সংক্ষিপ্ততম পাথের জন্য ডেটা কাঠামো

কে একটি অ্যারেক্টিভ এবং প্রান্তযুক্ত একটি অদম্য নিরীক্ষিত গ্রাফ হতে দিন । আকারের একটি ডেটা স্ট্রাকচার তৈরি করা সম্ভব যাতে এটি O (n) সময়ে " এবং মধ্যে দূরত্ব" ফর্মের প্রশ্নের উত্তর দিতে পারে ? $G$ $n$ $m$ $G$ $m \cdot \mathrm{polylog}(n)$ $u$ $v$

সমস্যাটি সমাধান করা খুব প্রাথমিক বলে মনে হচ্ছে।

graph-theory graph-algorithms ds.data-structures

— ilyaraz
সূত্র

আপনার "চূড়ান্ত সমাধানের পক্ষে খুব বেসিক" সম্পর্কে চূড়ান্ত মন্তব্যের জবাবে: যদি প্রশ্নের উত্তর স্থির সময়ে দিতে হয়, তবে এটি সত্যই অধ্যয়নযোগ্য। তবে আপনার প্রশ্নের মূল বক্তব্য হ'ল আপনি কোনও প্রশ্নের জন্য (ও (1) বা তুচ্ছ ও (এম)) এর জন্য ও (এন) সময়কে অনুমতি দিন। যদিও আমি মনে করি এটি একটি আকর্ষণীয় প্রশ্ন, তবে আমি মনে করি না যে প্রশ্নটি মৌলিক গুরুত্বের।

— সোসোশি ইটো 21

@ শ্যুওশিআইটো - আমি যদি দেখি না যে এটি কেন ধ্রুবক তবে উপ-লিনিয়ার ক্যোয়ারী সময়কে অনুমতি দেয় তবে কেন প্রশ্নটি "মৌলিক গুরুত্ব" হারিয়ে ফেলে। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন যে আমি বাধা দিয়ে উপরের সমস্যাটি সমাধান করতে পারি যে দূরত্বের প্রশ্নের সময়ে কিছু , এবং প্রসেসিং সময় সর্বাধিক - এটি কি সংক্ষিপ্ততম পাথের কম্পিউটিংয়ের জন্য আমাকে একটি সাব-কিউবিক অ্যালগরিদম দেবে না? আমি ব্যক্তিগতভাবে মনে করি এটি খুব আকর্ষণীয় প্রশ্ন।

O (n^{1 - ε})

$O(n^{1-\varepsilon})$

ε > 0

$\varepsilon > 0$

O (n^{3 - ε})

$O(n^{3 - \varepsilon})$

— রচিত

আমি জানি না একটি সাধারণ উপায় আছে বা নেই, তবে সীমানা গাছপালার গ্রাফগুলিতে একটি ভাল উপায় রয়েছে, আবদ্ধ গাছপালার গ্রাফের মধ্যে সংক্ষিপ্ত পথের অনুসন্ধানটি

— Saeed

এছাড়াও যদি আপনি একটি সংক্ষিপ্ত পথ গাছ তৈরি করতে পারেন (প্রতিটি নোড থেকে শুরু করে) এবং তারপরে সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত পথের প্রশ্নের (সম্পর্কিত মূল দ্বারা) উত্তর দিতে পারেন বা একইভাবে আপনি নির্মাণ করতে পারেন কম স্মৃতি আকারের একটি ডেটা স্ট্রাকচার।

m = Ω (n^{2})

$m = \Omega(n^2)$

O (n)

$O(n)$

— Saeed

উত্তর:

এটি একটি খুব আকর্ষণীয় প্রশ্ন। একটি উচ্চ স্তরে, আপনি জিজ্ঞাসা করছেন যে কোনও গ্রাফকে এমনভাবে প্র্রোসোস করতে পারে যে সংক্ষিপ্ত পথের অনুসন্ধানগুলি অতিরিক্ত অতিরিক্ত স্থান ব্যবহার না করে গ্রাফের ঘনত্বের থেকে আলাদা হয়ে যায় - আকর্ষণীয়, তবে আপনি যেমন বলেছিলেন, অমীমাংসিত।

আপনি যদি আনুমানিক দূরত্বে সন্তুষ্ট হন তবে এখানে অ্যাপ্লিকেশনটি পাওয়ার একটি উপায় । কে নোড এবং প্রান্ত সহ একটি ওয়েট অনিরীক্ষিত গ্রাফ হতে দিন । নিম্নলিখিত কাগজটিতে দেখানো হয়েছে যে আনুমানিক দূরত্বের প্রশ্নের জন্য, প্রান্তগুলি সহ গ্রাফের জন্য ডেটা স্ট্রাকচার ডিজাইন করা গ্রাফের চেয়ে শক্ত নয়, যেখানে প্রতিটি নোড দ্বারা আবদ্ধ থাকে : $2$ $G$ $n$ $m$ $m$ $m/n$

