা করতে পারি ? $^n$ $^{n+O(\log n)}$ $x$ $F(x)$ $F$ $x$ $F(x)$

ধন্যবাদ।

ds.algorithms ds.data-structures encoding

— পাযত্র
সূত্র

আমি ধরে নিয়েছি যে 'দক্ষ' দ্বারা আপনি ও (এন) বা এর আশেপাশে "বারবার এলোমেলো ট্রায়ালগুলি" যুক্তিটিকে অস্বীকার করছেন?

— সুরেশ ভেঙ্কট

@ সুরেশ, আপনি কি "পুনরাবৃত্তি র্যান্ডম ট্রায়ালস" যুক্তিটি স্কেচ করতে সক্ষম হবেন?

— এমিল

ম্যাপিং উপস্থিত রয়েছে তা প্রমাণের একটি উপায় সম্ভাব্য পদ্ধতি দ্বারা: এফ এলোমেলোভাবে বেছে নিন এবং তারপরে ম্যাপিং কিছু সম্ভাবনার সাথে কাজ করে। যে আমি বোঝানো কি.

— সুরেশ ভেঙ্কট

প্রশ্নটি নিখুঁতভাবে সংজ্ঞায়িত তবে আমার মতে শিরোনামটি বিভ্রান্তিকর। এফটি বাইজেক্টিভ না হলে আমি বর্ণিত শর্তটিকে সন্তুষ্ট করে একটি ম্যাপিং এফকে কল করব না unless এটি আরও ভারসাম্যযুক্ত ভেক্টর দ্বারা এন-বিট স্ট্রিংয়ের এনকোডিংয়ের মতো ।

— Tsuyoshi Ito

"পুরোপুরি সুস্পষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত" সম্ভবত "দক্ষতার সাথে" এর আলাদা আলাদা ব্যাখ্যা রয়েছে mean তবে এটি আমার আগের মন্তব্যের মূল বিষয় নয়।

— Tsuyoshi Ito

উত্তর:

বিট স্ট্রিংগুলি বিবেচনা করা যাক । সজ্ঞা: $n$ $x$

=শেষ বিটগুলির পরিপূরকসহবিট স্ট্রিং । $f(x,i)$ $x$ $i$
= এর "অমিল" : এ 1s সংখ্যা মধ্যে 0 সেঃ সংখ্যা । $b(x)$ $x$ $x$ $-$ $x$

এখন একটি স্ট্রিং ঠিক করুন । ফাংশনটি বিবেচনা করুন । পর্যবেক্ষণ: $x$ $g(i) = b(f(x,i))$

। $g(0) = b(x)$
। $g(n) = -g(0)$
সকলের জন্য । আমরা হয় একটি 0 অপসারণ এবং একটি 1 বা বিপরীতে যুক্ত। $|g(i) - g(i+1)| = 2$ $i$

এখন এটি অনুসরণ করেছে যে এখানে এমন একটি রয়েছে যা । $i$ $-1 \le g(i) \le +1$

সুতরাং আমরা নিম্নরূপে একটি বিট স্ট্রিং : কনটেনেটেট এবং সূচকের বাইনারি এনকোডিং । এর ভারসাম্যহীনতার পরম মান হ'ল । তাছাড়া, আমরা পুনরুদ্ধার করতে পারেন দেওয়া ; ম্যাপিং হ'ল বাইজেকশন। $(n+O(\log n))$ $y$ $f(x,i)$ $i$ $y$ $O(\log n)$ $x$ $y$

অবশেষে, আপনি যোগ করতে পারেন বিট যে ভারসাম্যহীনতা কমাতে ডামি থেকে থেকে । $O(\log n)$ $y$ $O(\log n)$ $0$

— জুক্কা সুমেলা
সূত্র

খ (এক্স) তৃতীয় লাইনে খ (y) হওয়া উচিত।

— এমিল

আমি মনে করি যে এটির দৈর্ঘ্য রয়েছে কিনা তা নিশ্চিত করার জন্য আপনার সম্ভবত স্ট্রিং x এ আরও একটি বিট যুক্ত করা দরকার (যাতে আপনি নিশ্চিত হন যে জি (i) কিছু আই এর জন্য শূন্য))

— এমিল

g (i)

$g(i)$

i

$i$

g (i)

$g(i)$

i

$i$

1

$1$

i

$i$

@ যুক্কা: আহ্ হ্যাঁ আমি দেখছি।

— এমিল

g (i)

$g(i)$

i

$i$

i

$i$

01

$01$

10

$10$

2 \log (n)

$2\log(n)$

$k$ $n$ $n/2$ $k\leq{n-1\choose n/2}$ $k$ $(n-1)$ $n/2$ $n-1$ $k-{n-1\choose n/2}$ $(n-1)$ $n/2-1$

— Zeyu
সূত্র

এবং যদি আপনি পরবর্তী প্রয়োজনীয় দ্বিপদী সহগের গণনা করতে দ্বিপদী সহগের মানটি পুনরায় ব্যবহার করেন তবে পুরো অ্যালগরিদম ও (এন) সময়ে চলে।

— সোসোশি ইটো

ধন্যবাদ! এইবার বুঝতে পারছি. আমি অনুমান করি চলমান সময়টি গণনার মডেলটির উপর নির্ভর করবে। আপনি যদি ইউনিট সময়ে এন-বিট সংখ্যার উপর ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করতে পারেন তবে সোসোশি ইটো দ্বারা বাস্তবায়ন ও (এন) সময়ে চলবে। অন্যদিকে, আপনি যদি বিট অপারেশনগুলি গণনা করেন তবে সময়টি ও (এন ^ 2) হবে I

— পাইওটার