এলোমেলো পদচারণা সম্পর্কে প্রযুক্তিগত প্রশ্ন

Question

(আমার মূল প্রশ্নের এখনও উত্তর দেওয়া হয়নি। আমি আরও স্পষ্টতা যোগ করেছি)

মার্কোভ চেইন হিসাবে এলোমেলো পদচারণা দেখে র্যান্ডম ওয়াক্স (অনির্দেশিত গ্রাফগুলিতে) বিশ্লেষণ করার সময়, আমাদের গ্রাফটি নন-দ্বিপক্ষীয় হতে হবে যাতে মার্কভ চেইনের মৌলিক উপপাদ্য প্রয়োগ হয়।

গ্রাফ হলে কী হয় $G$পরিবর্তে দ্বিপক্ষীয়? আমি বিশেষভাবে হিট টাইমে আগ্রহী$h_{i,j}$, যেখানে একটি কিনারা আছে $i$ এবং $j$ ভিতরে $G$। দ্বিপক্ষীয় গ্রাফটি বলুন$G$ হয়েছে $m$প্রান্ত। ফলস্বরূপ গ্রাফটি তৈরি করতে আমরা গ্রাফের একটি স্বেচ্ছাসেবক যুক্ত করতে পারি$G'$অ দ্বিপাক্ষিক; মার্কভ চেইনের মৌলিক উপপাদ্য প্রয়োগ করা$G'$ আমরা তারপর এটি পেতে $h_{i,j} < 2m+1$ ভিতরে $G'$, এবং এটি স্পষ্টভাবে জন্য একটি উপরের আবদ্ধ $h_{i,j}$ ভিতরে $G$।

প্রশ্ন: এটি কি দৃ stronger় দাবি? $h_{i,j} < 2m$ ধরে রাখে $G$? (এটি 2SAT এর জন্য এলোমেলো পদক্ষেপের অ্যালগরিদমের বিশ্লেষণে এটি দাবী করে দেখেছিল)) বা আমাদের কি সত্যই স্ব-লুপ যুক্ত করার এই অতিরিক্ত পদক্ষেপটি অতিক্রম করতে হবে?

Answer 1

এই উত্তরটি প্রশ্নকারীর আসলে আগ্রহী থেকে আলাদা কিছু প্রমাণিত হয়েছিল it এটিকে এখানে রেখে দেওয়ার ফলে অন্যরাও একই ভুলটির পুনরাবৃত্তি করবে না।

বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, কেউ জুটির যুক্তি দিয়ে "স্ব-লুপগুলি কেবল হাঁটাচলা কমিয়ে দিতে পারে" এমন স্বজ্ঞাত ধারণাটি আনুষ্ঠানিকভাবে ন্যায়সঙ্গত করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, এই ক্ষেত্রে স্ব-লুপের সাহায্যে কেউ হাঁটতে পারেন let's$A$) এবং স্ব-লুপ ব্যতীত একটি (এটি কল করুন call $B$) যাতে $A$লাগে একই হিসাবে পদক্ষেপ$B$, তবে সময় মতো বিলম্বিত। উদাহরণস্বরূপ এটি করা যেতে পারে: ধরুন$B$ আরম্ভ করা হয় $u = x_0$ এবং মাধ্যমে যায় $x_i: i =1,2,\ldots,k$। এখন, আমরা বাস্তবায়ন$A$ নিম্নরূপ: $A$ এছাড়াও একই শীর্ষে হিসাবে যায় $B$, যে শীর্ষবিন্দু ছাড়া $x_i$, এটি জ্যামিতিকের জন্য অপেক্ষা করে ($p_i$) সময় যেখানে $p_i$ এতে স্ব-লুপ সম্ভাবনা $x_i$। মনে রাখবেন এটি একটি সঠিক বাস্তবায়ন implementation$A$ (সমস্ত রূপান্তরের সম্ভাবনাগুলি সঠিক) এবং মিলনের রূপটি এটি নিশ্চিত করে $A$ এর আগে কখনও কোনও ভার্টেক্সে পৌঁছে না $B$, যে, আমরা মিলিত হয়েছে $H_t^A$ এবং $H_t^B$ (দুটি পদক্ষেপে এলোমেলোভাবে আঘাতের সময়) যাতে $H_t^A \geq H_t^B$ সম্ভাবনা সহ $1$। সুতরাং, প্রত্যাশিত আঘাতের সময়ের জন্য বৈষম্য অনুসরণ করে।

Comments

দুঃখিত, তবে আমি মনে করি না এটি আমার প্রশ্নের উত্তর দেয়। আমি ঐটাতে সম্মত$h_{i,j}$ ভিতরে $G$ উপরের দ্বারা আবদ্ধ হয় $h_{i,j}$ ভিতরে $G'$, যা উপরের দিকে আবদ্ধ থাকে $2m+1$। তবে আমি দৃ stronger়ভাবে এটি পেতে চাই obtain$h_{i,j}$ ভিতরে $G$ উপরের দ্বারা আবদ্ধ হয় $2m$। (ঠিক আছে, আমি বুঝতে পারি যে "$+1$"এটি কোনও বড় বিষয় নয়, তবে অন্যদিকে আমি দাবি ছাড়াই দাবিটি দেখেছি"$+1$"এবং তাই আমি প্রযুক্তিগতভাবে সঠিক কিনা তা অবাক করি))

— ব্যবহারকারী 6

@ user686 আপনি কি রেফারেন্স ভাগ করে নিতে পারেন?

