সংখ্যাগরিষ্ঠ ভোটের জন্য সর্বোত্তম অনুমানটি কী?

Question

সংখ্যাগরিষ্ঠ ভোট অপারেশনটি প্রায়শই দোষ-সহনশীলতা (এবং কোনও সন্দেহ নেই যে অন্য জায়গাগুলিতে) আসে, যেখানে ফাংশনটি কিছুটা সমান ফলাফল দেয় যেখানে ইনপুট বিটের মানটিতে প্রায়শই দেখা যায় value সরলতার জন্য, ধরে নেওয়া যাক যখনই ইনপুটটিতে 0 এবং রাজ্য 1 তে সমান সংখ্যক বিট থাকে, এটি 0 আউটপুট করে।

এটি ডিটগুলিতে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে যেখানে ইনপুটটিতে প্রায়শই ঘটে যাওয়া মানটি ফেরত দিয়ে প্রতিটি ইনপুটটির জন্য 2 টিরও বেশি সম্ভাবনা থাকে এবং টাইয়ের ক্ষেত্রে, সর্বাধিক ঘনত্বের মান ফিরে আসে যা অভিধানিকভাবে প্রথম আসে। আসুন এই ফাংশনটিকে "বহুবচন ভোট" বলি।

আমি যখন প্রতিটি ইনপুটটির একটি নির্দিষ্ট সম্ভাব্যতা বন্টন করে (এবং বিতরণটি ইনপুটটির প্রতিটি খাদের জন্য একই হয়) তখন আমি এই জাতীয় ফাংশনের আউটপুটটিতে আগ্রহী। বিশেষত আমি নিম্নলিখিত প্রশ্নটি সম্পর্কে যত্নশীল।

একটি সেট দেওয়া $S=\{S_1, S_2,... ,S_n\}$ , যদি সেটটি স্বতন্ত্রভাবে এলোমেলোভাবে $N$ বার নমুনা করা হয়, তবে প্রতিবার এস এর আই টি এইচ উপাদানটি বেছে নেওয়ার সম্ভাবনা সহ , ভি এর একটি নির্দিষ্ট নির্বাচনের জন্য সম্ভাব্যতা কী যে এই ফলাফলগুলির বহুত্ববাদ ভোট এস ভি ?$p_i$$i^{th}$$S$$v$$S_v$

এখন, বহু-বিতরণ বিতরণের পরিমাণ হিসাবে উপরের প্রশ্নের সঠিক উত্তর গণনা করার জন্য সরাসরি এগিয়ে। তবে, আমার উদ্দেশ্যগুলির জন্য, এটি আদর্শের চেয়ে কম নয় এবং আনুমানিকের জন্য বন্ধ করা আরও ভাল। সুতরাং আমার প্রশ্নটি হ'ল:

উপরের সম্ভাব্যতার নিকটবর্তী কোন রূপটি যথাযথ মান থেকে সর্বাধিক দূরত্বে সবচেয়ে বেঁধে রেখেছে?

Comments

আমি জানি না, তবে আমি অনুসন্ধান বাক্যটি "নিয়ন্ত্রণ তত্ত্বের sensকমত্য" বা "নিয়ন্ত্রণ তত্ত্বের usক্যমত সমস্যা" বলে পরামর্শ দেব। এটি বিতরণ করা কম্পিউটিং sensকমত্য সমস্যা থেকে আলাদা সমস্যা এবং আপনার যা প্রয়োজন তা হতে পারে।

— অ্যারন স্টার্লিং 16

আপনি কি এমন একটি অনুমানের সন্ধান করছেন যা এন এর সাথে এন এর তুলনায় বড় হয় তখন ভাল কাজ করে? যদি তাই হয় তবে টাই-ব্রেকিং নিয়মটি অপ্রাসঙ্গিক হতে হবে।

— Tsuyoshi Ito

@ শুয়োশিআইটো: হ্যাঁ, আমিই আছি এবং প্রকৃতপক্ষে এই নিয়মটি অপ্রাসঙ্গিক, তবে আমি নিশ্চিত করতে চেয়েছিলাম যে প্রশ্নটি ভালভাবে উত্থাপিত হয়েছিল। সম্পর্কগুলি কীভাবে ভাঙা যায় সে সম্পর্কে আমি সত্যিই চিন্তা করি না, যেহেতু সেই বিযুক্তিকে আবদ্ধ করা সহজ।

