ইন্ডাকশন ছাড়াই কি এমন যুক্তি রয়েছে যা বেশিরভাগ পি কে ক্যাপচার করে?

Question

Immerman-Vardi উপপাদ্য বলে যে, PTIME (অথবা পি) অবিকল ভাষায় বর্গ প্রথম অর্ডার লজিক এর একটি বাক্য দ্বারা বর্ণিত যে করা যাবে একসঙ্গে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু অপারেটর সঙ্গে, আদেশ স্ট্রাকচার ক্লাস শেষ। ফিক্সড পয়েন্ট অপারেটর হয় হয় কমপক্ষে স্থির-পয়েন্ট (ইমারম্যান এবং ভার্দি দ্বারা বিবেচিত), বা মুদ্রাস্ফীতি স্থায়ী-পয়েন্ট হতে পারে। (স্টিফান ক্রিয়েটজার, সর্বনিম্ন এবং মুদ্রাস্ফীতির স্থির-পয়েন্ট যুক্তির এক্সপ্রেসিভ সমতুল্যতা , খাঁটি এবং প্রয়োগযুক্ত লজিকের এ্যানালস 130 61-78, 2004)।

ইউরি গুরেভিচ অনুমান করেছিলেন যে পিটিটাইম ( লজিক এবং কম্পিউটার বিজ্ঞানের চ্যালেঞ্জ, তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞানের বর্তমান ট্রেন্ডস, এড। ইগন বোয়ারগার, 1-55, কম্পিউটার সায়েন্স প্রেস, 1988) ক্যাপচার করার কোনও যুক্তি নেই , আর মার্টিন গ্রোহ বলেছেন যে তিনি কম নিশ্চিত ( একটি লজিক ক্যাপচারিং পিটিটাইমের জন্য কোয়েস্ট , ফোকস ২০০৮)।

স্থির-পয়েন্ট অপারেটরটি পুনরাবৃত্তির শক্তি ক্যাপচার করতে বোঝায়। স্থির-পয়েন্টগুলি শক্তিশালী, তবে সেগুলি প্রয়োজনীয় তা আমার কাছে স্পষ্ট নয়।

এমন কি কোনও অপারেটর এক্স আছে যা স্থির-পয়েন্টের উপর ভিত্তি করে নয়, যেমন FOL + এক্স পিটিটাইমের একটি (বৃহত্তর) টুকরো ক্যাপচার করে?

সম্পাদনা: যতদূর আমি বুঝতে পারি, লিনিয়ার যুক্তি কেবলমাত্র এমন স্ট্রাকচার সম্পর্কে বিবৃতি প্রকাশ করতে পারে যা বেশ সীমাবদ্ধ ফর্মযুক্ত। আমি আদর্শভাবে একটি যুক্তির একটি রেফারেন্স বা একটি স্কেচ দেখতে চাই যা স্থির বিন্দুগুলি এড়িয়ে গিয়ে সম্পর্কযুক্ত কাঠামোর যথেচ্ছ সেটগুলির বৈশিষ্ট্য প্রকাশ করতে পারে। আমি যদি রৈখিক যুক্তির অভিব্যক্তিপূর্ণ শক্তি সম্পর্কে ভুল হয়ে থাকে তবে একটি পয়েন্টার বা ইঙ্গিতটি স্বাগত জানানো হবে।

Comments

"যুক্তি" দিয়ে আমি গ্রোহ বলতে যা বোঝায় তার অর্থ: শব্দভাণ্ডারের উপরে বাক্যগুলির একটি দৃ set় সেট, এবং একটি সম্পর্ক একটি সীমাবদ্ধ কাঠামো এবং বাক্যগুলির মধ্যে একটি "মডেল", এই সম্পত্তিটির সাথে যে বাক্যটির মডেলগুলির সেট সর্বদা আইসোমরফিজমের অধীনে বন্ধ থাকে ।

