প্রায় লিনিয়ার সময় সমাধানযোগ্য লিনিয়ার সিস্টেমের কেস

Question

একটি বর্গক্ষেত্র যাক $n\times n$ বাস্তব ম্যাট্রিক্স ${\bf A}$ এবং দুই ভেক্টর ${\bf x}$ এবং ${\bf b}$ দৈর্ঘ্য $n$ , যেমন যে স্ট্যান্ডার্ড গাউসিয়ান নির্মূলের মাধ্যমে

$${\bf A}{\bf x}={\bf b}.$$ জন্য সমাধান করা প্রায় O ( n 3 ) এর সামগ্রিক জটিলতা লাভ করে । যাইহোক, এমন কেস রয়েছে যেখানে x ব্যয় ও ( n লগ ρ n ) এর জন্য সমাধান (বা ro -প্রপ্রোচিয়াল সলিউশন) যেমন সিস্টেমগুলি যেখানে এ${\bf x}$$O(n^3)$$\epsilon$${\bf x}$$O(n\log^\rho n)$${\bf A}$ একটি প্রতিসম এবং তির্যকভাবে প্রভাবশালী ম্যাট্রিক্স (যেমন, একটি ল্যাপ্লাসিয়ান) [1]।

রৈখিক সিস্টেমের অন্যান্য কোন পরিবার (যেমন ম্যাট্রিকেস) লিনিয়ার (বা ননট্রাইভাল পলি (এন)) সময়ের সমাধানগুলি স্বীকার করে? যদি আমরা বাস্তব ম্যাট্রিকের পরিবর্তে সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রগুলি বিবেচনা করি, তবে ম্যাট্রিকের কোনও পরিবার কি প্রায় লিনিয়ার সময় সমাধানগুলি স্বীকার করে?

[1] http://www.cs.yale.edu/homes/spielman/Research/linsolve.html

Answer 1

$O(n \log n)$$a_{i,j} = a_{1,i+j-1 \bmod n}$

এখানে উল্লেখ করার মতো এটি খুব তুচ্ছ হলে ক্ষমা চাইছি।