— টাইসন উইলিয়ামস

Answer 2

আমি এর আগে এটিকে একটি মন্তব্য হিসাবে পোস্ট করেছি এবং আমি বিশ্বাস করি এটি ব্যবহারকারীর 68686 এর পরিবর্তিত প্রশ্নের উত্তরটি ইতিবাচক (যখন $i$ এবং $j$ একটি গ্রাফ একটি প্রান্ত দ্বারা সংযুক্ত করা হয় $G$ (এটি দ্বিপক্ষীয় হোক বা না হোক), $h(i,j)$, থেকে প্রত্যাশিত হিট সময় $i$ প্রতি $j$ সন্তুষ্ট $h(i,j) < 2m$।)

আমার এটিও লক্ষ্য করা উচিত যে এর আসল সংস্করণগুলিতে প্রশ্নটি তা উল্লেখ করে নি $i$ এবং $j$ সংলগ্ন, সুতরাং পূর্বের উত্তরগুলি মূল প্রশ্নের সাথে প্রাসঙ্গিক হলেও এগুলি নতুন সম্পাদিত সংস্করণের সাথে প্রাসঙ্গিক নয়।

যদি $i$ এবং $j$ সংলগ্ন, যাতায়াতের সময় $C(i,j)=h(i,j)+h(j,i)=2mR(i,j)$, কোথায় $R(i,j)$ এর মধ্যে কার্যকর প্রতিরোধ $i$ এবং $j$ জি মধ্যে, এবং সর্বাধিক হয় $1$ (থেকে $i$ এবং $j$একটি প্রান্ত দ্বারা সংযুক্ত)। এটি এটি দেখায়$h(i,j)<2m$ কখন $i$ এবং $j$ সংলগ্ন হয় $G$উভয় থেকে $h(i,j)$ এবং $h(j,i)$ কঠোরভাবে ইতিবাচক।

পরিচয় $C(i,j) = 2mR(i,j)$ স্বেচ্ছাসেবী শিখর জন্য রাখে $i$ এবং $j$। একটি প্রমাণ হাজির হয়, উদাহরণস্বরূপ লাইন্স এবং পেরেসের বইটিতে ।

Comments

ধন্যবাদ; আপনি যে ফলাফলটি বলেছিলেন তাতে যদি দ্বিপক্ষীয় গ্রাফ থাকে (আমি আপনার সরবরাহিত রেফারেন্সটি চেক করব) তবে এটি আমার প্রশ্নের উত্তর দেয় না!

— user686

Answer 3

@ ব্যবহারকারী 6686 দুঃখিত, আমার আগের উত্তরটির জন্য: আমি বুঝতে পারি নি যে আপনি সম্পর্কে উদ্বিগ্ন $2m+1$ বনাম $2m$। তবে সেক্ষেত্রে আমি মনে করি না যে সেখানে করা দাবী সত্য হয়েছে যদি আপনি কেবলমাত্র স্ব-লুপ যুক্ত করেন$j$। এলোমেলো হাঁটা শুরু$i$ উভয় ক্ষেত্রে $G'$ এবং এবং $G$ তারা নিতে যাতে যাতে মিলিত হতে পারে $same$ তারা পৌঁছানো পর্যন্ত একই সময়ে পদক্ষেপগুলি $j$। এই যে মানে$H(i,j)_G=H(i,j)_{G'}$, এবং প্রত্যাশিত হিট সময় সমান হতে হবে।

এছাড়াও, আবদ্ধ থেকে $h_{i,j} < 2m+1$ সাধারণভাবে সঠিক নয় (পথে) $m$ নোড, $h_{i,j}$ হিসাবে বড় হতে পারে $\Theta(m^2)$), আপনার গ্রাফটি কি বিশেষ?

পিএস: আমি আমার পূর্ববর্তী উত্তরটি আপডেট করেছি কারণ মনে হয় এটি আপনার মূল উদ্বেগের সমাধান করছে না।

Comments

অন্যদিকে, যদি $i$ এবং $j$ সংলগ্ন, যাতায়াতের সময় $C(i,j) = h(i,j) + h(j,i) = 2mR(i,j)$, কোথায় $R(i,j)$ এর মধ্যে কার্যকর প্রতিরোধ $i$ এবং $j$ ভিতরে $G$, এবং সর্বাধিক হয় $1$। এটি এটি দেখায়$h(i,j) < 2m$ কখন $i$ এবং $j$ সংলগ্ন হয় $G$উভয় থেকে $h(i,j)$ এবং $h(j,i)$কঠোরভাবে ইতিবাচক।

— পিয়ুশ

উত্তর ভুল থাকা সত্ত্বেও এটি রাখা ভাল (এবং কখনও কখনও ভাল) বা প্রশ্নের উত্তর না দেয় যাতে অন্যরাও একই ভুল করবে না, কেবল উত্তরটি শুরু করার জন্য একটি লাইন যুক্ত করুন কেন এটি ভুল বা কেন তা ব্যাখ্যা করে না প্রশ্নটির উত্তর দাও. :)

— কাভেহ

@ কাভেঃ ধন্যবাদ, আমি এখানে নতুন। আমার আগের উত্তরটি ভুল ছিল না তবে ব্যবহারকারী what686 কী গুরুত্বপূর্ণ বিষয়টি বিবেচনা করেছে তা উত্তর দেয়নি।

— পিয়ুষ

@ পীযূষ: কেবল তার শীর্ষে একটি লাইন যুক্ত করুন যাতে এটি স্পষ্ট হয় যে এটি প্রশ্নের উত্তর দিচ্ছে না।

— কাভেহ