কখন একটি এফও সম্পত্তি এনএল-কঠোরতা বন্ধ করে দেয়?

প্রসঙ্গ: আমরা কেবল ডিজিট্রাফ বিবেচনা করি। সাইক্লিকে একটি চক্র সহ গ্রাফের ভাষা হতে দিন; এটি একটি এনএল-সম্পূর্ণ সমস্যা। কমপক্ষে একটি প্রান্ত সহ গ্রাফের ভাষা হ্যাশডে যাক। তারপর জাভাস্ক্রিপ্টে গার্বেজ, $\text{CYCLE} \cup \text{HASEDGE}$ আর এন এল-কঠিন, যখন $\text{CYCLE} \cup \overline{\text{HASEDGE}}$ থাকার বিষয়টি মতেই তাই।

আসল সমস্যা: আমি ভাবছি যে ভাষাটি

CYCLE \cup {(V, E) : (\exists u, v, x, y) [E (u, v) \land E (x, y) \land \neg E (u, y) \land \neg E (x, v)]}

$\text{CYCLE} \cup \{(V, E):(\exists u,v,x,y)[E(u, v) \land E(x, y) \land \neg E(u, y) \land \neg E(x, v)]\}$ এখনও এনএল-হার্ড।

প্রশ্ন: যা এফ ও সূত্রের জন্য $\phi$ গ্রাফ এর শব্দভান্ডার হয়

CYCLE \cup {(V, E) : (V, E) ⊨ ϕ}

$\text{CYCLE} \cup \{(V, E) : (V, E) \models \phi\}$ এন এল-কঠিন? এই সম্পত্তি কি সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য?

আপনার ইনপুট জন্য ধন্যবাদ!

cc.complexity-theory graph-theory descriptive-complexity

— মিশেল ক্যাডিলহ্যাক
সূত্র

উত্তর:

আমাকে আপনার "আসল সমস্যা" এ সম্পত্তিটি কল করতে । নিম্নলিখিত ম্যাপিং হ্রাস থেকে : $\text{NODIAG}$ $\text{CYCLE}$ $\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

একটি প্রদত্ত জন্য , যে প্রান্তবিন্দু প্রতিস্থাপন মধ্যে দুটি কপি এবং , এবং যদি একটা প্রান্ত হয় মধ্যে যাক প্রান্ত আছে এবং $G=(V,E)$ $v$ $G$ $v$ $v'$ $(u,v)$ $E$ $G'$ $(u,v), (u,v'), (u',v)$ । সুতরাং প্রতিটি গ্রাফের জন্য সন্তুষ্ট । $(u',v')$ $G$ $G'$ $\neg \text{NODIAG}$

অধিকন্তু, iff একটি চক্র রয়েছে একটি চক্র আছে, তাই সন্তুষ্ট iff satifies । অতএব এন এল-কঠিন। $G'$ $G$ $G'$ $\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$ $G$ $\text{CYCLE}$ $\text{CYCLE}\cup \text{NODIAG}$

আমি মনে করি অনুরূপ নির্মাণ প্রতিটি খাঁটি সার্বজনীন সম্পত্তির জন্য কাজ করবে।

— জান জোহানসেন
সূত্র

আপনার কাজের জন্য ধন্যবাদ জান! তবে আমি নিশ্চিত নই যে আপনি সমস্যার সমাধান করেছেন সম্পূর্ণরূপে, কারণ যদি কোনও নোডিএজি কাঠামো জি-তে উপস্থিত হয় তবে এটি এখনও আপনার নির্মাণের শেষে প্রদর্শিত হবে, এএফএআইইউ।

— মিশাল ক্যাডিলহ্যাক

G^{'} ⊨ \neg NODIAG

$G'\models \neg \text{NODIAG}$

G ⊨ CYCLE

$G\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊨ CYCLE

$G'\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊨ CYCLE \cup NODIAG

$G'\models \text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

G ⊭ CYCLE

$G\not\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊭ CYCLE

$G'\not\models \text{CYCLE}$

G^{'} ⊭ CYCLE \cup NODIAG

$G'\not\models \text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

CYCLE

$\text{CYCLE}$

CYCLE \cup NODIAG

$\text{CYCLE} \cup \text{NODIAG}$

জান, আমি গভীরভাবে দুঃখিত, আমি আমার প্রশ্নের শব্দটির সাথে গণ্ডগোল করেছি; বর্ণিত সাবগ্রাফটিকে একটি এক্সক্লুড গ্রাফ হিসাবে ভাবা হত। নোট করুন যে আগের শব্দটির সাথে গ্রাফটি নোডিয়াগের বাইরে চলে যাওয়ার জন্য আপনাকে কেবল নতুন, ন এবং প্রান্তগুলি , এবং করতে হবে। আবার, টাইপগুলির জন্য আমি খুব দুঃখিত।

u, v, x, y

$u,v,x,y$

u \to v

$u \to v$

x \to y

$x \to y$

u \to y

$u \to y$

— মিশেল ক্যাডিলহ্যাক

(পিএস: যেহেতু আমি আপনার কোনও ভুল প্রশ্নযুক্ত প্রশ্নে কাজ করার জন্য ,ণী, এখানে একটি টিসিএস পেপার রয়েছে যাতে একটি দুর্দান্ত শিরোনাম রয়েছে যা আপনার তালিকায় প্রকাশিত হয় না: হেসান ফরওয়ার্ভার (দ্য ওয়েরিটি ডিএ) টেসন এবং থেরিয়েন।)