আর। আগরওয়াল, পিবি গডফ্রে, এস হার-পিল্ড, আনুষঙ্গিক গ্রাফগুলিতে আনুমানিক দূরত্বের প্রশ্নাবলী এবং কমপ্যাক্ট রাউটিং, ইনফোকম ২০১১

সুতরাং, ধরে নিন যে একটি ডিগ্রি বাউন্ডেড গ্রাফ। নমুনা এলোমেলোভাবে অভিন্ন নোড; এই ল্যান্ডমার্ক নোড কল। প্রিপ্রোসেসিং পর্বের সময়, প্রতিটি ল্যান্ডমার্ক নোড থেকে গ্রাফের একে অপরের নোডের দূরত্ব সংরক্ষণ করুন; এর জন্য স্থান প্রয়োজন। প্রতিটি নোডের জন্য , তার নিকটতম ল্যান্ডমার্ক নোড সংরক্ষণ । এছাড়াও, ডেটা কাঠামোর মধ্যে গ্রাফ সংরক্ষণ করুন, সংলগ্ন তালিকা হিসাবে বলুন। $G$ $m/n$ $\alpha = O(m/n)$ $O(m)$ $u$ $\ell(u)$

যখন মধ্যে দূরত্ব জন্য জানতে চাওয়া এবং , উভয় নোড প্রায় বাজে কথা হত্তয়া - নোডের বল নোড যে কঠোরভাবে কাছাকাছি হয় সেট হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয় তার নিকটতম ল্যান্ডমার্ক নোড চেয়ে বলে, । প্রত্যাশায় প্রতিটি বলের আকার হতে পারে তা দেখানো যেতে পারে । যাক , যেখানে $u$ $v$ $w$ $w$ $\ell(w)$ $O(n^2/m)$ $\Gamma(u) = B(u) \cup N(B(u))$ নোডের বল এবং বিভিন্ন নোডের মধ্যে প্রতিবেশীদের সেট । এটি দেখানো যেতে পারে যেপ্রত্যাশায় এর আকারহ'ল । $B(u)$ $u$ $N(B(u))$ $B(u)$ $\Gamma(u)$ $O(n)$

প্রশ্নের : যদি: , ; অন্যথায় যদি $\Gamma(u) \cap \Gamma(v) \neq \emptyset$ $\min_{x \in \Gamma(u) \cap \Gamma(v)} \{d(u, x) + d(v, x)\}$ , ; অন্যথায় । এটি দেখানো সহজ যে এটি একটি ima $d(u, \ell(u)) \leq d(v, \ell(v))$ $d(u, \ell(u)) + d(\ell(u), v)$ $d(v, \ell(v)) + d(\ell(v), u)$ $2$

ক্যোয়ারী সময়ের ক্ষেত্রে, দ্রষ্টব্য যে বর্ধমান বলগুলি ডিগ্রি বাউন্ডেড গ্রাফের জন্য সময় নেয় ; নির্মাণের এবং দেওয়া নিজ নিজ বাজে কথা লাগে সময় (যেহেতু প্রতিবেশী ডাটা স্ট্রাকচার মধ্যে সংরক্ষণ করা হয়); এবং খালি আছে কিনা তা যাচাই করতে সময়ও লাগে । $O(n)$ $m/n$ $\Gamma(u)$ $\Gamma(v)$ $O(n)$ $\Gamma(u) \cap \Gamma(v)$ $O(n)$

উপরের সীমাটি প্রত্যাশায় রয়েছে; আমি মনে করি এটি নির্মাণকে ড্যারানডমাইজ করা সহজ। দুর্ভাগ্যক্রমে, এই কৌশলটি চেয়ে আরও বেশি অনুমানের অনুমতি দেবে বলে মনে হয় না । যদিও এটি একটি খুব আকর্ষণীয় প্রশ্ন .... $2$

— Rachit
সূত্র

উপরের কৌশলটি আপনার ইনপুট গ্রাফটি অপ্রত্যাশিত তা ব্যবহার করে না; আকর্ষণীয় কিছু হতে পারে যা আপনি সেই সত্যটি কাজে লাগিয়ে করতে পারেন তবে সঠিক দূরত্ব পুনরুদ্ধারের কোনও উপায় আমি ভাবতে পারি না। উদাহরণস্বরূপ, ক্যোরির সময়টিকে

কমানো এবং

দ্বারা সীমাবদ্ধ দূরত্ব পাওয়া সম্ভব , যেখানে

এবং

মধ্যে সঠিক দূরত্ব ।

O (n^{2} / m)

$O(n^2/m)$

2 d + 1

$2d+1$

d

$d$

u

$u$

v

$v$

— রচিত

আমি বুঝতে পেরেছিলাম কেন এটি 2-প্রায় অনুমান হিসাবে আমি বুঝতে পারি না। থরুপ-জুইক একই পরিস্থিতিতে 3-প্রায় দেয়।

