সেট কভারটির অপ্রয়োজনীয়তা: আমি কি এম = পলি (এন) ধরে নিতে পারি?

Question

আমি এটি দেখানোর চেষ্টা করছি যে সেট কভার থেকে হ্রাসের মাধ্যমে একটি নির্দিষ্ট সমস্যা অনুপযুক্ত। আমার হ্রাস স্থল আকারের আকারের সাথে একটি উদাহরণকে রূপান্তরিত করে$n$ এবং $m$ আমার সমস্যার একটি উদাহরণে সেট করে যেখানে একটি নির্দিষ্ট পরামিতি $r$ আকারের হয় $O(n+m)$। তারপরে আমি দেখাতে পারি যে কভারের আকারটি সেট কভারের একটি উদাহরণটি আমার সমস্যার একটি উদাহরণের সাথে মিলে যায় যেখানে অনুকূল সমাধানের আকার হয়$2s$(বা এই জাতীয় কিছু), এবং বিপরীতে। আমি রাজ-সাফরাকে এই সিদ্ধান্তে আসতে অনুরোধ করতে চাই যে আমার সমস্যাটি একটি ফ্যাক্টর অবধি অপ্রয়োজনীয়$c \log{r}$কিছু ধ্রুবক জন্য $c$। আমি যদি ধরে নিতে পারি তবে এটি কাজ করবে$m$ এর একটি নির্দিষ্ট বহুপদী দ্বারা আবদ্ধ হয় $n$। কেউ কি জানেন যে এটি ধরে নেওয়া কোশার কিনা? এটি অবশ্যই সেট কভারের জন্য স্ট্যান্ডার্ড এনপি-কঠোরতা প্রমাণে ব্যবহৃত দৃষ্টান্তগুলির পরিবারের পক্ষে সত্য, তবে আমি নিশ্চিত নই যে এটি রাজা এবং সাফার দ্বারা নিযুক্ত পিসিপি হ্রাসের ধরণের ক্ষেত্রে এখনও থেকে যায় কিনা।

Answer 1

হ্যাঁ, একটি সেট-কভার ইনসেটে সেটের সংখ্যা এম এর উপাদানগুলির সংখ্যায় বহুপদী।

যাইহোক - সেট-কভারের জন্য শিল্প কঠোরতার ফলাফলগুলি হল:

• নোগা অ্যালন এবং মুলি সাফরার সাহায্যে আমরা দেখিয়েছি যে আরও ভাল ধ্রুবক পেতে কীভাবে রাজ-সাফরা / অরোরা-সুদান পিসিপি ব্যবহার করতে হয় $c$ কঠোরতা ফ্যাক্টর $c\log n$।

  http://people.csail.mit.edu/dmoshkov/papers/k-restrictions/k-rest-full.ps

• Feige সর্বোত্তম কঠোরতা ফ্যাক্টর কিভাবে পাবেন তা দেখিয়েছে $(1-\epsilon)\ln n$, ধরে নিচ্ছি $NP\not\subseteq DTIME(n^{\log\log n})$।

  http://www.cs.duke.edu/courses/spring07/cps296.2/papers/p634-feige.pdf

• আমি সম্প্রতি পিসিপি সম্পর্কে একটি অনুমানযোগ্য অনুমানকে ধরে নিয়ে, ফিগের হ্রাসকে এনপি-কঠোরতার ফলাফলের সাথে (যেমন, q নেক ভিত্তিক ফল ) কীভাবে রূপান্তর করতে পারি তার একটি নোট প্রকাশ করেছি (একটি অনুমান যা আমি "প্রজেকশন গেমস কনজেকচার" বলি - একটি বিশেষীকরণ প্রজেকশন গেমগুলিতে 1993 এর "স্লাইডিং স্কেল কনজেকচার" এর)।$P\neq NP$

  http://eccc.hpi-web.de/report/2011/112/ (পরে আমি জানতে পেরেছি যে হ্রাস এবং হ্রাস- মধ্যে একটি সর্বোত্তম ট্রেড দেয় )।$\epsilon$

Comments

দুর্বলতম বিচ্ছিন্নতা অনুমানটি কী যা এখনও উপার্জন করবে $(1-\epsilon)\log n$কঠোরতা?

— সুরেশ ভেঙ্কট

ডানা, আপনার উত্তরের জন্য ধন্যবাদ! একটি ফলো-আপ প্রশ্ন, যদি আপনি কিছু মনে করেন না: এটি কি একটি "বোকা" প্রশ্ন, অর্থাত্, এমন কোনও উচ্চ-স্তরের বিবেচ্যতা রয়েছে যা এম = পলি (এন) বোঝায়, বা এটি এমন কি যা বাস্তবে এটি জানতে হবে? আমার প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য রাজ-সাফরা কঠোরতার প্রমাণ?

— এডিথ এলকিন্ড

@ সুরেশ: আমি ধরে নিলাম আপনার মানে $(1-\epsilon)\ln n$। ফিগের ধারণা ($NP\not\subseteq DTIME(n^{\log\log n})$) এবং আমার অনুমান ("প্রজেকশন গেমস কনজেকচার") অতুলনীয়। আমার বিশ্বাস অদূর ভবিষ্যতে আমার অনুমান প্রমাণিত হবে।

— ডানা মোশকোভিৎজ

@ লাস্টিনজিংগল: যদি এম-তে বহুবর্ষীয় না হত, আপনি হ্রাসটিকে "বহু-সময়ের হ্রাস" হিসাবে বিবেচনা করতে পারবেন না। একটি রাজ-সাফরা / অরোরা-সুদান পিসিপি এম = পলি (এন) উত্পন্ন করার বিশেষ কারণ হ'ল পিসিপি ভেরিয়েবল / সীমাবদ্ধতা + এবং তাদের জন্য নিয়োগের জন্য একটি সেট এবং ভেরিয়েবল এবং সীমাবদ্ধতার সংখ্যা, পাশাপাশি বর্ণমালার আকার বহুপদী, এবং প্রশ্নের সংখ্যা ধ্রুবক।

— ডানা মোশকোভিৎজ

@ ডানামোশকভিত্জ: ধন্যবাদ! যদিও আপনার প্রথম দাবিটি আমি বুঝতে পেরেছি তা নিশ্চিত নই। নিম্নলিখিত (অনুমানমূলক) হ্রাসের সাথে কী দোষ রয়েছে: আমি ভার্টেক্স কভার দিয়ে (বলতে) একটি উদাহরণ দিয়ে শুরু করি$k$ শীর্ষে এবং সেট কভার দিয়ে একটি উদাহরণ তৈরি করুন $m = k^3$ আকার এবং সেট গ্রাউন্ড সেট $n$, কোথায় $n$ এর সমাধান $n^{\log n} = m$? এটি অবশ্যই পলি-টাইমে কাজ করে। স্বীকারোক্তিজনকভাবে, আমি এর মতো কোনও হ্রাস কখনও দেখিনি, তবে এটি যৌক্তিকভাবে অসম্ভব বলে মনে হয় না। নাকি আমি ভুল করছি? অবশ্যই, আমার আসল প্রশ্নের উত্তর ইতিমধ্যে দেওয়া হয়েছে, সুতরাং এটিকে এড়িয়ে চলা নির্দ্বিধায়। আমি কেবল কৌতুহলী ...

— এডিথ এলকিন্ড