— মাইকেল ক্যাডিলহ্যাক

সেক্ষেত্রে, কিভাবে সম্পর্কে শুধু যে প্রান্ত একটি নতুন প্রান্তবিন্দু যোগ: এ প্রত্যেক প্রতিস্থাপন দ্বারা এবং । ফলাফল গ্রাফ চক্রীয় iff হয়, এবং এতে বাদ না দেওয়া কাঠামো নেই। বিটিডাব্লু আমি আর সেই তালিকা বজায় রাখছি না।

G

$G$

e = (u, v)

$e = (u,v)$

(u, v_{e})

$(u,v_e)$

(v_{e}, v)

$(v_e,v)$

G^{'}

$G'$

G

$G$

— জান জোহানসেন

আসল সমস্যাটি এফও-তে রয়েছে। পরীক্ষা করা যদি অস্তিত্ব আছে যেমন যে এবং অবশ্যই এফওতে রয়েছে। $a,b,c,d \in V(G)$ $(a,c),(b,d) \in E(G)$ $(a,d),(b,c) \notin E(G)$

ধরে নিন যে এরকম , তবে একটি নির্দেশিত চক্রকে স্বীকার করে যদি কেবলমাত্র যদি দৈর্ঘ্যের দুটি নির্দেশিত চক্রকে স্বীকার করে। এই সত্যটি থেকে অনুমিত হতে পারে কোন দুটি ছেদচিহ্ন যে এবং এর , তাদের আউট-এলাকাগুলোর এবং হয় যেমন যে বা । $a,b,c,d$ $G$ $G$ $a$ $b$ $G$ $N^-(a)$ $N^-(b)$ $N^-(a) \subseteq N^-(b)$ $N^-(b) \subseteq N^-(a)$

সুতরাং, এমন যেমন , যা এফওতে রয়েছে তা যাচাই করা যথেষ্ট । $a,b \in V(G)$ $(a,b),(b,a) \in E(G)$

সুতরাং, রয়েছে যদি এবং কেবল যদি $G$ $CYCLE \cup NODIAG$ $(\exists a,b,c,d)[(E(a,b) \wedge E(c,d) \wedge \neg E(a,d) \wedge \neg E(b,c)) \vee (E(a,b) \wedge E(b,a))]$

— Adrien
সূত্র

ধন্যবাদ আদ্রিন যে কোনও দুটি নোডের বহিরাগত অঞ্চলগুলি কেন তুলনীয়, সে বিষয়ে আপনি কি যুক্তি যুক্ত করে যত্ন নেবেন? আমি যদি কেউ সম্পূর্ণ সমস্যার সমাধান করে কিনা তা দেখার জন্য আমি কিছুটা অপেক্ষা করব এবং যদি কেউ না দেখায়, আমি আপনার উত্তরের জন্য যাব।

— মিশেল ক্যাডিলহ্যাক

আমি মনে করি না যে বাইরের আশেপাশের জায়গাগুলির তুলনা সত্যিই ধারণ করে। মাত্র চার ছেদচিহ্ন এর গ্রাফ যেমন take ধার সম্বলিত এবং । এই গ্রাফ সন্তুষ্ট মাইকেলের সূত্র, কিন্তু সঙ্গে অতুলনীয় ।

a, b, c, d

$a,b,c,d$

(a, c)

$(a,c)$

(b, d)

$(b,d)$

N^{-} (a) = {c}

$N^-(a) = \{ c\}$

N^{-} (b) = {d}

$N^-(b) = \{ d\}$

— জান জোহানসন

@ জান: যদি আমি ভুল না হয়ে থাকি তবে অ্যাড্রিয়েনের বক্তব্যটি হ'ল যদি কোনও গ্রাফ <i> যদি দ্বিতীয় অংশটি সন্তুষ্ট না করে তবে তার যদি একটি চক্র থাকে তবে এর দৈর্ঘ্য একটি চক্র থাকে So সুতরাং তার বক্তব্যটি হ'ল যে গ্রাফটি যদি <i> দ্বিতীয় অংশটি সন্তুষ্ট না করে তবে তুলনাটি ধারণ করে।

— মিশাল ক্যাডিলহ্যাক