— আন্দ্রেস সালামন

পিটিটাইম ক্যাপচার করে এমন কোনও যুক্তি রয়েছে কি না এই প্রশ্নের জন্য আরও দেখুন cstheory.stackexchange.com/questions/174/…।

— আন্দ্রেস সালামন

লিনিয়ার লজিক একটি প্রজেক্টাল লজিক যা ক্লাসিকাল প্রপোজিশনাল লজিক থাকে। কোয়ান্টিফায়ারগুলিকে অনুমতি দেওয়ার জন্য এটি বাড়ানো যেতে পারে। তবে আমি যদি সঠিকভাবে মনে রাখি যে গ্রোহের মনে যে লিনিয়ার লজিক (প্রপোজেশনাল) এবং জটিলতা ক্লাসের মধ্যে সম্পর্ক রয়েছে তার চেয়ে আলাদা, কমপক্ষে আমি সীমাবদ্ধ কাঠামোর প্রশ্নগুলিতে রৈখিক যুক্তি কীভাবে সম্পর্কিত তা দেখতে পাচ্ছি না।

— কাভেহ

লিনিয়ার লজিকের উপর ভিত্তি করে সেট থিয়োরিগুলি রয়েছে যেমন তেরুইয়ের লাইট অ্যাফাইন সেট থিওরির, যেখানে সম্পত্তি রয়েছে যে কোনও ফাংশন এতে মোট প্রমাণিত হতে পারে, যদি এবং কেবলমাত্র যদি ফাংশনটি বহুবর্ষের মধ্যে গণনাযোগ্য হয়। দেখুন citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.99.730

— নীল Krishnaswami

কাভেহ, এই কারণেই আমি স্লিম্টনকে অনুদান দিয়েছি। আরও বিস্তারিত উত্তরটি এখনও সুন্দর হবে।

— আন্দ্রেস সালামন

Answer 1

কিছু লোক গ্রাডেলের উপপাদ্যটি কী বলে তা আপনি একবার দেখতে চান। আপনি এটি পাপাদিমিট্রিউয়ের বই "কম্পিউটেশনাল কমপ্লেক্সিটি" (এটি 177 পৃষ্ঠায় উপপাদ্য 8.4) বা গ্রাডেলের মূল কাগজে খুঁজে পেতে পারেন ।

সংক্ষেপে, গ্রাডেলের উপপাদ্য হ'ল ফগিনের উপপাদ্য এনপিকে পি হিসাবে। এটিতে বলা হয়েছে যে উত্তরাধিকারী সম্পর্কের সাথে সীমাবদ্ধ কাঠামোর শ্রেণিতে বহুত্ব-কালীন নির্ধারণযোগ্য বৈশিষ্ট্যগুলির সংস্থান অস্তিত্বীয় দ্বিতীয়-ক্রমের যুক্তির হর্ন-খণ্ডে প্রকাশিত ব্যক্তির সাথে মিলে যায়। এগুলি ফর্মের সেকেন্ড-অর্ডার লজিকের বাক্য যেখানে দ্বিতীয়-ক্রমের সম্পর্ক ভেরিয়েবলের ক্রম , প্রথম-ক্রমের ভেরিয়েবলগুলির ক্রম এবং হ'ল একটি কোয়ান্টিফায়ার-মুক্ত সূত্র যা সিএনএফ আকারে লেখা হয়, হর্ন অনুচ্ছেদের সংমিশ্রণ (অর্থাত্ যে ধারাগুলিতে সর্বাধিক একটির অ-নেগ্রেটেড পরমাণু এর ভেরিয়েবলগুলির সাথে জড়িত )।