— ilaraz

@িলিরাজ: নোট করুন যে থারুপ-জুইক স্কিমের জন্য

(এবং তাই প্রায় ধ্রুবক সময়ে উত্তরগুলি প্রশ্নের উত্তর দেয়)। প্রসারিত

প্রমাণের জন্য উপরে উল্লিখিত কাগজটি দেখুন ।

Γ (u) \cap Γ (v)

$\Gamma(u) \cap \Gamma(v)$

2

$2$

— রচিত

আপনার যা প্রয়োজন তাকে বলা হয় "দূরত্বের ওরাকল"। দুর্ভাগ্যক্রমে, আমি দূরত্বের ওরাকলগুলির সাথে খুব বেশি পরিচিত নই, তাই থরুপ এবং জুইকের কারণে আমি কেবলমাত্র আপনাকেই সেমিনাল পেপারে উল্লেখ করতে পারি:

মিক্কেল থারুপ এবং উরি জুইক। আনুমানিক দূরত্বের ওরাকলগুলি। স্টক '01, 2001।

বিমূর্তের একটি অংশ এখানে দেওয়া হয়েছে:

যাক সঙ্গে একটি undirected ভরযুক্ত গ্রাফ হতে এবং । পূর্ণসংখ্যা হতে দিন । আমরা দেখাই যে প্রত্যাশিত সময়ে প্রাক প্রসেস করা যেতে পারে , আকারের ডেটা কাঠামো তৈরি করে $G = (V, E)$ $|V| = n$ $|E| = m$ $k$ $G = (V, E)$ $O(kmn^{1/k})$ , যেমন পরবর্তী যে কোনও দূরত্বের প্রশ্নের উত্তর দেওয়া যেতে পারে, প্রায়, সময়ে। প্রত্যাবর্তিত আনুমানিক দূরত্বটি সর্বোচ্চ পর্যন্ত প্রসারিত হয়, প্রকৃত দূরত্ব দ্বারা অনুমানিত দূরত্বকে ভাগ করে 1 এবং মধ্যে ভাগফল পাওয়া যায়। [...] আমাদের অ্যালগরিদমের স্থান প্রয়োজন মূলত সর্বোত্তম। $O(kn^{1+1/k})$ $O(k)$ $2k - 1$ $2k - 1$

তাদের ফলাফল অনুযায়ী, আপনি কি অনুরোধ মূলত এমনকি ভরযুক্ত গ্রাফ জন্য doable: নির্বাচন উৎপাদনের আকার একটি দূরত্ব ওরাকল প্রত্যাশিত সময়ের মধ্যে প্রাপ্ত , যা সঙ্গে আপনার সংক্ষিপ্ত পাথ প্রশ্নের উত্তর দিতে পারেন সময় স্ট্রেচ ! $k=1$ $O(n^2)$ $O(mn)$ $1$ $O(1)$

দূরত্বের ওরাকলগুলি একটি খুব ভাল গবেষণা ক্ষেত্র, সুতরাং আপনি আরও খনন করতে সক্ষম হবেন বলে আমি বিশ্বাস করি।

— গাবর রেটওয়ারি
সূত্র

জার্নাল সংস্করণ: জ্যাকএসিএম 2005 ।

— Tsuyoshi Ito

স্পেস ব্যবহার করে কেউ নির্লজ্জভাবে একটি বর্ণন সারণী সংরক্ষণ করতে পারে। সুতরাং, এই কাগজটি (যা সম্পর্কে আমি অবগত ছিলাম) এখানে অপ্রাসঙ্গিক।

O (n^{2})

$O(n^2)$

— ইলিয়ারাজ

যথেষ্ট ফর্সা। ফলাফলের সবচেয়ে ঘনিষ্ঠ আপনাকে অনুরোধ কি আমি যতদূর জানি গড় ডিগ্রী অর্জন গ্রাফ জন্য হয়

যে সঙ্গে প্রসারিত-2 পাথ দেয়

মধ্যে স্থান

Θ (\log n)

$\Theta(\log n)$

O (n^{3 / 2})

$O(n^{3/2})$

প্রশ্নের সময়। (আর। আগরওয়াল, পি। গডফ্রে, এবং এস হার-পেলেড, "স্পার্স গ্রাফগুলিতে আনুমানিক দূরত্বের প্রশ্নাবলী এবং কমপ্যাক্ট রাউটিং", ইনফোকম ২০১১।)

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

— গ্যাবর রেটওয়ারি

বর্গইনের মেট্রিক্স এম্বেডিংকে

, কেউ স্পেস

, ক্যোয়ারির সময়

এবং গুণিত ত্রুটি

সহ একটি ওরাকল নিয়ে আসতে পারে ।

ℓ_{1}

$\ell_1$

O (n \log^{2} n)

$O(n \log^2 n)$

O (\log^{2} n)

$O(\log^2 n)$

O (\log n)

$O(\log n)$

— ilaraz