— জো ফিৎসসিমনস

ভাল, এখানে খাম অনুমান এর পিছনে আছে ... আসুন যতবার আপনি বাছাই সেট হতে S আমি । এটি দ্বিপদী পরিবর্তনশীল। তারা স্বাধীন হয় ভান। এখন, একটি নির্দিষ্ট মানের জন্য ওয়াই ভি , আপনি এই মান পাবার সম্ভাবনা গনা করতে ওয়াই ভি , এবং এই মান সম্ভাব্যতার এটা সব অন্যান্য ভেরিয়েবল উপর ধিক্কার জানাই গনা। এটি সম্ভাবনার উপর বেশ ভাল সীমানা দেওয়া উচিত। এগুলি অবশ্যই সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত নয় - আপনি যত বেশি নির্ভরশীলতা বিবেচনায় নিতে ইচ্ছুক হবেন, আপনার অনুমানটি তত বেশি সুনির্দিষ্ট হতে চলেছে, তবে আপনাকে আরও বেশি গণনা করতে হবে। $Y_i$$S_i$$Y_v$$Y_v$

— সারিল হার-পিল্ড

Answer 1

যদি সবার জন্য আমি ≠ বনাম , তারপর$p_v > p_i$$i \ne v$

$$\mathrm{Pr}[\mbox{outcome is different from $v$}] \leq \min_T \left(Pr[B(N, p_v) \leq T] + Pr[\forall i \ne v \quad B(N, p_i) \geq T]\right),$$

যেখানে দ্বি-দ্বি বিতরণ, এবং টি একটি স্বেচ্ছাসেবী প্রান্তিক। টি = এন ( পি ভি + সর্বোচ্চ i ≠ v পি v ) / 2 প্লাগিং এবং চেরনফ সীমানা ব্যবহার করে, কেউ এই সম্ভাবনাটিকে ই - Ω ( এন ) হিসাবে উপরের দিকে আবদ্ধ করতে পারে ।$B(n, p)$$T$$T = N (p_v + \max_{i \ne v} p_v) / 2$$e^{-\Omega(N)}$

অবশ্যই, যদি সর্বাধিক না হয় তবে আপনি বিপরীত ছবিটি পাবেন। অপ্রতিরোধ্য সম্ভাবনা সহ v ফলাফল হয় না।$p_v$$v$

Comments

সমস্যাটি চিন্তা করার জন্য ধন্যবাদ, তবে এটি আমি খুঁজছি না। এটি কোনও বদ্ধ রূপ নয়। আমার অবিস্মরণীয় সংখ্যার চেয়ে বেশি পরিমাণে যোগফল প্রয়োজন। আমি ইতিমধ্যে সঠিক সমাধানটি লিখতে জানি এবং স্বতন্ত্র পদগুলির জন্য আমি প্রচুর অনুমান জানি, তবে এটি আমি চাই না। আমি পৃথক শর্ত নয়, সমাধানটির কাছে একটি বদ্ধ ফর্মের সান্নিধ্য খুঁজছি for আমারও ত্রুটির উপর একটি শালীন আবশ্যক।

— জো ফিটজসিমনস

আপনি একই পদ্ধতিটি ব্যবহার করে বদ্ধ ফর্ম পেতে পারেন (আপনি যদি অতিরিক্ত ফ্যাক্টর দিয়ে খুশি হন )। এবং ত্রুটিটি আবদ্ধ করতে, আপনি চেরনোফের বাউন্ডের পরিবর্তে বেরি-ইসিন উপপাদ ব্যবহার করতে পারেন। $n$

— ilaraz

@ ইলিয়ারাজ আমি আপনার প্রথম অনুচ্ছেদটি বোঝার চেষ্টা করছি। আপনি কেন আমাকে ধরে রাখছেন তা আরও ভাল করে ব্যাখ্যা করতে পারেন? আমি মনে করি আপনি কোনওভাবে ইউনিয়ন বেঁধে ব্যবহার করেছেন তবে আমি বুঝতে পারি না। ধন্যবাদ :)

— আন্তোনিওফা