$$(\exists R)(\forall x)(\phi)$$ $R$$x$$\phi$$R$$R$

Comments

উফফ, এখন যখন আমি আপনার প্রশ্নটি আবার পড়েছি তখন বুঝতে পারি এটি পূর্ববর্তী সংস্করণ থেকে কিছুটা আলাদা। এখন আপনি অপারেটর এক্স এর জন্য অনুরোধ করছেন যাতে FOL + X পি এর একটি বড় অংশকে ক্যাপচার করে that সেক্ষেত্রে আপনার কাছে ডাওয়ারের <a href=" লগকম.অক্সফোর্ডজর্নালস.অর্গ / কনটেন্ট / ৫ / ২ /> > তে নজর রাখা উচিত He শো যে, যদি পি একটি যুক্তিবিজ্ঞান হয়, তাহলে সেখানে সাধারণ quantifiers সঙ্গে Fol ব্যাপ্ত দ্বারা অন্যতম।

— slimton

আমার যুক্ত করা উচিত যে নগ্ন স্ট্রাকচারের উপর অস্তিত্বের দ্বিতীয়-ক্রমের যুক্তির হর্ন-টুকরা বরং দুর্বল: নগ্ন কাঠামোগুলিতে এলএফপির একটি উপযুক্ত উপসেট। গ্রাডেলের উপপাদ্য পেতে আমাদের উত্তরসূরি দরকার। নগ্ন কাঠামোর জন্য দাওয়ারের ফলাফল।

— স্লিমটন

Answer 2

যতদূর আমি বুঝতে পারি, লিনিয়ার যুক্তি কেবলমাত্র এমন স্ট্রাকচার সম্পর্কে বিবৃতি প্রকাশ করতে পারে যা বেশ সীমাবদ্ধ ফর্মযুক্ত। আমি আদর্শভাবে একটি যুক্তির একটি রেফারেন্স বা একটি স্কেচ দেখতে চাই যা স্থির বিন্দুগুলি এড়িয়ে গিয়ে সম্পর্কযুক্ত কাঠামোর যথেচ্ছ সেটগুলির বৈশিষ্ট্য প্রকাশ করতে পারে। আমি যদি রৈখিক যুক্তির অভিব্যক্তিপূর্ণ শক্তি সম্পর্কে ভুল হয়ে থাকে তবে একটি পয়েন্টার বা ইঙ্গিতটি স্বাগত জানানো হবে।

এটি ঠিক নয়: সমস্ত অবরুদ্ধ অভিব্যক্তি মোনিডিয়াল জালাগুলি রৈখিক যুক্তির মডেল। সীমাবদ্ধ গ্রাফগুলি থেকে এই জাতীয় জালিয়াতি তৈরি করার একটি সহজ উপায়। সেট দিয়ে শুরু করুন

$$M = \{(g, n) \;|\; g\mbox{ is a finite graph and }n \subseteq \mathrm{nodes}(g)\}$$

সুতরাং আমাদের জোরপূর্বক সম্পর্কটি এবং অন্তর্নিহিততাটি হ'ল সূত্র by দ্বারা "মালিকানাধীন" নোডের সেট । একটি আংশিক অপারেশন , হিসাবে সংজ্ঞায়িত: $(g,n) \models \phi$$n$$\phi$$(\cdot) : M \times M \to M$

$$(g,n) \cdot (g',n') = \left\{\begin{array}{ll} (g, n \uplus n') & \mbox{when } g = g' \land n \cap n' = \emptyset \\ \mathrm{undefined} & \mbox{otherwise} \end{array}\right.$$

যদি গ্রাফগুলি সমান হয় এবং মালিকানাধীন সেটগুলি পৃথকীকরণ করা হয় তবে এটি তাদের নিজস্ব মালিকানাধীন সেটগুলি মার্জিন করে দুটি উপাদানকে একত্রিত করে।

এখন, আমরা নিম্নরূপ রৈখিক যুক্তির একটি মডেল দিতে পারি:

$$\begin{array}{lcl} (g,n) \models I & \iff & n = \emptyset \\ (g,n) \models \phi \otimes \psi & \iff & \exists n_1,n_2.\; n = n_1 \uplus n_2 \mbox{ and } (g,n_1) \models \phi \mbox{ and } (g,n_2) \models \psi \\ (g,n) \models \phi \multimap \psi & \iff & \forall n'.\; \mbox{if } n \cap n' = \emptyset \mbox{ and } (g,n') \models \phi \mbox{ then } (g,n \uplus n') \models \psi \\ (g, n) \models \top & \iff & \mbox{always} \\ (g,n) \models \phi \land \psi & \iff & (g,n) \models \phi \mbox{ and } (g,n) \models \psi \end{array}$$

এই মডেলটি আসলে পৃথকীকরণ যুক্তিতে ব্যবহৃত বিভিন্নগুলির একটি বৈকল্পিক, যা হিপ-ম্যানিপুলেটিং প্রোগ্রামগুলির যাচাইকরণে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। (যদি আপনি চান, গ্রাফটিকে গাদাটির পয়েন্টার কাঠামো হিসাবে মনে করুন, এবং সাদৃশ্যটি হুবহু!)

লিনিয়ার যুক্তি নিয়ে চিন্তা করার পক্ষে এটি সত্যই সঠিক উপায় নয়, যদিও: এর আসল স্বীকৃতি প্রুফ-তাত্ত্বিক এবং জটিলতার সাথে সংযোগটি কাট-বিলোপকরণ উপপাদ্যের গণ্য জটিলতার মধ্য দিয়ে আসে। রৈখিক যুক্তির মডেল তত্ত্বটি তার প্রুফ তত্ত্বের ছায়া।

Comments

উপরের মডেলটিতে গ্রাফ কাঠামো কী ভূমিকা পালন করে? উপরের সংজ্ঞাটি ঠিক কাজ করে বলে মনে হচ্ছে যদি আমরা বলি যে পৃথক গ্রাফের উপর জি রেঞ্জ রয়েছে।

— চার্লস স্টুয়ার্ট

যেহেতু যে কোনও (আংশিক) পরিবর্তনীয় মনোড বিআই / লিনিয়ার লজিকের একটি মডেল দিতে ব্যবহার করা যেতে পারে, গ্রাফ স্ট্রাকচারটি এবং সংযোগগুলি ব্যাখ্যা করতে ব্যবহৃত হয় না - এটি কেবল পারমাণবিক প্রস্তাবের জন্যই গুরুত্বপূর্ণ। উদাহরণস্বরূপ, বিভাজন যুক্তিতে, একটি "পয়েন্ট-টু" পারমাণবিক প্রস্তাব , যা আমরা পয়েন্টার কাঠামোটি ব্যাখ্যার জন্য ব্যবহার করি। $\otimes$$\multimap$$n \mapsto n'$

— নীল কৃষ্ণস্বামী

Answer 3

পিটিটাইম ক্যাপচার করার জন্য লজিক অনুসন্ধানের জন্য সাম্প্রতিক উত্তেজনাপূর্ণ ফলাফল রয়েছে। কাই, ফেরার এবং ইমারম্যানের বিখ্যাত উদাহরণটি দেখায় যে এলএফপি + সি পিটিটাইম ক্যাপচার করে না যদিও গ্রাফের আপাতদৃষ্টিতে কৃত্রিম শ্রেণীর উপর ভিত্তি করে ছিল। অবশ্যই, এটি এলএফপি + সি এর সীমাবদ্ধতাগুলি প্রদর্শনের বিশেষ কাজের জন্য নির্মিত হয়েছিল। সম্প্রতি সম্প্রতি দাওয়ার দ্বারা দেখানো হয়েছিল যে ক্লাসটি মোটেই কৃত্রিম নয়। বরং এটি একটি উদাহরণ হিসাবে দেখা যেতে পারে যে এলএফপি + সি লিনিয়ার সমীকরণ সিস্টেমগুলি সমাধান করতে পারে না!

সুতরাং দাওয়ার, গ্রোহে, হলম এবং লাবনার লিনিয়ার বীজগণিত থেকে অপারেটরদের দ্বারা লজিকগুলি প্রসারিত করেছেন, উদাহরণস্বরূপ কোনও অপারেটর দ্বারা একটি নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক নির্ধারণ করতে। ফলস্বরূপ যুক্তি এলএফপি + র‌্যাঙ্ক এলএফপি + সি এর চেয়ে কঠোরভাবে আরও প্রকাশ করতে পারে, বাস্তবে, এমন কোনও পিটিটাইম সম্পত্তি নেই যা এলএফপি + র‌্যাঙ্ক প্রকাশ করতে পারে না।

এমনকি এফও + আর কে আশ্চর্যজনকভাবে শক্তিশালী এটি ডিটারমিনিস্টিক এবং প্রতিসাম্যগত ট্রান্সসিটিভ ক্লোজার প্রকাশ করতে পারে। এটি কোনও গ্রাফের সাধারণ ট্রানজিটিভ বন্ধকে প্রকাশ করতে পারে কিনা তা এখনও উন্মুক্ত।

Comments

নোট করুন যে অ্যান্ডারসন / দাওয়ার / হলম সম্প্রতি দেখিয়েছে যে এফপি + সি লিনিয়ার প্রোগ্রামিং প্রকাশ করতে পারে ( arxiv.org/abs/1304.6870 )। এটি "এফপি + সি লিনিয়ার সমীকরণ সিস্টেমগুলি সমাধান করতে পারে না" এর লাইন ধরে দাওরের পূর্ববর্তী ফলাফলের ব্যাখ্যাকে হ্রাস করে; দাওয়ার কেবল দাবি করেছিলেন যে কিছু "লিনিয়ার সমীকরণের ব্যবস্থাগুলি জড়িত কিছু প্রাকৃতিক সমস্যাগুলি এই যুক্তিতে নির্দিষ্ট নয়" যার সাথে তিনি মনে করেন র‌্যাঙ্কের গণনা বোঝানো হয়েছিল।

— আন্দ্রেস সালামন

Answer 4

"ক্যাপচার" দ্বারা আপনি কী বোঝাতে চেয়েছেন তার উপর নির্ভর করে সফট লিনিয়ার লজিক এবং ইয়ভেস ল্যাফন্টের বহুপদী সময় আগ্রহী হতে পারে। এই যুক্তি এবং পিটিটাইম অ্যালগরিদমে প্রমাণগুলির সাথে 1-1 টি চিঠিপত্র রয়েছে যা ইনপুট এবং আউটপুট 0 বা 1 হিসাবে স্ট্রিং নেয়।

লিনিয়ার লজিক সম্পর্কিত উইকিপিডিয়া নিবন্ধটি এখানে রয়েছে । এটি কোনও ফিক্সপয়েন্ট যুক্তি নয়। " বুলিয়ান বীজগণিতগুলির পরিবর্তে বীজগণিতগুলির তুলনায় ধ্রুপদী যুক্তি " অনুধাবন আমার পক্ষে উপলব্ধি করা সবচেয়ে সহজ।$C^*$

Comments

আমি মনে করি বর্ণনামূলক জটিলতার অর্থে অ্যান্ড্রেস একটি যুক্তি চান।

— কাভেহ

Answer 5

এই সমস্যা নিয়ে কিছু পুরানো কাজ আবার লিনিয়ার লজিক শিরাতে হ'ল, জ্যান-ইয়ভেস গিরার্ড, আন্দ্রে সেক্রেডভ এবং ফিলিপ স্কট। সীমানা রৈখিক যুক্তি: বহুবর্ষ-সময় গণনার জন্য একটি মডুলার পদ্ধতির। তাত্ত্বিক কম্পিউটার বিজ্ঞান, 97 (1): 1–66, 1992।

সাম্প্রতিক আরও কাজগুলিতে বাউন্ডেড লিনিয়ার লজিক, ইউগো ডাল ল্যাগো এবং মার্টিন হফম্যান পুনরায় পর্যালোচনা করেছেন।